關于丟番圖方程x(x+1)(x+2)=2pkyn的解

鄭惠(阿壩師范?？茖W校數(shù)學系, 四川 汶川 623000)

關于丟番圖方程x(x+1)(x+2)=2pkyn的解

鄭惠
(阿壩師范?？茖W校數(shù)學系, 四川 汶川 623000)

設p是奇素數(shù), 利用初等方法證明了: 當k≥2, n>2, 且都是整數(shù), 則丟番圖方程x(x+1)(x+2)=2pKyn沒有正整數(shù)解(p, x, y).

丟番圖方程; Lucas問題; 正整數(shù)解.

1 引言

早在1875年, 數(shù)學家Lucas[1]就猜想丟番圖方程

僅有正整數(shù)解(x, y)=(1, 1), (24, 70). 直到1971年, 才由Ljunggren[2]利用四次域理論給出了肯定的回答. 隨后, Watson[3]、馬德剛[4]、徐肇玉, 曹珍富[5]分別給出了不同的獨立證明. 1996年, 曹珍富[6]證明了更一般方程在時僅有正整數(shù)解(p, x, y)=(3, 1, 1)和(7, 7, 6). 再后來王云葵[8]、崔保軍[10]等對(1)的推廣形式進行了研究.

最近, 文獻[7]研究了: 當p是奇素數(shù), n是大于2的整數(shù), 方程

僅有正整數(shù)解(p, x, y)=(3, 1, 1).

本文研究方程(1)的推廣形式

利用不定方程的一般結論, 證明了方程(3)沒有正整數(shù)解.

2 一些引理

引理1[7]設是n大于2的整數(shù), 則方程?沒有正整數(shù)解(x, y).

引理2[7]設是n大于2的整數(shù), 則方程xn-2yn=-1僅有正整數(shù)解(x, y)=(1, 1).

引理3[9]設是n大于1的整數(shù), 則方程

僅有正整數(shù)解(x, y, n)=(3, 2, 3).

引理4[6]設是n大于2的整數(shù), 則方程沒有正整數(shù)解(x, y).

3 定理及證明

[1] LUCAS E. Problem 1180[J]. Nouv Ann Math, 1875, 14:336

[2] LJUNGGREN W. A diophantine problem[J]. London Math Soc, 1971, 3:385-391.

[3] WASTON C N. The problem of the square pyramid[J]. Messenger of Math, 1981, 48:1-22.

[4] 馬德剛. 方程6y2=x(x+1)(2x+1)的解的初等證明[J]. 四川大學學報: 自然科學版, 1985(4): 107-116.

[5] 徐肇玉, 曹珍富. 關于Mordell的一個問題[J]. 科學通報,1985, 30(7): 558-559.

[6] 曹珍富. 數(shù)論中的問題與結果[M]. 哈爾濱: 哈爾濱工業(yè)大學出版社, 1996: 124-125.

[7] 管訓貴. 關于丟番圖方程x(x+1)(x+2)=2pyn[J]. 湖北民族學院學報: 自然科學版, 2012(4): 404-408.

[8] 王云葵. 關于丟番圖方程x(x+1)(2x+1)=2pyn[J]. 吉首大學學報: 自然科學版, 2008, 29(2):18-19.

[9] 柯召. 關于方程x2=yn+1, xy≠0 [J]. 四川大學學報: 自然科學版, 1962, 14: 457-460.

[10] 崔保軍. 關于方程x(x+1)(x+2)=2py3[J]. 高師理科學刊, 2011, 31(2): 25-26.

On the Diophantine equation x(x+1)(x+2)=2pkyn

ZHENG Hui
(Department of Mathematics, A’Ba Teacher’s College, Wenchuan 623000, P.R.C.)

Let p be odd prime. This paper uses the elementary method to study the problem that if k ≥2, n>2 are integers, Diophantine equation x(x+1)(x+2)=2pKynhas no positive integer solution .

Diophantine equation; Lucas’s problem; positive integer solution

O156.7

: A

: 1003-4271(2014)03-0399-03

10.3969/j.issn.1003-4271.2014.03.13

2014-01-07

鄭惠(1977 -), 女, 四川南充人, 副教授, 研究方向: 數(shù)論以及幾何研究.基金項目: 阿壩師專校級科研基金資助項目.