基于LSSVM-ARMA 模型的基坑變形時間序列預測

曹 凈，丁文云，趙黨書，宋志剛，劉海明

（昆明理工大學 土木工程學院，昆明 650500）

1 引言

隨著基坑工程向更大、更深、更復雜的趨勢發(fā)展，支護技術難度越來越大，基坑變形對周邊環(huán)境的影響也更加突出，如何準確預測和有效控制基坑變形以保證周邊環(huán)境安全，已成為基坑工程亟待解決的問題。

基坑變形是支護系統(tǒng)內部復雜力學機制的宏觀反應，蘊含了內部力學演化信息，故期望從中找出演化規(guī)律，利用已知的監(jiān)測數據預測未來的發(fā)展動態(tài)，進而反饋于原設計，及時調整施工方案或采取相應處理措施。該方法能避開復雜的基坑變形內在機理，成為基坑信息化動態(tài)控制的有效途徑[1]。然而，基坑工程是一種特殊的地下空間工程，其特點之一是以巖土體為工程材料，以巖土體天然或人工結構為工程結構。由于巖土體是一種非均質各向異性的彈塑黏性體，地質條件的復雜性，使其力學參數和力學現象具有很強的隨機性和不確定性，導致基坑變形預測問題具有一定的難度。

基坑開挖是一個復雜的土體卸荷過程，卸荷是導致基坑變形的直接原因。此外，基坑變形還受工程地質條件、場地環(huán)境條件、支護設計類型、面積尺寸、形狀、開挖深度、地面荷載、施工方法、施工進度、時間和溫度等多種因素影響[2]，使其除了具有巖土力學變化的內在趨勢外，通常還帶有一定的隨機性，即基坑實測變形序列包含趨勢項和隨機項，其中，趨勢項體現了基坑變形的主要規(guī)律，是變形預測的主要依據，屬于非平穩(wěn)系列；隨機項屬于噪聲系列，具有一定的平穩(wěn)性，是影響單一預測方法精度的主要原因之一，若剔除該部分信息，則會降低預測結果的精度和真實性。在基坑變形預測過程中，對趨勢項和隨機項應分別進行預測分析。

近年來，人工神經網絡[3]、灰色系統(tǒng)理論[4]、時間序列分析[5]和支持向量機[1]等單一模型或其組合模型[6－7]被成功用于基坑變形時間序列預測。但這些預測方法在預測過程中沒有充分考慮和區(qū)分趨勢項和隨機項的特點及影響，或多或少存在著相對簡單，各有特點和適用場合，不能充分挖掘原始數據信息，預測精度有待提高的缺點[8]。

基于上述基坑變形預測的難點及現有方法的不足，本文結合小波變換、粒子群優(yōu)化的最小二乘支持向量機（PSO-LSSVM）和自回歸移動平均模型（ARMA）建立了聯合的預測方法和模型，能增強對基坑復雜動力系統(tǒng)的適應和處理能力，取得較好的預測效果。

2 基坑變形預測思路

小波分析技術是近年發(fā)展起來的一種時頻分析方法，在降噪領域得到很好的應用。本文通過小波變換將基坑實測變形時間序列過濾成平滑的趨勢時間序列，利用非線性的預測方法構造趨勢時間序列預測模型。為了減少原始變形時間序列中的信息丟失，針對過濾出的噪聲序列即隨機時間序列也建立相應的預測模型，最后將趨勢時間序列和隨機時間序列的預測值求和作為最終預測結果。如何構造2個子序列的預測模型是整個預測過程中的關鍵。

由Vapnik 等[9]提出的支持向量機（SVM）在時間序列預測方面已顯示出一些優(yōu)越性，其特點是遵循結構風險最小化原理，使得它具有更好的泛化能力，并能得到全局最優(yōu)解。但SVM 的訓練需要求解2 次規(guī)劃問題，影響了它的計算速度。為此，Suykens 等[10]提出了最小二乘支持向量機（LSSVM）方法，利用最小二乘法將二次規(guī)劃問題轉化為線性方程組求解，提高了學習速度。而LSSVM 的預測精度過度依賴于其參數的選擇，其取值主要依據經驗與試算，沒有統(tǒng)一的規(guī)則。粒子群(PSO)算法[11]是基于種群的并行全局搜索策略，概念簡單易于實現，且沒有許多參數需要調整，具有更快的收斂速度，對處理高維問題也有一定的優(yōu)勢，被廣泛用于支持向量機參數尋優(yōu)。本文利用粒子群算法對LSSVM 參數進行優(yōu)化，并建立PSO-LSSVM 模型對趨勢時間序列進行滾動預測。另外，由于隨機時間序列具有一定的平穩(wěn)性和隨機性，而ARMA 模型能夠有效地處理該特性，因此將其用于隨機時間序列預測。

本文將小波變換、LSSVM和ARMA 模型結合在一起，考慮了隨機序列的影響，使預測結果更接近實際，并針對趨勢序列和隨機序列的不同特點分別采用不同的方法進行預測分析，總體思路如圖1所示。

圖1 預測流程圖Fig.1 Flowchart of forecast

3 LSSVM-ARMA 模型

3.1 基本理論

3.1.1 小波變換

設函數ψ(t)為一平方可積函數，若其傅里葉變換ψ(w)滿足如下的容許條件：

則函數族 ψ(t)可以按不同的尺度α和不同的平移β 產生函數族：

式中：α為尺度因子；β為平移因子。小波變換的實質就是將一原始時間序列 f(t)表示為函數族的加權和，即

由于小波變換后得到的時間序列比分解前的時間序列點數少，點數的減少對預測是不利的。所以，采用重構算法對小波變換后的時間序列進行重構以增加點數，其重構算法為

在小波變換中，分解層數不宜過少，也不宜過多。為保證趨勢時間序列的平滑度，本文采用DB4正交小波[12]對實測變形時間序列進行2 層分解。

3.1.2 LSSVM 理論

對于一個給定的樣本集(xi,yi)，i=1,2,…,l，xi∈ Rn， yi∈ R，用非線性映射 φ(·)把樣本集從輸入空間映射到特征空間，然后在高維特征空間中進行線性回歸：

根據結構風險最小化原理，回歸問題可以轉化為

約束條件：

式中：w為LSSVM 的權值系數；b為常值偏差；c為懲罰因子；ξi為松弛因子。

為求解該約束的最優(yōu)化問題，通過引入拉格朗日函數，由KKT 條件求解。最終可得到如下的LSSVM 回歸函數模型：

式中： δi為拉格朗日乘子；K(x,xi)為核函數。LSSVM 常用的核函數有徑向基函數、多項式函數、線性函數等。研究表明，徑向基函數具有較強的泛化能力[13]，因此本文選用徑向基核函數，其表達式為

LSSVM 的主要參數包括核函數參數σ和懲罰參數c，本文采用PSO 算法進行優(yōu)選。

3.1.3 PSO 理論

PSO 算法是基于群體智能理論的一種進化計算方法，其基本思想是通過群體中個體之間的信息傳遞及信息共享來尋找最優(yōu)解。設粒子群群體規(guī)模為M，每個粒子在D 維空間飛行，初始速度Vi={vi1,vi2,…,vid}，初始位置為一隨機變量Ui=[ui1,ui2,…,uid]，i=1,2,…,M，d=1,2,…,D，則每個粒子是通過2個“極值”來尋找最優(yōu)解，一個是粒子本身的最優(yōu)解pbesti，用Pi=[pi1,pi2,…,pid]表示，另一個是整個種群目前的最優(yōu)解gbest，用Pg=[pg1,pg2,…,pgd]表示。根據粒子適應度值，即可得到如下的粒子更新的速度和位置，直到符合終止條件：

式中：k為迭代次數；c1、c2為學習因子；r1、r2為[0,1]之間的隨機數；ω為慣性權重系數。

本文需要優(yōu)化的LSSVM 參數為[σ，c]，因此取D=2。由于粒子群算法對群體規(guī)模的大小并不十分敏感，通常取10～40，本文取M=30。迭代次數可自由設定，本文取kmax=200。對于學習因子，c1值較小會導致粒子缺失認知能力，c2值較小會降低粒子間的信息共享能力，二者通常取0～2，大多數文獻根據經驗一般都取2，本文取c1=1.5，c2=1.7。對于慣性權重系數，較大的ω 值有利于跳出局部極小點，提高算法的全局搜索能力，而較小的ω值有利于算法收斂，本文取ω=0.5，變化范圍為0.1～1.0。構建學習樣本均方根誤差eRMSE作為LSSVM 的適應度函數和PSO 算法的目標函數：

式中： zi為實測值；為預測值；N為預測樣本數量。

當LSSVM 的eRMSE最小時，對應的[σ，c]即為最優(yōu)參數。具體優(yōu)化步驟：①初始化粒子群參數；②評價各粒子的適應度，即計算式(6)的值，將其作為適應度函數：F(u)=F(σ,c)=eRMSE；③將每個粒子的當前適應度值F(ui)和自身最優(yōu)適應度值F(pbesti)對比，如果F(ui)

3.1.4 ARMA 模型

ARMA[14]模型的基本思想是：某些時間序列是依賴于時間t 的一組隨機變量，構成該時序的單個序列值雖然具有不確定性，但整個序列的變化卻有一定的規(guī)律性，可以用相應的數學模型近似描述。其3 種基本類型是：自回歸(AR)模型、滑動平均(MA)模型以及自回歸滑動平均(ARMA)模型，前兩者是后者的特殊情況。ARMA 模型中，時間序列值yt是當期和前期的隨機誤差項以及前期值的線性函數，可表示為

記為ARMA(p,q)，式中：φ1,φ2,…,φp為自回歸系數；θ1,θ2,…,θq為滑動平均系數；它們都是模型的待估參數；p、q為系數的階數；ut,ut-1,…,ut-q為相互獨立的白噪聲序列。如果原序列非平穩(wěn)，經過d 階逐期差分后平穩(wěn)，則原序列可表示為ARIMA(p,d,q)模型。ARMA 模型建模步驟如下。

①平穩(wěn)化檢驗及平穩(wěn)化處理

繪制時間序列的自相關和偏相關分析圖，若序列不滿足平穩(wěn)性條件則對序列差分或對數差分使其自相關系數和偏相關系數都很快趨于0，確定差分階數d。

②模型識別

若序列的自相關系數、偏自相關系數均呈衰減正弦波并趨向于0，表現為拖尾性，則根據其拖尾起始位置，估計p和q 的可能取值，初選模型ARIMA(p,d,q)。

③參數估計及檢驗

用步驟②中滿足過程平穩(wěn)要求的初選模型建模，并確定Adjusted R-squared 值最小、AIC(akaikeinfo criterion)和SC(schwartz criterion)值最大的模型為該序列的最佳模型。

④模型檢驗

對模型的殘差序列進行白噪聲檢驗，驗證殘差序列的隨機性。

⑤模型預測分析

擴展樣本期至預測期，得到預測期內樣本的預測值。

⑥同類序列建模預測

該類中的其他時間序列用同一ARMA 模型進行建模預測。

3.2 預測方法

首先，利用DB4 正交小波將基坑實測變形時間序列分解、重構成一個更加平滑的趨勢時間序列和2個隨機時間序列，其中趨勢時間序列保留了基坑工程施工過程中的理論力學演化信息，隨機時間序列即為過濾掉的噪聲。

針對趨勢時間序列，在建立預測模型之前，首先利用相空間重構理論對實測數據進行預處理，其基本思想是將輸入空間的數據通過某種方式擴展到高維空間，進而在高維空間中提取數據中蘊含的信息和規(guī)律。Takens 證明了可以找到一個合適的嵌入維，即如果延遲坐標的維數m≥2d+1，d為動力系統(tǒng)維數，則可以在這個嵌入維中將有規(guī)律的吸引子恢復出來[15]。設時間序列x(1),x(2),…,x(t)，通過相空間重構理論，可以得到新的數據空間：

式中：m為嵌入維；τ為時間延遲。如何選擇恰當的嵌入維數和延遲時間是相空間重構的重點。本文采用C-C 方法來確定相空間重構過程中的參數，其計算原理可參考文獻[15]。對于相點X(1),X(2),…,X(N)，建立PSO-LSSVM 模型對相點序列進行訓練，尋找相點間的變化規(guī)律F，通過F 求出時間序列的下一個預測相點。在預測過程中時，為了充分利用最新信息，提高預測變形的準確性，采用滾動預測的方法，假設要對時間序列{ xi}進行預測，最佳歷史點數為p，預測的步數為q(p、q 根據實際問題確定)，目前已經獲得n個時間序列{x0,x1,…,xn-1}，滾動預測的第一步是用n個時間序列的{xi,xi+1,…,xi+p-1,xi+p}，(i=0,1,2,…,n-p-1)n-p 組時序預測n時刻后的{xn,xn+1,…,xn+q-1}q個時序；隨著后面q個時序的獲得，用q個新的時序替代前面的{x0,x1,…,xq-1}q個時序進行下一步預測，得到下一次的q個預測值，依次類推。

針對隨機時間序列，直接利用ARMA 模型預測其未來值。最后將趨勢時間序列和隨機時間序列的預測值求和作為最終預測結果。該預測方法的特點是針對實測變形時間序列中各個子序列的特征分別建立不同的預測模型，從而達到分而治之的目的，使得預測結果更加準確。

4 工程實例分析

利用上述方法對昆明某基坑工程的深層水平位移進行預測分析。該基坑最大開挖深度約為11 m，采用樁錨支護方式，場區(qū)地下分布有稍密粉土、軟塑黏土、有機質土和泥炭質土，基坑支護難度大。為確?；优c周圍建筑物的安全，在基坑施工過程中針對深層水平位移等內容進行了實時實測。基坑深層水平位移測點布設在基坑周邊支護樁內，共計30個點。

選取基坑4-4 剖面的測孔SCW15 對應2.5 m 測試深度的實測數據為例說明其預測方法。該剖面的開挖深度為10.95 m，共4 排錨索，9個工況。由于實測數據并非完全等時間采取，而時間序列分析對數據序列有等時距要求，因此需進行插值處理。為保證原數據序列的變形規(guī)律，減少插值影響，本文選擇進行分段線性插值，插值后1～9 工況分別對應6、8、9、5、13、3、10、5、5 組數據，共計64 組。4-4 剖面深層水平位移實測變形曲線和插值變形曲線如圖2 所示。首先利用1～3 工況的實測數據建模預測第4 工況的未來變形量，然后利用2～4 工況的實測數據建模預測第5 工況的未來變形量，依次類推，以實現利用前期工況最新實測數據滾動預測后期工況變形量。

圖2 4-4 剖面實測變形曲線和插值變形曲線Fig.2 Deformation curve of profile 4-4

（1）利用工況1～3 實測數據建模預測第4 工況未來變形量

以工況1～3 的23 組變形數據作為學習樣本，以4 工況的5 組數據作為檢測樣本，利用DB4 正交小波將工況1～4 的28 組數據進行2 層分解重構，結果如圖3 所示。其中，對于趨勢序列a2，采用相空間重構預處理，建立PSO-LSSVM 模型進行滾動預測：首先利用工況1～4 的1～24 組數據進行相空間重構（重構過程中默認第24 組數據為未知量），在相點間建立預測模型，并預測輸出第24 組數據；然后，利用2～25 組數據進行相空間重構（其中第24 組數據采用預測值，同樣默認第25 組數據為未知量），建模預測輸出第25 組數據；依次類推，滾動預測工況4對應其施工時間段的5組未來變形量。對于隨機序列d1、d2，利用ARMA 模型進行動態(tài)預測，根據序列相關圖確定d1、d2的預測模型分別為ARMA(4,1)和ARMA(2,1)。最后將趨勢時間序列和2個隨機時間序列中對于第4 工況的變形量預測值求和，作為最終預測結果。第4 工況預測結果見表1（預測值1和相對誤差1），對比結果如圖4 所示。為驗證LSSVM-ARMA 組合模型預測效果，不再采用小波變換，直接利用LSSVM 單一模型對第4 工況未來變形量進行預測，結果見表1（預測值2和相對誤差2）。

圖3 4-4剖面1-4工況變形序列小波分解重構Fig.3 Wavelet-decomposed results of working conditions 1-4

圖4 4-4 剖面4～6 工況預測結果對比Fig.4 Forecast results of working conditions 4-6

（2）其余工況外推預測

基于相同方法和步驟，分別利用2～4、3～5、4～6、5～7、6～8、7～9 工況實測數據建模預測第5、6、7、8、9 工況未來變形量，預測結果見表1，對比結果如圖4、5 所示。同樣，利用LSSVM 模型再次進行預測分析，并與本文組合模型預測結果進行對比，結果見表1。

由表1 可知，采用本文方法，基坑4-4 剖面的4～9 工況變形量預測值相對誤差范圍為0.08%～18.76%，平均值為10.04%；采用LSSVM 模型的預測值相對誤差范圍為0.52%～28.31%，平均值為10.94%，說明LSSVM-ARMA 模型具有較好的預測效果和精度。

表1 4-4 剖面4～9 工況變形量預測結果Table 1 Forecast results of working conditions 4-9 in section 4-4

為了充分驗證該模型的預測性能，基于4-4 剖面的變形預測過程，利用相同方法和步驟，選擇基坑中另外2個剖面的深層水平位移實測數據進行預測分析。

圖5 4-4 剖面7～9 工況預測結果對比Fig.5 Forecast results of working conditions 7-9 in section 4-4

（1）7-7 剖面（測孔SCW17，5 m 測試深度）

該剖面開挖深度為9.7 m，共3 排錨索，7個工況。采用分段線性插值法重新生成變形時間序列，1～7 工況分別對應8、17、15、4、2、9、12 組變形數據，共計67 組。該剖面深層水平位移實測變形曲線和插值變形曲線如圖6 所示。分別利用工況1～3、2～4、3～5、4～6 實測數據建模預測第4、5、6、7 工況未來變形量，預測結果對比如圖7 所示。其中，采用本文組合模型，4～7 工況變形量預測值相對誤差范圍為1.12%～10.73%，平均值為5.73%；采用LSSVM 模型的預測值相對誤差范圍為2.59%～17.21%，平均值為8.37%，本文組合模型預測效果較好。

圖6 7-7 剖面實測變形曲線和插值變形曲線Fig.6 Deformation curve of profile 7-7

圖7 7-7 剖面4～7 工況預測結果對比Fig.7 Forecast results of working conditions 4-7 in profile 7-7

（2）9-9 剖面（測孔SCW06，7.5 m 測試深度）

該剖面開挖深度為9.25 m，共2 排錨索，5個工況。采用分段線性插值重新生成變形時間序列，各工況分別對應17、3、7、6、13 組變形數據，共計46 組。該剖面深層水平位移實測變形曲線和插值變形曲線如圖8 所示。分別利用工況1～3、2～4實測數據建模預測第4、5 工況未來變形量，預測結果對比如圖9 所示。其中，采用本文組合模型，4、5 工況變形量預測值相對誤差范圍為0.33%～9.34%，平均值為5.86%；而采用LSSVM 模型的預測值相對誤差范圍為0.98%～15.91%，平均值為7.56%，本文組合模型預測效果較好。

圖8 9-9 剖面實測變形曲線和插值變形曲線Fig.8 Deformation curve of profile 9-9

圖9 9-9 剖面4、5 工況預測結果對比Fig.9 Forecast results of working conditions 4 and 5 in profile 9-9

綜合上述結果分析可知，LSSVM-ARMA 模型在基坑變形時間序列預測中具有較好的預測效果，相比LSSVM 單一預測模型具有更高的預測精度，是一種基于實測信息建模的好方法。對比各剖面變形曲線和預測結果可知，變形序列的趨勢性越好，預測精度越高；變形序列中的波動點越多，趨勢性越差，預測精度也越差，說明變形時間序列的趨勢性的好壞對預測精度有較大影響，這也是文中少數預測結果誤差較大的原因。

5 結論

（1）基坑變形數據是一個非線性和非平穩(wěn)的時間序列，通過小波變換，用LSSVM 建模預測其趨勢項，用ARMA 模型預測其隨機項，二者預測值疊加作為最終預測結果，能夠真實地反映基坑變形情況。

（2）采用LSSVM-ARMA 聯合模型能夠很好地解決基坑變形預測問題，小波變換提取的趨勢時間序列反映了基坑變形的內在規(guī)律，ARMA 模型可充分考慮不確定因素帶來的隨機性。該方法綜合了LSSVM和ARMA 各自的優(yōu)點，彌補了單一預測模型的局限性，且具有更好的預測效果和精度。

（3）將本文方法用于某實際基坑工程深層水平位移預測分析，3個剖面的預測值相對誤差范圍分別為0.08%～18.76%、1.12%～10.73%和0.33%～9.34%，平均相對誤差分別為10.04%、5.73%、5.86%，模型預測效果良好。

（4）采用滾動預測的方法，不斷利用最新實測數據建模，可以克服隨著預測步數的增大和誤差不斷積累導致模型預測值誤差過大的問題。滾動預測的實時性使施工人員能及時調整和優(yōu)化施工，維護支護結構的穩(wěn)定性，對基坑動態(tài)施工控制具有重要意義。

LSSVM-ARMA 聯合模型作為數據挖掘的一種方法，不僅適用于基坑非線性變形時間序列預測，還適用于巖土工程中的眾多非線性領域，值得推廣應用。

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