解題后反思總結(jié)的路徑

沈新權(quán)

在高考復(fù)習(xí)的過程中，要提高解題能力，做題是必經(jīng)之道.但是，做了題，甚至做了大量的數(shù)學(xué)題，解題能力是不是就一定能夠提高呢？

的確，“題海戰(zhàn)術(shù)”可以提高解題熟練程度，但要提升能力，還要靠解題后的反思與總結(jié).下面，我們通過對2013年高考數(shù)學(xué)浙江卷（理科）第7題的解答和反思，給同學(xué)們提供一些解題前后思考和總結(jié)的路徑與線索.

尋找解題思路

例 [2013年高考數(shù)學(xué)浙江卷（理科）第7題] 設(shè)△ABC，P0是邊AB上一定點，滿足P0B=AB，且對于邊AB上任一點P，恒有·≥·，則

（A） ∠ABC=90° （B） ∠BAC=90°

（C） AB=AC （D） AC=BC

這是一個以三角形中向量數(shù)量積的最小值問題為背景的題目.對于選擇題，要判斷三角形的形狀，我們常?？梢酝ㄟ^排除法得到答案.但對這道題而言，一一代入費時較多，不是一個好方法.因此，我們需要嘗試從題目的條件出發(fā)尋找解題思路.

題目的實質(zhì)就是當點P在點P0的位置時，數(shù)量積·取得最小值.要由此判斷△ABC的形狀，首先要考慮如何計算數(shù)量積·.當點P變化時，向量，的長度以及它們的夾角都在變化，所以直接計算·可能會比較困難.

求解平面向量問題一般有三種方法：坐標法、向量法和幾何法.我們首先考慮用最常見的坐標法，通過建立直角坐標系，利用點P，B，C的坐標來計算.

解法一： 如圖1所示，以點A為原點、AB所在的直線為x軸建立直角坐標系.

設(shè)△ABC的三邊BC，AC，AB的長度分別為a，b，c，則B（c，0），C（bcosA，bsinA）.設(shè)P點坐標為（x，0） （0≤x≤c），則·=（c-x，0）·（bcosA-x，bsinA）=x2-（bcosA+c）x+bccosA.因為0≤x≤c，故由二次函數(shù)性質(zhì)可知，當x=時，·取到最小值.

因為·≥·，所以當點P與P0重合時，·取到最小值.又P0B=AB=，所以x==c-c=c，化簡得cosA=，代入cosA=，解得a=b，即AC=BC.

點評： 借助直角坐標系是求解向量數(shù)量積的一種常用方法.通過設(shè)定點的坐標，我們把幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為點坐標之間的代數(shù)關(guān)系，這就降低了思維的難度.

答案是求出來了，我們的思考卻不能就此終止.以上解答雖然思路比較簡單，但還需要用余弦定理來判斷△ABC的形狀，運算量較大.有沒有其他的考慮問題的角度呢？

變換解題角度

在計算兩個向量的數(shù)量積時，我們還會經(jīng)常使用向量法.如果能把兩個向量轉(zhuǎn)化為其他特殊向量（垂直或共線的向量）的和或差，就更容易計算數(shù)量積.

解法二： 過點C作CH⊥AB，垂足為H，則·=·（+）=·.要使·最小，則與方向必相反，點P必在點H與點B之間，如圖2所示.

設(shè)HB=t，PB=x （0≤x≤t），則·=·=-x（t-x）=x2-tx，當且僅當x=時，·取到最小值-，此時P點為HB的中點.因為·≥·，所以當點P與P0重合時，·取到最小值，此時P0B=PB==HB. 又P0B=AB，所以HB=AB，即H為AB的中點.又CH⊥AB，所以△ABC為等腰三角形，AC=BC.

點評： 把轉(zhuǎn)化為與之和，使得·等價轉(zhuǎn)化為·.從而得出若·取得最小值，則與反向，這種轉(zhuǎn)化是本題的重點.

那么，這道題目還有沒有值得我們再思考的地方呢？我們發(fā)現(xiàn)，不管點P變化到什么位置，-=是恒成立的.從問題的運動變化中尋求不變量是我們思考數(shù)學(xué)問題的一種常見的方式，所以如果我們從已知條件·≥·直接入手，結(jié)合數(shù)學(xué)中“和、差、積”相互轉(zhuǎn)化的方法，可將·≥·等價轉(zhuǎn)化為（+）2-（-）2≥（+）2-（-）2，結(jié)合向量的幾何意義可知-=-=，所以（+）2≥（+）2.由于+，+均過BC的中點，我們想到用幾何法求解.

解法三： ·≥·等價于（+）2-（-）2≥（+）2-（-）2.因為-=-=，所以等價于（+）2≥（+）2.

如圖3所示，設(shè)D為BC的中點，則+=2，+=2，所以2≥2，即PD≥P0D，所以必有P0D⊥AB.

因為P0B=AB，所以當PB=AB即點P為AB的中點時，P0為PB的中點.又D為BC中點，所以PC∥P0D，即PC⊥AB，所以△ABC為等腰三角形，AC=BC.

點評： 根據(jù)條件·≥·，我們發(fā)現(xiàn)其充要條件是（+）2≥（+）2，這為解決問題提供了思路.結(jié)合向量的幾何意義思考問題，正是這個解法的本質(zhì)所在.

擴大解題成果

經(jīng)過上述思考，我們可以總結(jié)出，對于求解向量數(shù)量積的最值問題，坐標法（解法一）、向量法（解法二）、幾何法（解法三）可以作為解題的思考方向.這三種方法還可以推廣到一般的向量問題，因為向量本身就是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，既具有代數(shù)的抽象與嚴謹，又不失幾何的形象與直觀.

在解題前后，如果我們經(jīng)常思考題目涉及的知識和方法，總結(jié)解決這類題型的思考方向，就能夠達到做一道題會一類題的效果，思維能力也會因此得到不斷的提升.

在高考復(fù)習(xí)的過程中，要提高解題能力，做題是必經(jīng)之道.但是，做了題，甚至做了大量的數(shù)學(xué)題，解題能力是不是就一定能夠提高呢？

的確，“題海戰(zhàn)術(shù)”可以提高解題熟練程度，但要提升能力，還要靠解題后的反思與總結(jié).下面，我們通過對2013年高考數(shù)學(xué)浙江卷（理科）第7題的解答和反思，給同學(xué)們提供一些解題前后思考和總結(jié)的路徑與線索.

尋找解題思路

例 [2013年高考數(shù)學(xué)浙江卷（理科）第7題] 設(shè)△ABC，P0是邊AB上一定點，滿足P0B=AB，且對于邊AB上任一點P，恒有·≥·，則

（A） ∠ABC=90° （B） ∠BAC=90°

（C） AB=AC （D） AC=BC

這是一個以三角形中向量數(shù)量積的最小值問題為背景的題目.對于選擇題，要判斷三角形的形狀，我們常?？梢酝ㄟ^排除法得到答案.但對這道題而言，一一代入費時較多，不是一個好方法.因此，我們需要嘗試從題目的條件出發(fā)尋找解題思路.

題目的實質(zhì)就是當點P在點P0的位置時，數(shù)量積·取得最小值.要由此判斷△ABC的形狀，首先要考慮如何計算數(shù)量積·.當點P變化時，向量，的長度以及它們的夾角都在變化，所以直接計算·可能會比較困難.

求解平面向量問題一般有三種方法：坐標法、向量法和幾何法.我們首先考慮用最常見的坐標法，通過建立直角坐標系，利用點P，B，C的坐標來計算.

解法一： 如圖1所示，以點A為原點、AB所在的直線為x軸建立直角坐標系.

設(shè)△ABC的三邊BC，AC，AB的長度分別為a，b，c，則B（c，0），C（bcosA，bsinA）.設(shè)P點坐標為（x，0） （0≤x≤c），則·=（c-x，0）·（bcosA-x，bsinA）=x2-（bcosA+c）x+bccosA.因為0≤x≤c，故由二次函數(shù)性質(zhì)可知，當x=時，·取到最小值.

因為·≥·，所以當點P與P0重合時，·取到最小值.又P0B=AB=，所以x==c-c=c，化簡得cosA=，代入cosA=，解得a=b，即AC=BC.

點評： 借助直角坐標系是求解向量數(shù)量積的一種常用方法.通過設(shè)定點的坐標，我們把幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為點坐標之間的代數(shù)關(guān)系，這就降低了思維的難度.

答案是求出來了，我們的思考卻不能就此終止.以上解答雖然思路比較簡單，但還需要用余弦定理來判斷△ABC的形狀，運算量較大.有沒有其他的考慮問題的角度呢？

變換解題角度

在計算兩個向量的數(shù)量積時，我們還會經(jīng)常使用向量法.如果能把兩個向量轉(zhuǎn)化為其他特殊向量（垂直或共線的向量）的和或差，就更容易計算數(shù)量積.

解法二： 過點C作CH⊥AB，垂足為H，則·=·（+）=·.要使·最小，則與方向必相反，點P必在點H與點B之間，如圖2所示.

設(shè)HB=t，PB=x （0≤x≤t），則·=·=-x（t-x）=x2-tx，當且僅當x=時，·取到最小值-，此時P點為HB的中點.因為·≥·，所以當點P與P0重合時，·取到最小值，此時P0B=PB==HB. 又P0B=AB，所以HB=AB，即H為AB的中點.又CH⊥AB，所以△ABC為等腰三角形，AC=BC.

點評： 把轉(zhuǎn)化為與之和，使得·等價轉(zhuǎn)化為·.從而得出若·取得最小值，則與反向，這種轉(zhuǎn)化是本題的重點.

那么，這道題目還有沒有值得我們再思考的地方呢？我們發(fā)現(xiàn)，不管點P變化到什么位置，-=是恒成立的.從問題的運動變化中尋求不變量是我們思考數(shù)學(xué)問題的一種常見的方式，所以如果我們從已知條件·≥·直接入手，結(jié)合數(shù)學(xué)中“和、差、積”相互轉(zhuǎn)化的方法，可將·≥·等價轉(zhuǎn)化為（+）2-（-）2≥（+）2-（-）2，結(jié)合向量的幾何意義可知-=-=，所以（+）2≥（+）2.由于+，+均過BC的中點，我們想到用幾何法求解.

解法三： ·≥·等價于（+）2-（-）2≥（+）2-（-）2.因為-=-=，所以等價于（+）2≥（+）2.

如圖3所示，設(shè)D為BC的中點，則+=2，+=2，所以2≥2，即PD≥P0D，所以必有P0D⊥AB.

因為P0B=AB，所以當PB=AB即點P為AB的中點時，P0為PB的中點.又D為BC中點，所以PC∥P0D，即PC⊥AB，所以△ABC為等腰三角形，AC=BC.

點評： 根據(jù)條件·≥·，我們發(fā)現(xiàn)其充要條件是（+）2≥（+）2，這為解決問題提供了思路.結(jié)合向量的幾何意義思考問題，正是這個解法的本質(zhì)所在.

擴大解題成果

經(jīng)過上述思考，我們可以總結(jié)出，對于求解向量數(shù)量積的最值問題，坐標法（解法一）、向量法（解法二）、幾何法（解法三）可以作為解題的思考方向.這三種方法還可以推廣到一般的向量問題，因為向量本身就是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，既具有代數(shù)的抽象與嚴謹，又不失幾何的形象與直觀.

在解題前后，如果我們經(jīng)常思考題目涉及的知識和方法，總結(jié)解決這類題型的思考方向，就能夠達到做一道題會一類題的效果，思維能力也會因此得到不斷的提升.

在高考復(fù)習(xí)的過程中，要提高解題能力，做題是必經(jīng)之道.但是，做了題，甚至做了大量的數(shù)學(xué)題，解題能力是不是就一定能夠提高呢？

的確，“題海戰(zhàn)術(shù)”可以提高解題熟練程度，但要提升能力，還要靠解題后的反思與總結(jié).下面，我們通過對2013年高考數(shù)學(xué)浙江卷（理科）第7題的解答和反思，給同學(xué)們提供一些解題前后思考和總結(jié)的路徑與線索.

尋找解題思路

例 [2013年高考數(shù)學(xué)浙江卷（理科）第7題] 設(shè)△ABC，P0是邊AB上一定點，滿足P0B=AB，且對于邊AB上任一點P，恒有·≥·，則

（A） ∠ABC=90° （B） ∠BAC=90°

（C） AB=AC （D） AC=BC

這是一個以三角形中向量數(shù)量積的最小值問題為背景的題目.對于選擇題，要判斷三角形的形狀，我們常常可以通過排除法得到答案.但對這道題而言，一一代入費時較多，不是一個好方法.因此，我們需要嘗試從題目的條件出發(fā)尋找解題思路.

題目的實質(zhì)就是當點P在點P0的位置時，數(shù)量積·取得最小值.要由此判斷△ABC的形狀，首先要考慮如何計算數(shù)量積·.當點P變化時，向量，的長度以及它們的夾角都在變化，所以直接計算·可能會比較困難.

求解平面向量問題一般有三種方法：坐標法、向量法和幾何法.我們首先考慮用最常見的坐標法，通過建立直角坐標系，利用點P，B，C的坐標來計算.

解法一： 如圖1所示，以點A為原點、AB所在的直線為x軸建立直角坐標系.

設(shè)△ABC的三邊BC，AC，AB的長度分別為a，b，c，則B（c，0），C（bcosA，bsinA）.設(shè)P點坐標為（x，0） （0≤x≤c），則·=（c-x，0）·（bcosA-x，bsinA）=x2-（bcosA+c）x+bccosA.因為0≤x≤c，故由二次函數(shù)性質(zhì)可知，當x=時，·取到最小值.

因為·≥·，所以當點P與P0重合時，·取到最小值.又P0B=AB=，所以x==c-c=c，化簡得cosA=，代入cosA=，解得a=b，即AC=BC.

點評： 借助直角坐標系是求解向量數(shù)量積的一種常用方法.通過設(shè)定點的坐標，我們把幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為點坐標之間的代數(shù)關(guān)系，這就降低了思維的難度.

答案是求出來了，我們的思考卻不能就此終止.以上解答雖然思路比較簡單，但還需要用余弦定理來判斷△ABC的形狀，運算量較大.有沒有其他的考慮問題的角度呢？

變換解題角度

在計算兩個向量的數(shù)量積時，我們還會經(jīng)常使用向量法.如果能把兩個向量轉(zhuǎn)化為其他特殊向量（垂直或共線的向量）的和或差，就更容易計算數(shù)量積.

解法二： 過點C作CH⊥AB，垂足為H，則·=·（+）=·.要使·最小，則與方向必相反，點P必在點H與點B之間，如圖2所示.

設(shè)HB=t，PB=x （0≤x≤t），則·=·=-x（t-x）=x2-tx，當且僅當x=時，·取到最小值-，此時P點為HB的中點.因為·≥·，所以當點P與P0重合時，·取到最小值，此時P0B=PB==HB. 又P0B=AB，所以HB=AB，即H為AB的中點.又CH⊥AB，所以△ABC為等腰三角形，AC=BC.

點評： 把轉(zhuǎn)化為與之和，使得·等價轉(zhuǎn)化為·.從而得出若·取得最小值，則與反向，這種轉(zhuǎn)化是本題的重點.

那么，這道題目還有沒有值得我們再思考的地方呢？我們發(fā)現(xiàn)，不管點P變化到什么位置，-=是恒成立的.從問題的運動變化中尋求不變量是我們思考數(shù)學(xué)問題的一種常見的方式，所以如果我們從已知條件·≥·直接入手，結(jié)合數(shù)學(xué)中“和、差、積”相互轉(zhuǎn)化的方法，可將·≥·等價轉(zhuǎn)化為（+）2-（-）2≥（+）2-（-）2，結(jié)合向量的幾何意義可知-=-=，所以（+）2≥（+）2.由于+，+均過BC的中點，我們想到用幾何法求解.

解法三： ·≥·等價于（+）2-（-）2≥（+）2-（-）2.因為-=-=，所以等價于（+）2≥（+）2.

如圖3所示，設(shè)D為BC的中點，則+=2，+=2，所以2≥2，即PD≥P0D，所以必有P0D⊥AB.

因為P0B=AB，所以當PB=AB即點P為AB的中點時，P0為PB的中點.又D為BC中點，所以PC∥P0D，即PC⊥AB，所以△ABC為等腰三角形，AC=BC.

點評： 根據(jù)條件·≥·，我們發(fā)現(xiàn)其充要條件是（+）2≥（+）2，這為解決問題提供了思路.結(jié)合向量的幾何意義思考問題，正是這個解法的本質(zhì)所在.

擴大解題成果

經(jīng)過上述思考，我們可以總結(jié)出，對于求解向量數(shù)量積的最值問題，坐標法（解法一）、向量法（解法二）、幾何法（解法三）可以作為解題的思考方向.這三種方法還可以推廣到一般的向量問題，因為向量本身就是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，既具有代數(shù)的抽象與嚴謹，又不失幾何的形象與直觀.

在解題前后，如果我們經(jīng)常思考題目涉及的知識和方法，總結(jié)解決這類題型的思考方向，就能夠達到做一道題會一類題的效果，思維能力也會因此得到不斷的提升.