走出錯(cuò)位相減的誤區(qū)

陳定昌

用錯(cuò)位相減法求解數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)，常會(huì)出現(xiàn)三種錯(cuò)誤：一是沒有數(shù)清項(xiàng)數(shù)；二是沒有認(rèn)清起始項(xiàng)；三是沒有將同次冪項(xiàng)對(duì)應(yīng)相減.

錯(cuò)位相減法源自等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)和公式Sn=（公比q≠1）的推導(dǎo)過程，它常用于求解形如{anbn}數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn，其中{an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比q≠1的等比數(shù)列.

使用錯(cuò)位相減法的步驟為：

（1） 錯(cuò)位. 列出數(shù)列{anbn}前n項(xiàng)之和Tn=a1b1+a2b2+…+anbn （①），在①式兩邊同乘以等比數(shù)列{bn}的公比q，得到qTn=a1b2+a2b3+…+anbn+1 （②）.

（2） 相減. ①-②可得（1-q）Tn=a1b1+（a2-a1）b2+…+（an-an-1）bn-anbn+1=a1b1+d（b2+…+bn）-anbn+1 （③）.

（3） 求和. ③式兩邊同除以1-q即可得Tn.

例 已知在數(shù)列{an}中，an=1， n=1，2；3n-3，n≥3且n∈N*.求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn.

錯(cuò)解一： 當(dāng)n≥3時(shí)，可得Tn=1·1+2·1+3·30+4·31+5·32+…+（n-1）·3n-4+n·3n-3 （①）， 故有3Tn=3+6+3·31 +4·32+…+（n-2）·3n-4+（n-1）·3n-3+n·3n-2 （②）.

①-②可得-2Tn=-3+（31+32+…+3n-3）-n·3n-2=-3+-n·3n-2=-+3n-3，故Tn=+·3n-3，n≥3且n∈N*.

當(dāng)n=1時(shí)，Tn=1·1=1；當(dāng)n=2時(shí)，Tn=1·1+2·1=3.

所以Tn=1，n=1；3，n=2；+·3n-3，n≥3且n∈N*.

錯(cuò)因一： 沒有數(shù)清項(xiàng)數(shù)

若公比為q的等比數(shù)列{cn}連續(xù)的項(xiàng)之和為c1qt+c1qt+1+…+c1qn-1+c1qn （t

在錯(cuò)解一中，同學(xué)們誤以為31+32+…+3n-3共有（n-3）-1=n-4項(xiàng)，其實(shí)該和式應(yīng)該含[（n-3）-1]+1=n-3項(xiàng)，故31+32+…+3n-3=.

錯(cuò)解二： 由錯(cuò)解一可得-2Tn=-3+（31+32+…+3n-3）-n·3n-2，故-2Tn=-3+-n·3n-2=-+3n-2，所以Tn=+·3n-2，n∈N*.

錯(cuò)因二： 沒有認(rèn)清起始項(xiàng)

根據(jù)所求得的通項(xiàng)，當(dāng)n=1時(shí)，T1=+·3-1=；而由題意可知T1=1×1=1，兩者不符，答案肯定有誤.

由題意可知，當(dāng)n≥3時(shí)，Tn=1·1+2·1+3·30+4·31+5·32+…+（n-1）·3n-4+n·3n-3，這說明Tn從第3項(xiàng)3·30起，才有等差項(xiàng)n與等比項(xiàng)3n-3之積的形式，所以錯(cuò)位相減法求得的是當(dāng)n≥3時(shí)Tn的值，我們還需求出當(dāng)n=1，2時(shí)Tn的值.

用錯(cuò)位相減法求解Tn=t1+t2+…+tn時(shí)，若該和式從第s項(xiàng)ts起才滿足等差項(xiàng)與等比項(xiàng)之積的形式，則求得的Tn只符合n≥s時(shí)的情況.

錯(cuò)解三： 當(dāng)n≥3且n∈N*時(shí)，在Tn=1·1+2·1+3·30+4·31+5·32+…+（n-1）·3n-4+n·3n-3中，記Sn=3·30+4·31+…+n·3n-3 （①），則3Sn=3·31+…+（n-1）·3n-3+n·3n-2 （②）. ①-②可得-2Sn=3（30-31）+4（31-32）+…+n（3n-3-3n-2）=3（30-3·30）+4（31-3·31）+…+n（3n-3-3·3n-3）=-6·30-8·31-…-2n·3n-3，故Sn=3·30+4·31+…+n·3n-3.這就又回到了①式，解題陷入了“死循環(huán)”.

錯(cuò)因三： 沒有將同次冪項(xiàng)對(duì)應(yīng)相減

使用錯(cuò)位相減法時(shí)，應(yīng)將同次冪項(xiàng)對(duì)應(yīng)相減，即必須“錯(cuò)位”.將錯(cuò)解三中①②兩式的同次冪項(xiàng)對(duì)應(yīng)相減，可得-2Sn=3·30+{（4-3）31+（5-4）32+…+[n-（n-1）]3n-3}-n·3n-2=3·30+（31+32+…+3n-3）-n·3n-2.用等比數(shù)列求和公式求出31+32+…+3n-3，即可求得Sn=-+·3n-2，并進(jìn)一步求解Tn.

當(dāng)和式中含有不能用錯(cuò)位相減法求和的項(xiàng)時(shí)，可將和式分為“能用錯(cuò)位相減法求和的項(xiàng)”和“不能用錯(cuò)位相減法求和的項(xiàng)”兩類，分組求和再相加.

正解： 由錯(cuò)解二可得Tn=+·3n-2，n≥3且n∈N*.當(dāng)n=1時(shí)，Tn=1·1=1；當(dāng)n=2時(shí)，Tn=1·1+2·1=3.所以Tn=1，n=1；3，n=2；+·3n-2，n≥3且n∈N*.

用錯(cuò)位相減法求解數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)，常會(huì)出現(xiàn)三種錯(cuò)誤：一是沒有數(shù)清項(xiàng)數(shù)；二是沒有認(rèn)清起始項(xiàng)；三是沒有將同次冪項(xiàng)對(duì)應(yīng)相減.

錯(cuò)位相減法源自等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)和公式Sn=（公比q≠1）的推導(dǎo)過程，它常用于求解形如{anbn}數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn，其中{an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比q≠1的等比數(shù)列.

使用錯(cuò)位相減法的步驟為：

（1） 錯(cuò)位. 列出數(shù)列{anbn}前n項(xiàng)之和Tn=a1b1+a2b2+…+anbn （①），在①式兩邊同乘以等比數(shù)列{bn}的公比q，得到qTn=a1b2+a2b3+…+anbn+1 （②）.

（2） 相減. ①-②可得（1-q）Tn=a1b1+（a2-a1）b2+…+（an-an-1）bn-anbn+1=a1b1+d（b2+…+bn）-anbn+1 （③）.

（3） 求和. ③式兩邊同除以1-q即可得Tn.

例 已知在數(shù)列{an}中，an=1， n=1，2；3n-3，n≥3且n∈N*.求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn.

錯(cuò)解一： 當(dāng)n≥3時(shí)，可得Tn=1·1+2·1+3·30+4·31+5·32+…+（n-1）·3n-4+n·3n-3 （①）， 故有3Tn=3+6+3·31 +4·32+…+（n-2）·3n-4+（n-1）·3n-3+n·3n-2 （②）.

①-②可得-2Tn=-3+（31+32+…+3n-3）-n·3n-2=-3+-n·3n-2=-+3n-3，故Tn=+·3n-3，n≥3且n∈N*.

當(dāng)n=1時(shí)，Tn=1·1=1；當(dāng)n=2時(shí)，Tn=1·1+2·1=3.

所以Tn=1，n=1；3，n=2；+·3n-3，n≥3且n∈N*.

錯(cuò)因一： 沒有數(shù)清項(xiàng)數(shù)

若公比為q的等比數(shù)列{cn}連續(xù)的項(xiàng)之和為c1qt+c1qt+1+…+c1qn-1+c1qn （t

在錯(cuò)解一中，同學(xué)們誤以為31+32+…+3n-3共有（n-3）-1=n-4項(xiàng)，其實(shí)該和式應(yīng)該含[（n-3）-1]+1=n-3項(xiàng)，故31+32+…+3n-3=.

錯(cuò)解二： 由錯(cuò)解一可得-2Tn=-3+（31+32+…+3n-3）-n·3n-2，故-2Tn=-3+-n·3n-2=-+3n-2，所以Tn=+·3n-2，n∈N*.

錯(cuò)因二： 沒有認(rèn)清起始項(xiàng)

根據(jù)所求得的通項(xiàng)，當(dāng)n=1時(shí)，T1=+·3-1=；而由題意可知T1=1×1=1，兩者不符，答案肯定有誤.

由題意可知，當(dāng)n≥3時(shí)，Tn=1·1+2·1+3·30+4·31+5·32+…+（n-1）·3n-4+n·3n-3，這說明Tn從第3項(xiàng)3·30起，才有等差項(xiàng)n與等比項(xiàng)3n-3之積的形式，所以錯(cuò)位相減法求得的是當(dāng)n≥3時(shí)Tn的值，我們還需求出當(dāng)n=1，2時(shí)Tn的值.

用錯(cuò)位相減法求解Tn=t1+t2+…+tn時(shí)，若該和式從第s項(xiàng)ts起才滿足等差項(xiàng)與等比項(xiàng)之積的形式，則求得的Tn只符合n≥s時(shí)的情況.

錯(cuò)解三： 當(dāng)n≥3且n∈N*時(shí)，在Tn=1·1+2·1+3·30+4·31+5·32+…+（n-1）·3n-4+n·3n-3中，記Sn=3·30+4·31+…+n·3n-3 （①），則3Sn=3·31+…+（n-1）·3n-3+n·3n-2 （②）. ①-②可得-2Sn=3（30-31）+4（31-32）+…+n（3n-3-3n-2）=3（30-3·30）+4（31-3·31）+…+n（3n-3-3·3n-3）=-6·30-8·31-…-2n·3n-3，故Sn=3·30+4·31+…+n·3n-3.這就又回到了①式，解題陷入了“死循環(huán)”.

錯(cuò)因三： 沒有將同次冪項(xiàng)對(duì)應(yīng)相減

使用錯(cuò)位相減法時(shí)，應(yīng)將同次冪項(xiàng)對(duì)應(yīng)相減，即必須“錯(cuò)位”.將錯(cuò)解三中①②兩式的同次冪項(xiàng)對(duì)應(yīng)相減，可得-2Sn=3·30+{（4-3）31+（5-4）32+…+[n-（n-1）]3n-3}-n·3n-2=3·30+（31+32+…+3n-3）-n·3n-2.用等比數(shù)列求和公式求出31+32+…+3n-3，即可求得Sn=-+·3n-2，并進(jìn)一步求解Tn.

當(dāng)和式中含有不能用錯(cuò)位相減法求和的項(xiàng)時(shí)，可將和式分為“能用錯(cuò)位相減法求和的項(xiàng)”和“不能用錯(cuò)位相減法求和的項(xiàng)”兩類，分組求和再相加.

正解： 由錯(cuò)解二可得Tn=+·3n-2，n≥3且n∈N*.當(dāng)n=1時(shí)，Tn=1·1=1；當(dāng)n=2時(shí)，Tn=1·1+2·1=3.所以Tn=1，n=1；3，n=2；+·3n-2，n≥3且n∈N*.

用錯(cuò)位相減法求解數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)，常會(huì)出現(xiàn)三種錯(cuò)誤：一是沒有數(shù)清項(xiàng)數(shù)；二是沒有認(rèn)清起始項(xiàng)；三是沒有將同次冪項(xiàng)對(duì)應(yīng)相減.

錯(cuò)位相減法源自等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)和公式Sn=（公比q≠1）的推導(dǎo)過程，它常用于求解形如{anbn}數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn，其中{an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比q≠1的等比數(shù)列.

使用錯(cuò)位相減法的步驟為：

（1） 錯(cuò)位. 列出數(shù)列{anbn}前n項(xiàng)之和Tn=a1b1+a2b2+…+anbn （①），在①式兩邊同乘以等比數(shù)列{bn}的公比q，得到qTn=a1b2+a2b3+…+anbn+1 （②）.

（2） 相減. ①-②可得（1-q）Tn=a1b1+（a2-a1）b2+…+（an-an-1）bn-anbn+1=a1b1+d（b2+…+bn）-anbn+1 （③）.

（3） 求和. ③式兩邊同除以1-q即可得Tn.

例 已知在數(shù)列{an}中，an=1， n=1，2；3n-3，n≥3且n∈N*.求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn.

錯(cuò)解一： 當(dāng)n≥3時(shí)，可得Tn=1·1+2·1+3·30+4·31+5·32+…+（n-1）·3n-4+n·3n-3 （①）， 故有3Tn=3+6+3·31 +4·32+…+（n-2）·3n-4+（n-1）·3n-3+n·3n-2 （②）.

①-②可得-2Tn=-3+（31+32+…+3n-3）-n·3n-2=-3+-n·3n-2=-+3n-3，故Tn=+·3n-3，n≥3且n∈N*.

當(dāng)n=1時(shí)，Tn=1·1=1；當(dāng)n=2時(shí)，Tn=1·1+2·1=3.

所以Tn=1，n=1；3，n=2；+·3n-3，n≥3且n∈N*.

錯(cuò)因一： 沒有數(shù)清項(xiàng)數(shù)

若公比為q的等比數(shù)列{cn}連續(xù)的項(xiàng)之和為c1qt+c1qt+1+…+c1qn-1+c1qn （t

在錯(cuò)解一中，同學(xué)們誤以為31+32+…+3n-3共有（n-3）-1=n-4項(xiàng)，其實(shí)該和式應(yīng)該含[（n-3）-1]+1=n-3項(xiàng)，故31+32+…+3n-3=.

錯(cuò)解二： 由錯(cuò)解一可得-2Tn=-3+（31+32+…+3n-3）-n·3n-2，故-2Tn=-3+-n·3n-2=-+3n-2，所以Tn=+·3n-2，n∈N*.

錯(cuò)因二： 沒有認(rèn)清起始項(xiàng)

根據(jù)所求得的通項(xiàng)，當(dāng)n=1時(shí)，T1=+·3-1=；而由題意可知T1=1×1=1，兩者不符，答案肯定有誤.

由題意可知，當(dāng)n≥3時(shí)，Tn=1·1+2·1+3·30+4·31+5·32+…+（n-1）·3n-4+n·3n-3，這說明Tn從第3項(xiàng)3·30起，才有等差項(xiàng)n與等比項(xiàng)3n-3之積的形式，所以錯(cuò)位相減法求得的是當(dāng)n≥3時(shí)Tn的值，我們還需求出當(dāng)n=1，2時(shí)Tn的值.

用錯(cuò)位相減法求解Tn=t1+t2+…+tn時(shí)，若該和式從第s項(xiàng)ts起才滿足等差項(xiàng)與等比項(xiàng)之積的形式，則求得的Tn只符合n≥s時(shí)的情況.

錯(cuò)解三： 當(dāng)n≥3且n∈N*時(shí)，在Tn=1·1+2·1+3·30+4·31+5·32+…+（n-1）·3n-4+n·3n-3中，記Sn=3·30+4·31+…+n·3n-3 （①），則3Sn=3·31+…+（n-1）·3n-3+n·3n-2 （②）. ①-②可得-2Sn=3（30-31）+4（31-32）+…+n（3n-3-3n-2）=3（30-3·30）+4（31-3·31）+…+n（3n-3-3·3n-3）=-6·30-8·31-…-2n·3n-3，故Sn=3·30+4·31+…+n·3n-3.這就又回到了①式，解題陷入了“死循環(huán)”.

錯(cuò)因三： 沒有將同次冪項(xiàng)對(duì)應(yīng)相減

使用錯(cuò)位相減法時(shí)，應(yīng)將同次冪項(xiàng)對(duì)應(yīng)相減，即必須“錯(cuò)位”.將錯(cuò)解三中①②兩式的同次冪項(xiàng)對(duì)應(yīng)相減，可得-2Sn=3·30+{（4-3）31+（5-4）32+…+[n-（n-1）]3n-3}-n·3n-2=3·30+（31+32+…+3n-3）-n·3n-2.用等比數(shù)列求和公式求出31+32+…+3n-3，即可求得Sn=-+·3n-2，并進(jìn)一步求解Tn.

當(dāng)和式中含有不能用錯(cuò)位相減法求和的項(xiàng)時(shí)，可將和式分為“能用錯(cuò)位相減法求和的項(xiàng)”和“不能用錯(cuò)位相減法求和的項(xiàng)”兩類，分組求和再相加.

正解： 由錯(cuò)解二可得Tn=+·3n-2，n≥3且n∈N*.當(dāng)n=1時(shí)，Tn=1·1=1；當(dāng)n=2時(shí)，Tn=1·1+2·1=3.所以Tn=1，n=1；3，n=2；+·3n-2，n≥3且n∈N*.