繞來繞去的向量

王芳

數(shù)學與物理的密切關系在“向量”中體現(xiàn)得淋漓盡致：力、位移與速度為抽象的向量概念提供了原型，促成了向量加減法的運算規(guī)則；向量數(shù)量積的物理意義即力使物體產(chǎn)生位移所做的功.脫去實際情景的外殼，向量們“美麗的身姿”能夠搭建成變化多端的幾何圖形，演繹出一片幾何研究的新天地.

“精鋼可化繞指柔”

運算和運算律是向量的靈魂.

縱覽人教版數(shù)學教材必修④《平面向量》一章，向量運算的學習會經(jīng)歷兩個階段——線性運算和坐標運算.其中線性運算需要對圖形進行分析和處理，具有濃郁的幾何色彩，和坐標運算相比，思維要求更高.

我們知道，一個確定的向量必然有確定的方向和長度，所以向量可以用有向線段來表示.但因為向量可以平移，因此始點與終點的位置是不確定的，這給了向量無限的自由，卻又讓它們變得難以控制.怎樣才能兩者兼顧呢？

讓我們重新回顧向量的運算法則.如圖1所示，向量加法的平行四邊形法則與三角形法則分別源自力的合成與位移的合成；向量的減法來自相反向量的引入；向量的數(shù)乘又是類比數(shù)量的運算得到的，這樣就建立了一套以向量加法為基礎的向量運算系統(tǒng).

雖然平行四邊形法則與三角形法則脫胎于不同的物理背景，但觀察圖2與圖3可知，這兩個法則的數(shù)學本質(zhì)是一致的.由于=，所以圖3其實是圖2的局部，但更加簡潔：把向量b的始點置于向量a的終點A處，使之首尾相連，那么a+b就是以向量a的始點為始點、向量b的終點為終點的向量.

這種做法具有明顯的優(yōu)勢：

一是操作簡單，易于理解.

例如求a1+a2+…+an，只需把a2的始點置于a1的終點A1處，a3的始點置于a2的終點A2處……，an的始點置于an-1的終點An-1處，那么以向量a1的始點為始點、向量an的終點為終點的向量即為所求，如圖4所示.求a1+a2+…+an的過程不就是一條O→A1→A2→…→An的行走路線嗎？只需把要相加的各個向量依次首尾相連，則各個向量之和就是從最初始點到最后終點的一次位移.

同理，遇到向量的減法也不必畏懼，只需通過相反向量把減法轉(zhuǎn)化成加法，例如把a-b看作a+（-b），依照剛才的規(guī)則操作即可.

二是多條路線，殊途同歸.

我們再次觀察圖4和式子++…+=，兩個向量間的連接點A1，A2，…，An-1都消失了，只留下了起點O與終點An.這說明除了這兩個點外，其他點的位置、數(shù)量無論如何變化，對的結(jié)果都不會產(chǎn)生任何影響.

因此，我們自然也可以在點O與An之間插入其他的點，比如如圖5所示，插入點M，N，可以把拆分為++.這說明我們不必拘泥于既定的路線O→A1→A2→…→An，換作另一條行走路線O→M→N→An也能到達“幸福的彼岸”，而途經(jīng)的各個向量的方向居然可以完全不同，并且這樣的路線有無數(shù)條！

換言之，盡管不能改變向量，但可以借助三角形法則把它分解為若干個其他向量，使之依照我們的意愿進行拐彎、迂回、環(huán)繞！

“叢林中的彎道超越”

在實際中，我們所面對的幾何圖形，其間線段何止數(shù)條！賦予這些線段方向，幾何圖形就變成了一個由眾多向量編織而成的“向量叢林”.“拐彎”向量真的可以在這片叢林中開辟出一條順暢之道嗎？

例1 在邊長為1的正三角形ABC中，=，E是CA的中點，求·的值.

思路1： 如果直接套用數(shù)量積公式·=··cosα，雖然兩個向量，的?？梢酝ㄟ^余弦定理求出，它們的夾角α卻不易求得.

思路2： 能否利用已知條件“正三角形內(nèi)角為60°”呢？那就必須使，這兩個向量“拐彎”到三角形的外圍.

根據(jù)上文得出的結(jié)論，結(jié)合正三角形考慮，要獲得可通過下面兩條線路（見圖6）：

線路①： C→B→D，即=+；

線路②： C→A→D，即=+.同樣，獲得的線路也有兩條，如圖7所示.

線路③： B→C→E，即=+；

線路④： B→A→E，即=+；

觀察圖6與圖7，我們發(fā)現(xiàn)線路①③分別途經(jīng)點B，C，而②④都途經(jīng)點A，因此選擇有重合之處的線路②④：·=（+）·（+）=+·+=·-（）2-（）2+·=-.

思路2使原本受困在三角形內(nèi)部的向量沿著圖形的外圍“拐彎”，雖然多了幾個迂回，卻擺脫了求與的模和所夾角的羈絆，成功實現(xiàn)了“彎道超越”.

這些“彎道”具有如下共性：

（1） 因為分解向量時依據(jù)了向量加法的三角形法則，故每個“彎道”都依附于某個三角形.例如線路①依附于△CBD，線路②依附于△CAD.

（2） 每個三角形中的兩個頂點為被分解向量的始點和終點，第三個頂點則可以隨意選取，這第三個頂點決定了“彎道”的線路.比如，對于，在平面ABC內(nèi)任取一點P，同樣可得=+.

（3） 合理的線路可以簡化解題過程.例如，線路②④都途經(jīng)點A，就可以利用∠A=60°.如果選擇線路①與③：·=（+）·（+）=-（）2+·+·+·，則必將涉及∠B，∠C和與所成的角，解題會麻煩得多.

解題中的運用

那該如何制訂和選擇恰當?shù)穆肪€呢？

例2 如圖8所示，在△ABC中，AD⊥AB，=，=1，則·= .

解析： 觀察向量與，因為=1，不妨保留. 讓“繞彎”的線路有兩條：

線路①： 利用△ADC得A→D→C，即=+，此時·=2-·.要求出與∠ADC仍然比較麻煩.

線路②： 利用△ABC得A→B→C，即=+，這時·=·+·.由AB⊥AD可得·=0，至此，只需求出·.

因為=1，不妨保留.考慮到=，而可以利用△ABD沿線路③： B→A→D“繞彎”，故==（+）.則·=（·+2）.因為·=0，且=1，故·=.

所以·=.

由例1、例2可知，設計和選擇線路的重要標準是最大化地利用向量所在圖形的幾何特性.通常要關注：

（1） 特殊的圖形，尤其是特殊的三角形.如例1中的正三角形ABC、例2中的直角三角形ABD，讓線路盡可能依附在這些特殊圖形上.

（2） 已知條件密集的線段或已知的角.如例2中的線段AD、例1中的∠A，讓路線盡量多地經(jīng)過這些線段或角.

（3） 特殊的位置關系，尤其要優(yōu)先考慮垂直關系，如例2通過線路①、線路②兩次利用了條件AD⊥AB. 反觀例1，若注意到BE⊥AC，就能找到更快的解法：保留，只讓“繞彎”：·=（+）·=0+·=·，而·=-··cos∠ABC=-，故·=-.

這些特殊的圖形和線段其實就是“主干道”.利用“主干道”設計的路線，即便多走幾個回路也無大礙.例2中的線路①貌似快捷，實則隱含著求解的困難.線路②雖然拉長了解題過程，卻大大降低了煩瑣的程度.

讓向量“繞彎”，其實就是以“長度”為代價，換取向量在“方向”上妥協(xié)的一種智慧.真可謂：

向量繞彎生奇效，

彎道超越靠三角；

一量分成若干和，

來去瞄準主干道.

設計和選擇路線的重要標準是最大化地利用向量所在圖形的幾何特性.通常要關注：

（1）特殊的圖形，尤其是特殊的三角形.讓線路盡可能依附在這些特殊圖形上；

（2）已知條件密集的線段或已知的角，讓路線盡量多地經(jīng)過這些線段或角；

（3）特殊的位置關系，尤其要優(yōu)先考慮垂直關系.

【練一練】

1. 已知P為銳角三角形ABC的邊AB上一點，A=60°，AB=5，AC=4，則+3的最小值為 .

2. 如圖9所示，在等腰直角三角形OAB中，=a，=b，且OA=OB=1.設點C為線段AB上靠近A的四等分點，過C作AB的垂線l，點P在垂線l上.記=p，則p·（a-b）的值是 .

（A） -

（B）

（C）

（D） 與點P的位置有關

【參考答案】

1. 6 【提示： 如圖10所示，設AP長度為x（0≤x≤5），讓沿P→A→C繞彎，則+3=+3（+）=4+3=，當且僅當x=時有最小值】

2. B 【提示： 如圖11所示，取AB的中點D，讓沿路線O→D→C→P繞彎，則p·（a-b）=（++）·=·=】

所以·=.

由例1、例2可知，設計和選擇線路的重要標準是最大化地利用向量所在圖形的幾何特性.通常要關注：

（1） 特殊的圖形，尤其是特殊的三角形.如例1中的正三角形ABC、例2中的直角三角形ABD，讓線路盡可能依附在這些特殊圖形上.

（2） 已知條件密集的線段或已知的角.如例2中的線段AD、例1中的∠A，讓路線盡量多地經(jīng)過這些線段或角.

（3） 特殊的位置關系，尤其要優(yōu)先考慮垂直關系，如例2通過線路①、線路②兩次利用了條件AD⊥AB. 反觀例1，若注意到BE⊥AC，就能找到更快的解法：保留，只讓“繞彎”：·=（+）·=0+·=·，而·=-··cos∠ABC=-，故·=-.

這些特殊的圖形和線段其實就是“主干道”.利用“主干道”設計的路線，即便多走幾個回路也無大礙.例2中的線路①貌似快捷，實則隱含著求解的困難.線路②雖然拉長了解題過程，卻大大降低了煩瑣的程度.

讓向量“繞彎”，其實就是以“長度”為代價，換取向量在“方向”上妥協(xié)的一種智慧.真可謂：

向量繞彎生奇效，

彎道超越靠三角；

一量分成若干和，

來去瞄準主干道.

設計和選擇路線的重要標準是最大化地利用向量所在圖形的幾何特性.通常要關注：

（1）特殊的圖形，尤其是特殊的三角形.讓線路盡可能依附在這些特殊圖形上；

（2）已知條件密集的線段或已知的角，讓路線盡量多地經(jīng)過這些線段或角；

（3）特殊的位置關系，尤其要優(yōu)先考慮垂直關系.

【練一練】

1. 已知P為銳角三角形ABC的邊AB上一點，A=60°，AB=5，AC=4，則+3的最小值為 .

2. 如圖9所示，在等腰直角三角形OAB中，=a，=b，且OA=OB=1.設點C為線段AB上靠近A的四等分點，過C作AB的垂線l，點P在垂線l上.記=p，則p·（a-b）的值是 .

（A） -

（B）

（C）

（D） 與點P的位置有關

【參考答案】

1. 6 【提示： 如圖10所示，設AP長度為x（0≤x≤5），讓沿P→A→C繞彎，則+3=+3（+）=4+3=，當且僅當x=時有最小值】

2. B 【提示： 如圖11所示，取AB的中點D，讓沿路線O→D→C→P繞彎，則p·（a-b）=（++）·=·=】

所以·=.

由例1、例2可知，設計和選擇線路的重要標準是最大化地利用向量所在圖形的幾何特性.通常要關注：

（1） 特殊的圖形，尤其是特殊的三角形.如例1中的正三角形ABC、例2中的直角三角形ABD，讓線路盡可能依附在這些特殊圖形上.

（2） 已知條件密集的線段或已知的角.如例2中的線段AD、例1中的∠A，讓路線盡量多地經(jīng)過這些線段或角.

（3） 特殊的位置關系，尤其要優(yōu)先考慮垂直關系，如例2通過線路①、線路②兩次利用了條件AD⊥AB. 反觀例1，若注意到BE⊥AC，就能找到更快的解法：保留，只讓“繞彎”：·=（+）·=0+·=·，而·=-··cos∠ABC=-，故·=-.

這些特殊的圖形和線段其實就是“主干道”.利用“主干道”設計的路線，即便多走幾個回路也無大礙.例2中的線路①貌似快捷，實則隱含著求解的困難.線路②雖然拉長了解題過程，卻大大降低了煩瑣的程度.

讓向量“繞彎”，其實就是以“長度”為代價，換取向量在“方向”上妥協(xié)的一種智慧.真可謂：

向量繞彎生奇效，

彎道超越靠三角；

一量分成若干和，

來去瞄準主干道.

設計和選擇路線的重要標準是最大化地利用向量所在圖形的幾何特性.通常要關注：

（1）特殊的圖形，尤其是特殊的三角形.讓線路盡可能依附在這些特殊圖形上；

（2）已知條件密集的線段或已知的角，讓路線盡量多地經(jīng)過這些線段或角；

（3）特殊的位置關系，尤其要優(yōu)先考慮垂直關系.

【練一練】

1. 已知P為銳角三角形ABC的邊AB上一點，A=60°，AB=5，AC=4，則+3的最小值為 .

2. 如圖9所示，在等腰直角三角形OAB中，=a，=b，且OA=OB=1.設點C為線段AB上靠近A的四等分點，過C作AB的垂線l，點P在垂線l上.記=p，則p·（a-b）的值是 .

（A） -

（B）

（C）

（D） 與點P的位置有關

【參考答案】

1. 6 【提示： 如圖10所示，設AP長度為x（0≤x≤5），讓沿P→A→C繞彎，則+3=+3（+）=4+3=，當且僅當x=時有最小值】

2. B 【提示： 如圖11所示，取AB的中點D，讓沿路線O→D→C→P繞彎，則p·（a-b）=（++）·=·=】