高考不等式專題復(fù)習(xí)

洪其強(qiáng)

一、復(fù)習(xí)指南

1. 在復(fù)習(xí)中要注意扎扎實(shí)實(shí)地掌握基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法，特別是要掌握不等式的性質(zhì)和等價(jià)轉(zhuǎn)化的原則，它是學(xué)好本章內(nèi)容的關(guān)鍵，證明不等式?jīng)]有固定的模式可套，它方法靈活，技巧性強(qiáng)，因此在復(fù)習(xí)中除掌握比較法、分析法、綜合法這三種基本方法外，還應(yīng)了解其它的證明方法，并不斷總結(jié)證明不等式的規(guī)律和技巧，提高數(shù)學(xué)能力.

2. 強(qiáng)化本章常用的數(shù)學(xué)思想方法的復(fù)習(xí).①等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想：如在不等式的同解變形過程中等價(jià)轉(zhuǎn)化思想起重要作用，解不等式的過程實(shí)質(zhì)上就是利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化的過程.②分類討論的思想：如求解含參數(shù)的不等式問題，一般要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，在復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)學(xué)會(huì)分析引起分類討論的原因，合理地分類，做到不重不漏.③函數(shù)與方程思想：不等式與函數(shù)、方程三者相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化，如求參數(shù)的取值范圍問題，函數(shù)與方程的思想是解決這類問題的重要方法.④化歸思想：證明不等式就是將已知條件轉(zhuǎn)化為要證的結(jié)論，這體現(xiàn)了化歸思想的重要性，其中不僅考查基礎(chǔ)知識(shí)，而且能考查出考生分析問題和解決問題的能力.

3. 在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)強(qiáng)化不等式的應(yīng)用，提高應(yīng)用意識(shí).歷屆高考題中除單獨(dú)考查不等式的試題外，常在一些函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解析幾何和實(shí)際應(yīng)用的問題中涉及不等式，如在實(shí)際問題中，主要有構(gòu)造不等式求解或構(gòu)造函數(shù)求最值，求最值時(shí)要注意等號(hào)成立的條件.因此，在復(fù)習(xí)過程中，一定要提高應(yīng)用意識(shí)，不斷總結(jié)不等式的應(yīng)用規(guī)律，努力提高數(shù)學(xué)能力.

二、典題選析

題型1. 利用不等式性質(zhì)求取值范圍.

例1. 若變量x，y滿足約束條件3≤2x+y≤9，6≤x-y≤9，則z=x-2y的最小值為__________.

分析：利用不等式性質(zhì)求某些代數(shù)式的取值范圍時(shí)，應(yīng)注意兩點(diǎn)：一是必須嚴(yán)格運(yùn)用不等式的性質(zhì)；二是在多次運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)有可能擴(kuò)大了變量的取值范圍，要特別注意.

解析：令z=x-2y=λ（2x+y）+μ（x-y）=（2λ+μ）x+（λ-μ）y，

∴ 2λ+μ=1，λ-μ=-2 λ=-， μ=，

∴ z=-（2x+y）+（x-y）.

又∵ 3≤2x+y≤9，6≤x-y≤9，

∴7≤-（2x+y）+（x-y）≤14，即7≤z≤14，

∴ zmin=7.

點(diǎn)評(píng)：本題也可用線性規(guī)劃求解，但題中x，y相互制約，不可分割，先待定系數(shù)法建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系，最后通過“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求得待求整體的范圍是避免錯(cuò)誤的一條途徑.

題型2. 三個(gè)“二次”間的關(guān)系

例2. 已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域?yàn)閇0，+∞），若關(guān)于x的不等式f（x）

分析：由題意知f（x）=x2+ax+b=（x+）2+b-.

∵ f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），∴ b-=0，即b=.

∴ f（x）=（x+）2.

又∵ f（x）

∴ --=m， ①-+=m+6， ②

-，得2=6，∴ c=9.

點(diǎn)評(píng)：二次函數(shù)、一元二次不等式、一元二次方程之間有著密切關(guān)系.（1）一元二次不等式解集的端點(diǎn)就是對(duì)應(yīng)的一元二次方程的解；（2）不等式的解集結(jié)構(gòu)與二次項(xiàng)系數(shù)有直接的關(guān)系；（3）二次函數(shù)的圖像能直觀反映一元二次不等式解集的情況.

題型3. 破解一元二次不等式恒成立問題

例3. 在實(shí)數(shù)集上定義運(yùn)算：xy=x（1-y），若不等式（x-a）（x+a）<1對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________.

分析：由題意知（x-a）（x+a）=（x-a）（1-x-a）=-x2+x+a2-a.

故-x2+x+a2-a<1對(duì)任意x∈R都成立.

即-x2+x<-a2+a+1對(duì)任意x∈R都成立.

而-x2+x=-（x-）2+≤，∴-a2+a+1>，即4a2-4a-3<0，解得-

故所求a的取值范圍為（-，）.

題型4. 求解線性規(guī)劃中的參數(shù)問題

例4. 若直線y=2x上存在點(diǎn)（x，y）滿足約束條件x+y-3≤0，x-2y-3≤0，x≥m，則實(shí)數(shù)m的最大值為（ ）

A. -1 B. 1 C. D. 2

分析：（1）利用條件作出直線y=2x，x+y-3=0，x-2y-3=0.（2）由圖形知，當(dāng)直線x=m過點(diǎn)A（1，2）（即直線y=2x和x+y-3=0的交點(diǎn)）時(shí)滿足條件.

解析：

首先作出約束條件x+y-3≤0，x-2y-3≤0，x≥m對(duì)應(yīng)的可行域及直線y=2x，

如圖，易知直線x=m過點(diǎn)A（1，2）時(shí)符合題意，即此時(shí)

x=m=1為m的最大值.

點(diǎn)評(píng)：解決含參數(shù)的線性規(guī)劃問題時(shí)應(yīng)掌握：（1）解題時(shí)要看清題目，不能忽視或漏掉參數(shù)的范圍；（2）對(duì)于題目中最值條件的確定至關(guān)重要，且不能計(jì)算出錯(cuò).

題型5. 利用基本不等式解決實(shí)際問題

對(duì)于應(yīng)用題要通過閱讀，理解所給定的材料，尋找量與量之間的內(nèi)在聯(lián)系，抽象出事物系統(tǒng)的主要特征與關(guān)系，建立起能反映其本質(zhì)屬性的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，從而建立起數(shù)學(xué)模型，然后利用不等式的知識(shí)求出題中的問題。

例5. 某食品廠定期購買面粉，已知該廠每天需要面粉6噸，每噸面粉的價(jià)格為1 800元，面粉的保管等其他費(fèi)用為平均每噸每天3元，購買面粉每次需支付運(yùn)費(fèi)900元.

（1）求該廠多少天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費(fèi)用最少？

（2）若提供面粉的公司規(guī)定：當(dāng)一次購買面粉不少于210噸時(shí)，其價(jià)格可享受9折優(yōu)惠（即原價(jià)的90%），問該廠是否考慮利用此優(yōu)惠條件？請(qǐng)說明理由.

分析：（1）利用基本不等式解決實(shí)際問題時(shí)，應(yīng)先仔細(xì)閱讀題目信息，理解題意，明確其中的數(shù)量關(guān)系，并引入變量，依題意列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，然后用基本不等式求解.

（2）求所列函數(shù)的最值，若用基本不等式時(shí)，等號(hào)取不到，可利用函數(shù)單調(diào)性求解.

解析：（1）設(shè)該廠應(yīng)每隔x天購買一次面粉，其購買量為6x噸.由題意知，面粉的保管等其他費(fèi)用為3[6x+6（x-1）+…+6×2+6×1]=9x（x+1）.

設(shè)平均每天所支付的總費(fèi)用為y1元，則y1=[9x（x+1）+900]+6×1800=+9x+10809≥2+10 989=10 989，當(dāng)且僅當(dāng)9x=，即x=10時(shí)取等號(hào)，

即該廠應(yīng)每隔10天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費(fèi)用最少.

（2）若廠家利用此優(yōu)惠條件后，則至少每隔35天購買一次面粉.

設(shè)該廠利用此優(yōu)惠條件，每隔x（x≥35）天購買一次面粉，平均每天支付的總費(fèi)用為y2元，則y2=[9x（x+1）+900]+6×1 800×0.9=+9x+9 729（x≥35）.

令f（x）=x+（x≥35），x2>x1≥35，

則f（x1）-f（x2）=（x1+）-（x2+）=.

∵ x2>x1≥35，∴ x2-x1>0，x1x2>0，100-x1x2<0.

∴ f（x1）-f（x2）<0， f（x1）

∴當(dāng)x=35時(shí)，f（x）有最小值，此時(shí)y2<10 989，

∴該廠應(yīng)接受此優(yōu)惠條件.

點(diǎn)評(píng)：利用基本不等式求最值時(shí)，一定要注意應(yīng)用基本不等式成立的條件：即一正，二定，三相等，否則求解時(shí)會(huì)出現(xiàn)等號(hào)成立的條件不具備而出錯(cuò).若在同一題目中，兩次或兩次以上利用基本不等式，等號(hào)應(yīng)同時(shí)成立.

題型6. 絕對(duì)值三角不等式性質(zhì)定理的應(yīng)用

例6.“|x-a|

A. 充分非必要條件 B. 必要非充分條件

C. 充要條件 D. 非充分非必要條件

分析：利用絕對(duì)值三角不等式，推證|x-a|

解析：選A.

∵ |x-y|=|（x-a）-（y-a）|≤|x-a|+|y-a|

∴ |x-a|

取x=3，y=1，a=-2，m=2.5，則有|x-y|=2<5=2m，但|x-a|=5，不滿足|x-a|

故|x-a|

點(diǎn)評(píng)：（1）對(duì)絕對(duì)值三角不等式定理|a|-|b|≤|a±b| ≤|a|+|b|中等號(hào)成立的條件要深刻理解，特別是用此定理求函數(shù)的最值時(shí).

（2）該定理可以強(qiáng)化為：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，它經(jīng)常用于證明含絕對(duì)值的不等式.

（3）對(duì)于求y=|x-a|+|x-b|或y=|x+a|-|x-b|型的最值問題利用絕對(duì)值三角不等式更簡(jiǎn)捷、方便.

題型7. 絕對(duì)值不等式的解法

例7. 解下列不等式：

（1）1<|x-2|≤3；

（2）|2x+5|>7+x；

（3）|x2-9|≤x+3；

（4）|x-1|+|x-2|<5.

分析：（1）利用公式或平方法轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的不等式；（2）利用公式法轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的不等式； （3）利用絕對(duì)值的定義或|f（x）|≤a（a>0）-a≤|f（x）|≤a去掉絕對(duì)值符號(hào)或利用數(shù)形結(jié)合思想求解； （4）不等式的左邊含有絕對(duì)值符號(hào)，要同時(shí)去掉這兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)，可以采用“零點(diǎn)分段法”，此題亦可利用絕對(duì)值的幾何意義去解.

解析：（1）原不等式等價(jià)于不等式組|x-2|>1，x-2≤3，即x<1或x>3，-1≤x≤5，

解得-1≤x<1或3

所以原不等式的解集為{x|-1≤x<1或3

（2）由不等式|2x+5|>7+x，

可得2x+5≥0，2x+5>7+x或 2x+5<0，2x+5<-（7+x），解得x>2或x<-4.

∴原不等式的解集是{x| x<-4或x>2}

（3）原不等式① x2-9≥0，x2-9≤x+3或② x2-9<0，9-x2-≤x+3，

不等式①x≤-3或x≥3，-3≤x≤4 x=-3或3≤x≤4.

不等式②-3

∴原不等式的解集是{x|2≤x≤4或x=-3}.

（4）分別求|x-1|，|x+2|的零點(diǎn)，即1，-2.由-2，1把數(shù)軸分成三部分：x<-2，-2≤x≤1，x>1.

當(dāng)x<-2時(shí)，原不等式即1-x-2-x<5，解得-3

當(dāng)-2≤x≤1時(shí)，原不等式即1-x+2+x<5，因?yàn)?<5恒成立，則-2≤x≤1；

當(dāng)x>1時(shí)，原不等式即x-1+2+x<5，解得1

綜上，原不等式的解集為{x|-3

點(diǎn)評(píng)：（1）形如|x-a|±|x-b|≥c不等式的解法常用零點(diǎn)分段討論法，其步驟為：①求零點(diǎn)；②劃分區(qū)間、去絕對(duì)值號(hào)；③分別解去掉絕對(duì)值的不等式；④取每個(gè)結(jié)果的并集，特別注意在分段時(shí)不要漏掉區(qū)間的端點(diǎn)值.（2）上述不等式也可用|x-a1|±|x-a2|的幾何意義去求解集.

題型8. 含參數(shù)的絕對(duì)值不等式

例8. 若關(guān)于x的不等式|x+2|+|x-1|≤a的解集為，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析：把不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合思想求解；也可以運(yùn)用絕對(duì)值的幾何意義求解.

解析：令y1=|x+2|+|x-1|，y2=a，∴ y1=2x+1， （x≥1）3， （-2≤x<1）-2x-1. （x<-2）

y1、y2的圖像如圖所示.

由圖可知，當(dāng)a<3時(shí)，|x+2|+|x-1|≤a的解集為.

題型9. 絕對(duì)值不等式的綜合問題

例9. 已知a、b、c是實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，g（x）=ax+b，當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，|f（x）|≤1.

（1）證明：|c|≤1；

（2）證明：當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，|g（x）|≤2；

（3）設(shè)a>0，當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，g（x）的最大值是2，求f（x）.

分析：（1）代入x=0即得；（2）結(jié)合一次函數(shù)的單調(diào)性和絕對(duì)值不等式的性質(zhì)得證；（3）結(jié)合二次函數(shù)的圖像和一次函數(shù)的最值求解.

解析：（1）由已知，當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，|f（x）|≤1，取x=0，得|c|=|f（0）|≤1，即|c|≤1.

（2）當(dāng)a>0時(shí)，g（x）=ax+b在[-1，1]上是增函數(shù)，所以g（-1）≤g（x）≤g（1），

因?yàn)閨f（x）|≤1（-1≤x≤1），|c|≤1，所以g（1）=a+b=f（1）-c≤

|f（1）|+|c|≤2.

g（1）=-a+b=-f（-1）+c≥-（|f（-1）|+|c|）≥-2.

由此可得|g（x）|≤2；

當(dāng)a<0時(shí)，g（x）=ax+b在[-1，1]上是減函數(shù)，所以g（-1）≥g（x）≥g（1），

因?yàn)閨f（x）|≤1（-1≤x≤1），|c|≤1，所以g（-1）=-a+b=-f（-1）+c≤f（-1）+|c|≤2.

g（1）=a+b=f（1）-c≥-（|f（1）|+|c|）≥-2.由此得|g（x）|≤2；

當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=b，f（x）=bx+c，因?yàn)?1≤x≤1.

所以g（x）=|f（1）-c|≤|f（1）|+|c|≤2.

綜上，得g（x）≤2.

（3）因?yàn)閍>0，g（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，當(dāng)x=1時(shí)取得最大值2.

即g（1）=a+b=f（1）-f（0）=2，

因?yàn)?1≤f（0）=f（1）-2≤1-2=-1，所以c=f（0）=-1.

因?yàn)楫?dāng)-1≤x≤1時(shí)，f（x）≥-1，即f（x）≥f（0）.

根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，直線x=0為二次函數(shù)f（x）的圖象的對(duì)稱軸.

所以-=0，即b=0，a=2，

故有f（x）=2x2-1.

題型10. 不等式與函數(shù)的綜合題

不等式與函數(shù)的綜合題，是高考的?？碱}型，如求函數(shù)的定義域、值域，求參數(shù)的取值范圍，與函數(shù)有關(guān)的不等式證明等，解決此類綜合題，要充分運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性，注意函數(shù)的定義域，并結(jié)合函數(shù)的奇偶性、周期性一起討論.

例10. 已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且f（1）=1，若m、n∈[-1，1]，m+n≠0時(shí)>0.

（1）用定義證明f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)；

（2）解不等式 f（x+）

（3）若f（x）≤t2-2at+1對(duì)所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

分析：（1）問單調(diào)性的證明，利用奇偶性靈活變通使用已知條件不等式是關(guān)鍵，（3）問利用單調(diào)性把f（x）轉(zhuǎn)化成“1”是點(diǎn)睛之筆.

解析：（1）任取x1

則f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=·（x1-x2）.

∵ -1≤x1

∴ x1+（-x2）≠0，由已知>0，又 x1-x2<0，

∴ f（x1）-f（x2）<0，即f（x）在[-1，1]上為增函數(shù) .

（2） ∵ f（x）在[-1，1]上為增函數(shù)，

∴ -1≤x+≤1，-1≤≤1，x+<，解得{x|-≤x<-1，x∈R}.

（3）由（1）可知f（x）在[-1，1]上為增函數(shù)，且f（1）=1，

故對(duì)x∈[-1，1]，恒有f（x）≤1.

所以要使f（x）≤t2-2at+1對(duì)所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，即要t2-2at+1≥1成立，

故t2-2at≥0，記g（a）=t2-2at，對(duì)a∈[-1，1]，有g(shù)（a）≥0，

只需g（a）在[-1，1]上的最小值大于等于0，

g（-1）≥0，g（1）≥0，

解得t≤-2或t=0或t≥2.

∴ t的取值范圍是{t|t≤-2或t=0或t≥2}.

點(diǎn)評(píng)：本題是一道函數(shù)與不等式相結(jié)合的題目，考查考生的分析能力與化歸能力 它主要涉及函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，而單調(diào)性貫穿始終，把所求問題分解轉(zhuǎn)化，是函數(shù)中的熱點(diǎn)問題；問題（2）（3）要求的都是變量的取值范圍，不等式的思想起到了關(guān)鍵作用

題型11. 不等式與數(shù)列的綜合題

不等式與數(shù)列的綜合題，一般來說多是證明題，要熟悉不等式的常用證明方法，特別是比較法、綜合法、分析法、數(shù)學(xué)歸納法等，也可利用函數(shù)的思想.

例11. 數(shù)列{xn}由下列條件確定：x1=a>0，xn+1=（xn+），n∈N.