解立體幾何題常見錯誤剖析

周永紅 唐錄義

學生在解答立體幾何問題中暴露的諸多薄弱環(huán)節(jié)，突出表現(xiàn)為空間想象能力較差，空間概念模糊，從而導致計算、論證等方面的錯誤.本文根據(jù)平時常見錯誤加以剖析，僅供參考。

一、概念不清

例1.一個正方體A1B1C1D1-ABCD的棱長為a。

（1）過它的上底兩鄰邊A1D1、D1C1的中點E1、F1和下底的中心O作一個截面，求這個截面的面積；（2）求E1與BB1的距離。

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圖1

錯解：（1）所求截面面積為△E1F1的面積。（2）E1與BB1中點連線的長，即為E1與BB1的距離。

診斷：（1）錯因在于對平面這個基本性質未透徹理解。根據(jù)公理1、2，過E1、F1、O三點的平面與正方體的交線分別為E1F1、F1C和AE1，所以梯形E1F1CA才是所求截面。（2）對點到直線的距離概念的理解不確切、不深刻所致。實質上，E1與B1的連線的長，即為E1與BB1的距離。

改正：略。

二、直觀圖畫錯

例2.求半徑為R的球內(nèi)接正方體的體積。

錯解：如圖2，設正方體棱長為x，則

x2+x2=（2R）2，

∴ x=■R.

故V正方形=x3=■R■=■R3。

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圖2 圖3 圖4

診斷：本題需根據(jù)題意正確的建立所需的直觀圖，學生在作軸截面圖形時，未想到：如果軸截面也是正方體的對角面，則內(nèi)接的并非是正方形而應是長方形（對角線長為■）不內(nèi)接于圓，如圖4。

改正：略。

三、空間圖形處理錯誤

例3.如圖5，ABCD是正方形，E是AB的中點，如將△DAE和△CBE分別沿虛線DE和CE折起，使AE與BE重合，設A與B重合后的點為P，則平面PCD與平面ECD所成的二面角為（ ）度。（1993年全國高考理科23題）

錯解：∵ PE⊥PC，

∠PCE就是所求二面角的平面角α。

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圖5

又在Rt△CDE中，PC=BC，PE=BE=■BC。

∴tgα=■.

故α=arctg■。

診斷：從表面來看，此解好像錯因在于二面角的平面角的概念不清。事實上，應完全歸咎于空間圖形的處理能力低下。只憑題給的俯視圖進行論證是相當困難的，關鍵是要正確想象，畫出折疊后的空間圖形，對照空間與平面圖形，挖掘哪些位置與數(shù)量關系是不變的，哪些是變化的，才能有效地進行運算和推理。

改正：折疊后如圖6，取DC中點F，連結PF、EF。由PD=PC，ED=EC，可知EF⊥DC，PF⊥DC，所以∠EFP為所求二面角的平面角。

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圖6

∵EP⊥PD，EP⊥PC。

∴EP⊥平面PCD。

∴EP⊥PF。

設正方形ABCD的邊長為α，在Rt△EPF中，EP=AE=■，EF=AD=α。

∴sin∠EFP=■=■=■。

∴∠EFP=30°

故平面PCD與平面ECD所成的二面角為30°。

四、未加證明而計算

例4.如圖7，已知平面α⊥平面β，α∩β=MN，AC？哿α，BC？哿β，且AC⊥MN，BD⊥MN，AC=6 cm，AB=8 cm，BD=24 cm，求CD的長度。

錯解：∵AD=8■cm，

又∵AC⊥MN，

∴在Rt△ADC中，CD=■=■=26 cm

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圖7

診斷：此解雖答數(shù)沒錯，但由AC⊥MN，就說△ADC為Rt△，這在立體幾何中需要加以證明。

改正：略。

五、考慮不周

例5.已知圓柱的側面展開圖是邊長為2與4的矩形，則圓柱的體積是（ ）。（1984年全國高考理科試題）

錯解：由題意，知圓柱底面周長為4，高為2。

∴V圓柱=π■■·2=■

故所求圓柱的體積是■。

診斷：顯然，此解中因思維不全面而漏掉了“當圓柱底面周長為2、高為4”這一種可能。

改正：略。

綜上可見，學生錯誤是多種多樣的。能預先知道學生在學習立體幾何時常犯的錯誤，就可防患于未然，盡可能避免那些不應出現(xiàn)的錯誤。

？誗編輯 王團蘭