解析幾何中的探索性問題

姜湘峰

隨著我省新課改的深入進(jìn)行，開放型題型越來(lái)越受到出題者的青睞，更是高考試卷中的?？?，而其中探索性問題是解答題的主要呈現(xiàn)方式，那什么是探索性問題？它主要考察什么？由給定的題設(shè)條件探求相應(yīng)的結(jié)論，或由給定的題斷追溯應(yīng)具備的條件，或變更題設(shè)、題斷的某個(gè)部分使命題也相應(yīng)變化等等，這一類問題稱之為探索性問題。也就是說(shuō)，條件不完備和結(jié)論不確定是探索性問題的基本特征。高考中的探索性問題主要考查學(xué)生探索解題途徑，解決非傳統(tǒng)完備問題的能力，是命題者根據(jù)學(xué)科特點(diǎn)，將數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)結(jié)合并賦予新的情境創(chuàng)設(shè)而成的，要求考生自己觀察、分析、創(chuàng)造性地運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法解決問題。本文將以解析幾何為切入點(diǎn)對(duì)探索性問題作一討論。

一、題型介紹

（一）結(jié)論探索型（有條件而無(wú)結(jié)論或結(jié)論的正確與否需要確定）

1.設(shè)圓錐曲線Γ的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若曲線Γ上存在點(diǎn)P滿足PF1∶F1F2∶PF2=4∶3∶2，則曲線Γ的離心率等于（A）

A.■或■ B.■或2 C.■或2 D.■或■

（二）條件追溯型（針對(duì)一個(gè)結(jié)論，條件未知需探索）

2.若曲線C1∶x2+y2-2x=0與曲線C1∶y（y-mx-m）=0有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）

A.（-■，■） B.（-■，0）∪（0，■）

C.[-■，■] D.（-∞，■）∪（■，+∞）

分析：曲線y（y-mx-m）=0表示直線y=0或y-mx-m=0，因?yàn)閥=0與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，故y-mx-m=0也應(yīng)該與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，由分析可知臨界情況即是與圓相切的時(shí)候，經(jīng)求解m=-■和m=■，畫圖可知m∈-■，0∪0，■

（三）存在判斷型（要判斷在某些確定條件下的某一數(shù)學(xué)對(duì)象（數(shù)值、圖形、函數(shù)等）是否存在或某一結(jié)論是否成立）

3.給定雙曲線x2-■=1，過點(diǎn)B（1，1）能否作直線m，使m與所給雙曲線交于兩點(diǎn)Q1、Q2，且點(diǎn)B是線段Q1、Q2的中點(diǎn)？這樣的直線m如果存在，求出它的方程；如果不存在，說(shuō)明理由。

分析：①當(dāng)斜率不存在時(shí)，顯然不符合題意；

②設(shè)所求直線m的方程為：y=k（x-1）+1

∴y=k（x-1）+1x2-■=1消y得（2-k2）x2+（2k2-2k）x+2k-k2-3=0

∴x1+x2=■=2 ∴k=2

代入消y后的方程計(jì)算得到：Δ<0，∴滿足題中條件的直線m不存在。

二、方法突破

突破口一：特殊值探路，一般化證明

1.關(guān)于x，y的方程x2+y2=（xcosθ+ysinθ+2）2（0≤θ≤2π）表示的曲線是 。（只需說(shuō)明曲線類型）

分析：當(dāng)θ=0時(shí)，整理方程得y2=4（x+1），當(dāng)θ=■時(shí)，整理方程得x2=4（y+1）。

因此可推知該曲線為拋物線。

證明：由上述結(jié)果結(jié)合拋物線定義，可知■=■=■，即到原點(diǎn)（0，0）的距離與到定直線xcosθ+ysinθ+2=0的距離相等的點(diǎn)的軌跡，也即橢圓。

小結(jié)：本題為結(jié)論探索型，解題思路力爭(zhēng)從最簡(jiǎn)單、最特殊的情況出發(fā)，有時(shí)也可借助直覺觀察或判斷，推測(cè)出命題的結(jié)論，必要時(shí)給出嚴(yán)格證明。

突破口二：等價(jià)轉(zhuǎn)化，探求條件

2.在圓（x-3）2+（y+5）2=r2上有且僅有兩點(diǎn)到直線4x-3y-2=0的距離等于1，則半徑r的取值范圍是（ ）

A.（4，6） B.[4，6） C.（4，6] D.[4，6]

分析一：可采取特殊值法，將r=4、6分別代入圓的方程進(jìn)行檢驗(yàn)，從而得出答案。

分析二：圓心（3，-5）到直線的距離是5，與直線4x-3y-2=0距離是1的直線有兩條：4x-3y-7=0和4x-3y+3=0。圓心到4x-3y-7=0距離為4，到4x-3y+3=0距離是6。如果圓與4x-3y+3=0相交，那么圓也肯定與4x-3y-7=0相交交點(diǎn)個(gè)數(shù)多于兩個(gè)，于是圓上點(diǎn)到4x-3y-2=0的距離等于1的點(diǎn)不止兩個(gè)，所以圓與4x-3y+3=0不相交。如果圓與4x-3y-7=0的距離d≤1，那么圓與4x-3y-7=0和4x-3y+3=0交點(diǎn)個(gè)數(shù)和至多為1個(gè)。所以，圓與4x-3y-7=0相交，與4x-3y+3=0相離，所以4

小結(jié)：本題為條件追溯型，解題過程中使用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，找出命題成立的充要條件。

突破口三：假設(shè)存在，推理檢驗(yàn)

3.已知圓C1∶（x+t）2+y2=5（t>0）和橢圓E∶■+■=1（a>b>0）的一個(gè)公共點(diǎn)為B（0，2），F(xiàn)為橢圓E的右焦點(diǎn)，直線BF與圓C相切于點(diǎn)B。

（1）求t的值和橢圓E的方程。

（2）圓C上是否存在點(diǎn)M，使△MBF為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

解：（1）由題可知，b=2 ∵C（-t，0），B（0，2）， ∴BC=■=■，∴ t=±1，又t>0，∴ t=1

∵BF為圓C的切線，∴圓心C（-1，0）到直線BF的距離等于■，

又lBF ∶2x+cy-2c=0，∴■=■，∴ c2-8c+16=0，■ c=4，

又a2=b2+c2，b=2，∴ a2=20，∴E ∶■+■=1

（2）假設(shè)存在點(diǎn)M（x，y），使△MBF為等腰三角形，

則M（x，y）點(diǎn)滿足（x+1）2+y2=5①

下面分三種情況討論：

（1）當(dāng)BM=BF時(shí)，有■=■，即x2+（y-2）2=20②

由①②聯(lián)立得：x=-2y=-2， ∴M（-2，-2）

（2）當(dāng)MB=MF時(shí)，有■=■，即2x-y=3③

由①③聯(lián)立得：x=1y=-1， ∴M（1，-1）

（3）當(dāng)FM=FB時(shí)，有■=■，即x2+y2-8x-4=0④

由①④聯(lián)立得：x=0y=±2， 又B（0，2），∴M（0，-2）

綜上所述，圓C上存在點(diǎn)M（-2，-2）或M（1，-1）或M（0，-2），使△MBF為等腰三角形。

三、高考命題展望

1.從歷年的高考中分析發(fā)現(xiàn)，探索性問題呈現(xiàn)逐年攀升的趨勢(shì)，可預(yù)測(cè)今后將會(huì)加大開放探索性考題的力度。

2.在近幾年高考題中，出現(xiàn)以解析幾何、立體幾何和函數(shù)為背景的結(jié)論開放型探索性的解答題，說(shuō)明這類題型仍將是高考解答題的重點(diǎn)。

3.設(shè)計(jì)開放探索題，能考查學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，特別應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生創(chuàng)新性的解答，這就反映了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，應(yīng)該多加鼓勵(lì)。

？誗編輯 董慧紅