金融數(shù)學(xué)的發(fā)展及其在證券投資組合中的應(yīng)用

林承初

（廣西財(cái)經(jīng)學(xué)院信息與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 南寧市 530000）

金融數(shù)學(xué)最早作為學(xué)科出現(xiàn)是在上世紀(jì)80年代，Duffie認(rèn)為金融數(shù)學(xué)是不確定條件下的不同時(shí)期框架證券組合選擇理論和資產(chǎn)定價(jià)理論，在金融數(shù)學(xué)中，套利、最優(yōu)、均衡是最主要的概念，是金融數(shù)學(xué)研究思想的基礎(chǔ)。發(fā)展到今天，金融數(shù)學(xué)成為了金融學(xué)、數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)的交叉學(xué)科，逐漸成為一門應(yīng)用科學(xué)。

一、學(xué)科的產(chǎn)生與發(fā)展

1900 年，法國數(shù)學(xué)家Bachelier發(fā)表了學(xué)位論文《投機(jī)理論》，將股市運(yùn)作視作一種布朗運(yùn)動，假設(shè)其為絕對布朗運(yùn)動，定義其到期日買方預(yù)期價(jià)格為：

式中：S-股票價(jià)格；X-執(zhí)行價(jià)格；Vc-買方價(jià)格；φ-標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度函數(shù)。

之后幾十年金融數(shù)學(xué)發(fā)展相對緩慢，直到20世紀(jì)中葉，計(jì)算機(jī)技術(shù)逐漸發(fā)展起來，金融數(shù)學(xué)利用計(jì)算機(jī)強(qiáng)大的運(yùn)算能力，獲得了自身的發(fā)展，金融學(xué)的適用性逐漸被理論界、實(shí)務(wù)界和計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)界重視。

Markowitz在1959年又提出了證券選擇理論，主要研究單個(gè)投資者的資產(chǎn)組合行為。Sharpe-Lintner提出了資本資產(chǎn)定價(jià)模型，深入探討投資者的總體行為和市場資產(chǎn)定價(jià)內(nèi)在機(jī)理。標(biāo)準(zhǔn)CAPM模型依據(jù)均值-方差理論以及一些嚴(yán)格假設(shè)，和實(shí)際出入較大。70年代之后，非標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的CAPM模型逐漸衍生出來，金融神童Ross提出了嶄新思路的套利定價(jià)理論：

1992 年，Duffie和Epstein使用隨機(jī)微分效用確定環(huán)境下的效用函數(shù)，獲得特殊情況的BSDE。1993年Antonelli提出了正-倒向隨機(jī)微分方程，1994年Ma Protter和Yong獲得了有效位FBSDE的一般形式，標(biāo)志著有限維倒向隨機(jī)微分方程理論研究逐漸完善，在投資決策、期權(quán)定價(jià)和隨機(jī)微分效用等經(jīng)濟(jì)理論實(shí)踐中提供了十分有力的分析和近似計(jì)算方法。

二、Copula-MCMC方法在證券投資組合中的應(yīng)用

Copula能夠?qū)鹑谑袌霾煌Y產(chǎn)相關(guān)結(jié)構(gòu)復(fù)雜性進(jìn)行良好描述，是一種特殊的多元變量分布，邊緣分布為（0，1）上的均勻分布。

（一）Copula函數(shù)、Sklar定理

隨機(jī)變量 X、Y邊緣分布函數(shù) F（x）=Pr（X＜x） 和 G（y）=Pr（Y＜y），聯(lián)合分布函數(shù)為H（x，y）=Pr（X＜x，Y＜y）。Copula函數(shù)是一個(gè)能夠聯(lián)合單個(gè)邊緣分布和多元聯(lián)合部分的函數(shù)，連續(xù)多元分布函數(shù)中，單變量邊緣分布和多變量相依結(jié)構(gòu)能夠分離開，Copula函數(shù)模式適用于描述任意邊緣函數(shù)多元分布函數(shù)。

（二） 相依性

1.線性相依

通過線性相關(guān)系數(shù)度量，線性相關(guān)系數(shù)為：

線性相關(guān)可以直接計(jì)算相關(guān)系數(shù)，線性條件下相關(guān)系數(shù)和協(xié)方差的計(jì)算比較方便，多元正態(tài)分布是一個(gè)相依性較強(qiáng)的普通度量，但是金融資產(chǎn)收益并非正態(tài)分布，具有明顯的厚尾分布特征，線性相關(guān)描述資產(chǎn)之間的相依性不足比較明顯。

2.秩相關(guān)

有Kendall秩相關(guān)和Spearman秩相關(guān)兩種，是連續(xù)隨機(jī)變量組，對稱并且范圍在-1-1之間。

（三）選取模型

Q-Q圖對樣本數(shù)據(jù)的鑒別比較直觀，通過觀察Q-Q圖上點(diǎn)是否在同一條直線上來確定樣本數(shù)據(jù)是否滿足正態(tài)相關(guān)，所以選擇Q-Q圖能夠比較清晰的反映樣本的擬合度。

（四）投資組合VaR計(jì)算

計(jì)算投資組合收益。收益和風(fēng)險(xiǎn)未必成正比，高收益不代表高風(fēng)險(xiǎn)。在金融市場中，投資者能夠根據(jù)數(shù)量化投資選擇風(fēng)險(xiǎn)低并且收益穩(wěn)定的資產(chǎn)組合，比較符合大多數(shù)投資者的心理期望實(shí)際。

金融證券是經(jīng)濟(jì)高度發(fā)展的必然產(chǎn)物，金融數(shù)學(xué)對證券投資組合的指導(dǎo)作用是十分顯著的，但是金融市場數(shù)據(jù)處理量巨大，離散型和連續(xù)性變量混雜，所以在研究金融數(shù)學(xué)模型的同時(shí)，研究高效的海量數(shù)據(jù)處理工具同樣十分必要。

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