無界區(qū)域上具有記憶項(xiàng)的隨機(jī)波動方程的拉回吸引子的存在性

韓英豪，于吉霞，王宏全

(遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧大連 116029)

本文將考慮如下在無界區(qū)域R3(n≤3)上具有線性記憶項(xiàng)和可加噪聲的隨機(jī)波動方程

式中，α和λ為正常數(shù)，g∈L2(Rn)，h∈H1(Rn)。非線性項(xiàng)f滿足特定的增長率和耗散條件。隨機(jī)變量ω是一個(gè)獨(dú)立的雙邊實(shí)值Wiener過程。積分項(xiàng)為線性記憶項(xiàng)。假設(shè)k(0)，k(∞)＞0。并且，對?s∈R+，k'(s)＜0。為了便于處理記憶項(xiàng)，不失一般性，假設(shè)k(∞)=1。

V.Pata和A.Zucchi在文獻(xiàn)［1］中對具有記憶項(xiàng)的確定性方程證明了指數(shù)吸引子的存在性。B.Wang在文獻(xiàn)［2-3］中對沒有記憶項(xiàng)的隨機(jī)波動方程證明了隨機(jī)吸引子的存在性。本文將對上述具有線性記憶項(xiàng)的隨機(jī)波動方程證明其拉回吸引子的存在性。

1 預(yù)備知識

定義1 如果一個(gè)映射θ:R+×Ω→Ω為(B(R)×F，F(xiàn))-可測，θ(0，·)為在Ω上的恒等映射，對?s，t∈R，θ(s+t)= θ(s)?θ(t)，并對所有的 t∈R 有 θ(t)P=P，則稱(Ω，F(xiàn)，P{θ(t)}t∈R)為一個(gè)度量動力系統(tǒng)。以下把θ(t)簡記為θt。

定義2 如果一個(gè)映射Φ:R+×Ω×X→X;X(t，ω，x)→Φ(t，ω，x)為(B(R)× F × (B(x)，B(x))-可測，并且，對?ω∈Ω，滿足條件:

(ⅰ)Φ(0，ω，·)為在X上的恒同映射;

(ⅱ)Φ(t+s，ω，·)= Φ(t，θsω，Φ(s，ω，·))，?t，s∈R+;

(ⅲ)對?t∈R+，Φ(t，ω，·):X→X 為連續(xù)映射;

則稱Φ為在X上的關(guān)于度量動力系統(tǒng)θt的一個(gè)隨機(jī)動力系統(tǒng)。如果Φ(·，ω，·):R+×X→X是連續(xù)的，則稱Φ為連續(xù)的隨機(jī)動力系統(tǒng)。

設(shè)D為X上的一些隨機(jī)集合D={D(ω)}ω∈Ω構(gòu)成的集族。對任意 D={D(ω)}ω∈Ω∈D，以及 X 的任意隨機(jī)集合 ?D={?D(ω)}ω∈Ω，如果對?ω∈Ω，有 ?D(ω)?D(ω)時(shí)，可推出 ?D∈D，那么稱D為關(guān)于包含關(guān)系是封閉的。設(shè)K={K(ω)}ω∈Ω∈D。如果?B∈D，ω∈Ω，存在 tB(ω)＞0，當(dāng) t≥tB(ω)時(shí)，Φ(t，θ-tω，B(θ-tω))?K(ω)，則稱K為Φ的一個(gè)D-拉回吸收集。

定義3 設(shè)D是X的隨機(jī)集合構(gòu)成的集族，如果對 B={B(ω)}ω∈Ω∈D，當(dāng) tn→∞時(shí)，對每個(gè)ω∈Ω，有 xn∈B(θ-tnω)，那么在X中存在收斂子序列。則稱Φ在X上是D-拉回漸進(jìn)緊的。

定義4 設(shè)D是X的隨機(jī)集合構(gòu)成的集族，A={A(ω)}ω∈R∈D。如果

(ⅰ)對?ω∈R，A(ω)是緊的;

(ⅱ)A是關(guān)于Φ 不變的，即 Φ(t，ω，A(ω))=A(θtω)，?t≥0，ω∈Ω;

(ⅲ)A吸引D的任意隨機(jī)集合，即對?{D(ω)}ω∈Ω∈D，有 limt→∞d(Φ(t，ω-t，D(ω-t))，A(ω))=0;

則稱A為Φ的D-拉回吸引子，其中d為X的Hausdorff半度量。

定理1［4］設(shè)D是X的關(guān)于包含關(guān)系是封閉的隨機(jī)集合構(gòu)成的集族，Φ是在X上一個(gè)連續(xù)的隨機(jī)動力系統(tǒng)。假設(shè)Φ存在閉的D-拉回吸收集

2 隨機(jī)動力系統(tǒng)

K={K(ω)}ω∈Ω，并且Φ在X中是D-拉回漸進(jìn)緊。那么，Φ存在唯一D-拉回吸引子

本節(jié)首先通過一系列的變量替換把方程化成容易處理的具有隨機(jī)參數(shù)的確定方程形式，然后給出方程所需的各種條件，最后確定相空間及其方程所對應(yīng)的隨機(jī)動力系統(tǒng)。

假設(shè)ω為在完備概率空間(Ω，F(xiàn)，P)中的一個(gè)獨(dú)立雙邊實(shí)值Wiener過程，其軌道ω(·)屬于C(R，R)，且 ω(0)=0。在(Ω，F(xiàn)，P)中的保測度轉(zhuǎn)移算子定義為

θtω(·)=ω(· +t)-ω(t)，ω∈Ω，t∈R。那么，(Ω，F(xiàn)，P，(θt)t∈R)為一個(gè)度量動力系統(tǒng)。對于某一Rn×R上給定的初始函數(shù)u0(x，s)，對s≤0令u(s)=u0(s)。那么，通過變換

對方程中的確定性外力項(xiàng)和隨機(jī)外力項(xiàng)施加如下假設(shè):

對記憶核，假設(shè)μ屬于C1(R+)∩L1(R+)，并滿足條件:

我們把相空間定義為H:=H1(Rn)×L2(Rn)×M1(Rn)。采用與文獻(xiàn)［5］類似方法可以證明，方程(3)在上述假設(shè)(H0)-(H2)，(F1)-(F4)下在相空間H中的適定性。也就是說，對概率為1的ω∈Ω，?τ∈R，T＞τ和任意初始條件ω0:=(u0，v0，η0)∈H，方程組(3)有唯一的弱解 w(t)=w(t，τ，θrω，w0):=(u(t，τ，ω)，v(t，τ，ω)，η(t，τ，ω))∈C(［τ，T)，H)滿足 w(τ，τ)=w0。弱解在 H 中關(guān)于初始條件是連續(xù)的。

隨機(jī)波動方程(3)確定的隨機(jī)動力系統(tǒng)Φ是一個(gè)映射:Φ:R+×Ω ×H→H，對任意(t，ω，w0)∈R+×Ω ×H→H，定義為那么，Φ 是關(guān)于(Ω，F(xiàn)，P，(θt)t∈R)的一個(gè)連續(xù)隨機(jī)動力系統(tǒng)。對?ω∈Ω，t≥0和w0∈H，有

下面給出本文的主要結(jié)果。

定理1 假設(shè)(H0)-(H2)和(F1)-(F4)成立。那么，方程(3)確定的隨機(jī)動力系統(tǒng)Φ在H上存在唯一隨機(jī)D-拉回吸引子{A(ω)ω∈Ω。

3 解的一致估計(jì)

下面假設(shè)定理1的假設(shè)成立。另外，用符號c來表示正常數(shù)，其值在具體場合都不同，可以通過上下文來確定。用c(δ)來表示依賴于參數(shù)δ的正常數(shù)。

4 隨機(jī)吸引子

定理1的證明 由式(29)可知，Φ存在一個(gè)閉隨機(jī)吸收集 E={E(ω)}ω∈Ω，由引理4可知，在H中是D-拉回漸進(jìn)緊的。因此，根據(jù)定理1，隨機(jī)動力系統(tǒng)Φ在H上存在唯一D-拉回吸引子。

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［6］韓英豪，賀亞靜.RN上具有記憶項(xiàng)的非自治反應(yīng)擴(kuò)散方程的拉回吸引子的存在性［J］.遼寧師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，35(4):441-448.

(責(zé)任編輯 鄒永紅)