一類四元數(shù)矩陣保左特征值的線性映射條件*

袁 庚

(青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院，山東 青島 266061)

引言

關(guān)于四元數(shù)及其左右特征值的研究，文獻(xiàn)[1]中作了很多詳盡而有系統(tǒng)的綜述，到了目前為止關(guān)于四元數(shù)矩陣右特征值的研究已有很多令人滿意的結(jié)果.1989年Bunse-Gerstener等在文獻(xiàn)[2]中給出了四元數(shù)的QR分解和Schur分解，從而得到該四元數(shù)矩陣的右特征值和右特征值向量.

但四元數(shù)矩陣的左特征值所得結(jié)果較少.1985年，Wood在文獻(xiàn)[3]用拓?fù)鋵W(xué)的方法證明了四元數(shù)方陣的左特征值總是存在的，但并沒有給出左特征值的計(jì)算方法.直到2001年，黃禮平和So Wasin在文獻(xiàn)[4]中給出了二階四元數(shù)矩陣左特征值的性質(zhì)以及它們的代數(shù)表達(dá)式,但這遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足我們的需要.

由于一般四元數(shù)的乘法不滿足交換律，致使一般四元數(shù)行列式的定義便得十分困難，這更加深了我們對左特征值研究的難度.1991年，陳玄龍?jiān)谖墨I(xiàn)[5]中首先提出了四元數(shù)重行列式的概念，并建立了重行列式理論.

設(shè)Q表示四元數(shù)集合，Mn(Q)表示n×n四元數(shù)矩陣的集合，則有：

本文討論以下問題：

如果M、N分別是下三角可逆四元數(shù)矩陣且線性映射φ：Mn(Q)→Mn(Q)滿足φ(A)=MAN, 當(dāng)φ(A)與A具有相同的左特征值，則M和N中的元素滿足什么條件？

本文證明了下面的結(jié)果：

定理2如果M、N∈Mn(Q)分別是下三角可逆四元數(shù)矩陣且線性映射φ：Mn(Q)→Mn(Q)滿足φ(A)=MAN，對于任意下三角四元數(shù)矩陣A∈Mn(Q)，φ(A)與A具有相同的左特征值當(dāng)且僅當(dāng)M和N中的元素mss,nss分別與A中的元素ass的虛部對應(yīng)成比例且mssnss=1，或虛部對應(yīng)為零.

1 定理2的證明

1.1 輔助引理

為證明定理2，首先給出一些輔助結(jié)果.

引理2 若ab=ba，則a與b的虛部對應(yīng)成比例，或虛部對應(yīng)為零.

證明設(shè)a=a1+a2i+a3j+a4k，b=b1+b2i+b3j+b4k，則：

ba=(a1b1-a2b2-a3b3-a4b4)+(a1b2+a2b1+a4b3-a3b4)i+

(a1b3+a3b1+a2b4-a4b2)j+(a1b4+a4b1+a3b2-a2b3)k，

ab=(a1b1-a2b2-a3b3-a4b4)+(a1b2+a2b1+a3b4-a4b3)i+

(a1b3+a3b1+a4b2-a2b4)j+(a1b4+a4b1+a2b3-a3b2)k.

若ab=ba，則：

a1b1-a2b2-a3b3-a4b4=a1b1-a2b2-a3b3-a4b4;

a1b2+a2b1+a3b4-a4b3=a1b2+a2b1+a4b3-a3b4;

a1b3+a3b1+a4b2-a2b4=a1b3+a3b1+a2b4-a4b2;

a1b4+a4b1+a2b3-a3b2=a1b4+a4b1+a3b2-a2b3.

引理3 若a=man，則m,n與a的虛部對應(yīng)成比例，且mn=1.

證明若a=man，則：m-1a=an.設(shè)：

m-1=m1+m2i+m3j+m4k，

a=a1+a2i+a3j+a4k，

n=n1+n2i+n3j+n4k

則：

m-1a=(a1m1-a2m2-a3m3-a4m4)+(a1m2+a2m1+a4m3-a3m4)i+

(a1m3+a3m1+a2m4-a4m2)j+(a1m4+a4m1+a3m2-a2m3)k，

an=(a1n1-a2n2-a3n3-a4n4)+(a1n2+a2n1+a3n4-a4n3)i+

(a1n3+a3n1+a4n2-a2n4)j+(a1n4+a4n1+a2n3-a3n2)k.

由m-1a與an的實(shí)部相等，可得到：

a1m1-a2m2-a3m3-a4m4=a1n1-a2n2-a3n3-a4n4

即：

a1(m1-n1)-a2(m2-n2)-a3(m3-n3)-a4(m4-n4)=0

因?yàn)閍1,a2,a3,a4不全為零，故m1=n1,m2=n2,m3=n3,m4=n4.

1.2 定理2的證明

1)必要性證明

若λ為A的左特征值，φ(λ)為φ(A)的左特征值, 則：

從而得到λ=att(t=1,2,3,…s)，即A的左特征值為它的對角線元素.

又因?yàn)閙ss,nss與A中ass的虛部對應(yīng)成比例，且mssnss=1，由引理3得mssassnss=ass.

故φ(λ)=att，(t=1,2,…s).即λ也是φ(A)的左特征值，因此φ(A)與A具有相同的對角線元素，φ(A)與A具有相同的左特征值.

2)充分性證明

因?yàn)棣?A)與A具有相同的左特征值，且兩者均為三角陣，結(jié)合引理1與引理4，兩者具有相同的對角線元素.不失一般性，我們認(rèn)為mssassnss=ass.結(jié)合引理3，mss,nss與A中ass的虛部對應(yīng)成比例且msns=1，或虛部對應(yīng)為零.

2 結(jié)語

本文討論了三角形四元數(shù)矩陣形如映射φ(A)=MAN保左特征值的條件，這個(gè)結(jié)果，有利于提高復(fù)雜四元數(shù)矩陣左特征值的計(jì)算效率，同時(shí)也有益于一般四元數(shù)矩陣的左特征值問題的研究.

參考文獻(xiàn):

[1]Zhang Fuzhen. Quaternion and Matrices of Quaternions [J]. Linear Algebra and Its Application ，1997，251:21-57.

[2]Bunse-GerstuerA,ByersR,MehrmannV.AQuaternionQRAlgorithm[J].Numer.Math, 1989, 55: 83 -95.

[3]WoodRMW.QuaternionicEigrnvalues[J].Bull.Londonmath,Soc, 1985, 17:137-138.

[4]HuangLiping,WasinS.OntheEigenvaluesofaQuaternionicMatrix[J].LinearAlgebraandItsApplication, 2001, 323:105-116.

[5]ChenLongxuan.DefinitionofDeterminantandCramerSolutionsovertheQuaternion[J].Field.ActaMath,Sinica,NewSeries, 1991, 7(2):171-180.