遺傳阿貝爾范疇上twist Hall代數(shù)到2-周期復(fù)形Hall代數(shù)的嵌入

林 記

(阜陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽 阜陽 236037)

0 引言

設(shè)Q是一個不帶循環(huán)圈的有限箭圖，K=Fq是有限域，A是有限維代數(shù)KQ的有限生成模范疇，Q的底圖決定了一個Cartan矩陣，設(shè)g=n+⊕⊕n-為相應(yīng)的導(dǎo)出Kac-Moody李代數(shù). Ringel[1]和Green[2]證明了從量子包絡(luò)代數(shù)Ut(n+)到twist Hall 代數(shù)Htw(A)有一個單的代數(shù)同態(tài)；在該同態(tài)下，Ut(A)就與Htw(A)的由這些生成子生成的twist Hall子代數(shù)同構(gòu)；同時，Green給出了余積的范疇構(gòu)造。肖杰[3]給出了反極子，Ut(n+)的Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)通過阿貝爾范疇A得到的twist Hall代數(shù)完全實現(xiàn)了出來.

一個自然的問題是如何給出整個量子群Ut(g)的一個代數(shù)實現(xiàn)？彭聯(lián)剛和肖杰[4～5]通過對A的根范疇的討論，實現(xiàn)了所有的可對稱化的Kac-Moody李代數(shù).對任意一個滿足某些有限條件的微分分次范疇，To?n[6]定義了一個導(dǎo)出Hall代數(shù)，由與之相應(yīng)的三角范疇的不變量給出了該導(dǎo)出Hall代數(shù)的結(jié)構(gòu)常數(shù)的計算公式.肖杰和徐帆[7]簡化了To?n的構(gòu)造，并對有限域上的三角范疇直接給出了導(dǎo)出Hall代數(shù)的定義.

最近，Bridgeland[8]用2-周期復(fù)形構(gòu)造了量子群Ut(G)， 并建立了2-周期復(fù)形范疇的Hall代數(shù)DH(A)與extended Hall代數(shù)的Drinfeld double之間的聯(lián)系.文章研究了遺傳Abel范疇上的twist Hall代數(shù)到2-周期復(fù)形代數(shù)的嵌入，并找到了一種新的代數(shù)嵌入.

本文的主要結(jié)果如下：

定理1定義映射

I+∶Htw(A)→DH(A)，[A]|→EA，

則I+是一個代數(shù)嵌入.

1 預(yù)備知識

在本節(jié)中，我們給出twist Hall代數(shù)和2-周期復(fù)形Hall代數(shù)的定義和基本性質(zhì)[8～9].

在下文中，假設(shè)A是一個阿貝爾范疇且滿足：A的對象是一個集合，對象之間的態(tài)射是有限維的，在k=Fq上面是線性的，并且A的全局維數(shù)有限，用A，B，C表示A的任意對象.

定義1．1Hall 代數(shù)H(A)以A的同構(gòu)類為基元，乘法定義為

其中[A]表示A所在的同構(gòu)類，其單位元為[0].

記K(A)為A的Grothendieck群，∈K(A)表示對象A∈A所在的類，K≥0(A)?K(A)表示由這些類構(gòu)成的子集.對任意對象A,B∈A，定義

由此可得歐拉雙線性型

<-，->∶K(A)×K(A)→Z(α，β)=(α，β)+<β，α>．

定義1．2Twisted Hall 代數(shù)Htw(A)的向量空間與H(A)相同，乘法定義為

[A]*[C]=t·[A]◇[C].

若在此基礎(chǔ)上增加符號Kα和關(guān)系

Kα*Kβ=Kα+β，
Kα*[β]=t<α，β>.[B]*Kα

(1)

稱之為extended Hall代數(shù)，記為Hetn(A).注意

{Kα*[B]|α∈K(A)，B∈Iso(A)}構(gòu)成了Hetn(A)的一組基元.

設(shè)CZ2(A)為由A上的Z2分次復(fù)形的構(gòu)成的阿貝爾范疇，其對象如下所示

對象M．到N．的態(tài)射為s．∶M．→N．，使得

si↓s0↓

滿足si+1·di=di'·Si.對于態(tài)射s．，t．∶M．→N．，如果存在態(tài)射hi∶Mi→Ni+1使得ti-si=d'i+1ohi+hi+1odi，我們就稱s．，t．∶M．→N．是同倫的.對任意對象M．∈CZ2(A)， 用M.表示M0-M1∈K(A).

記HoZ2(A)為CZ2(A)的同倫范疇，CZ2(P)?CZ2(A)表示投射復(fù)形構(gòu)成的滿子范疇.為方便，我們簡記

C(A)∶=CZ2(A)，C(P)=CZ2(P)，

Ho(A)=HoZ2(A).

引理1．3[7]設(shè)M．，N．∈C(P)，則有

ExtC(A)(N．，M．)≌HomHO(A)(N．，M．*)．

對于M．∈C(A)，若H*(M□)，則稱M．是零調(diào)的.對于任意對象p∈P， 記

則有如下結(jié)果：

設(shè)H(C(A))是由阿貝爾范疇C(A)定義的 Hall 代數(shù)；H(C(P))?H((A))由投射對象構(gòu)成的子空間.對于H(C(P))兩個對象M．，N．，定義乘法t+·[M．]◇[N．]，記此Hall代數(shù)為M.*N.：=Htw(C(P)).

在此定義下，我們有如下的一些基本結(jié)論.

引理1．5[7]對于任意P∈P及M．∈C(P)，在Htw(C(P))有

(2)

(3)

特別地， 對于P，Q∈C(P)，有

[Kp]*[KQ]=[Kp⊕KQ]，

定義1．6記DH(A)∶=Htw(C(P))[[M．]-1|H*(M□)=0]，稱之為Bridgend's Hall代數(shù).

定義1．7記DHred(A)∶=DH(A)/([M□]-1∶H*(M□)=0，M．≌M.□) ，稱之為Bridgend's Hall代數(shù).

2 主要結(jié)果的證明

任取A∈A， 取極小投射分解

(5)

H1(CA)=0及CA=Q-P=A.

引理2．1任取A1，A2∈A，取極小投射分解

則有短整合列0→HomA(Q1，P2)→HomC(A)(CA1，CA2)→HomA(A1，A2)→0.

證明對任意的a∈HomA(A1，A2)，存在a1，a2使得下圖交換

若a=0，則存在唯一的b∈HomA(Q1，P1)使得a2=f2ob， 再由CA的定義可得結(jié)果.

令EA=t·K-Q*[CA]， 由下面命題可知EA的定義與A的投射分解無關(guān).

以下給出定理1的證明.

任取A1，A2∈A，設(shè)

[A1]*[A2]=

取A1，A2的極小投射分解

易得A3有投射分解

所以有

I+([A1]*[A2])=t+

(6)

因此

I+(A1)*I+(A2)=t+·K-Q1*[CA1]*K-Q2*[CA2]=

t+·K-Q1*t*K-Q2*[CA1]*[CA2]=

(7)

其中n=++(Q2，A1)++.由命題2．1，有

|HomC(A)(CA1，CA2)|=|HomA(A1，A2)|·

|HomA(Q1，P2)|.

所以對比(6)和(7)，再由

可知I+([A1]*[A2])=I+([A1]*I+[A2])

成立當(dāng)且僅當(dāng)

n+2-2=+

．

由A1=Q1-P1，A2=Q2-P2易得上面等式成立.

顯然，若[B1]，[B2]，…，[Bj](Bi∈A) 在A中線性無關(guān)，則[CB1]，[CB2]，…，[CBj] 在C(A)中線性無關(guān)，則[EB1]，[EB2]，…，[EBj]在DH(A)線性無關(guān)，所以I+是單的.

[1] RINGEL C．Hall algebras and quantum groups[J]．Invent． Math，1990，101(3):583-591．

[2] GREEN J A .Hall algebras， hereditary algebras and quantum groups[J]． Invent． Math，1995，120(1): 361-377．

[3] XIAO J .Drinfeld double and Ringel-Green theory of Hall algebras[J]．J． Algebra，1997，190(1):100-144．

[4] PENG L, XIAO J． Root categories and simple Lie algebras[J]． J． algebra， 1997，198 (1):19-56．

[5] PENG L, XIAO J． Triangulated categories and Kac-Moody algebras[J]．Invent． Math， 2000，140(3):563-603．

[7] XIAO J，XU F ． Hall algebra associated to triangulated categories[J]．Duke Math． J．， 2008，143(2): 357-373．

[8] BRIDGELAND T ．Quantum groups via Hall algebras of complexes[J]．Annals of Mathematics， 2013，177(2):739-759．

[9] SCHIFFMANN O ．Lectures on Hall algebras[OL]. arXiv:0611617v2．