一維六方壓電準(zhǔn)晶材料中雙周期裂紋反平面問題

崔江彥, 安震海, 王亞星

(1寧夏大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,寧夏 銀川，750021;2 銀川唐徠回民中學(xué))

準(zhǔn)晶是1984年在實(shí)驗(yàn)Al-Mn合金中發(fā)現(xiàn)的一種固體, 結(jié)構(gòu)與晶體明顯不同, 其彈性也不同于晶體。準(zhǔn)晶彈性除了普通的位移場和聲子場之外, 還存在另一位移場和相位子場。目前準(zhǔn)晶材料主要應(yīng)用于表面改性材料和結(jié)構(gòu)材料增強(qiáng)相, 但是準(zhǔn)晶材料在常溫環(huán)境下呈脆性, 這大大限制了準(zhǔn)晶材料的應(yīng)用, 因此研究其斷裂力學(xué)行為對材料的制作有著及其重要的理論意義。長期以來, 學(xué)者對材料斷裂力學(xué)的研究都集中在裂紋和夾雜中，自準(zhǔn)晶材料被發(fā)現(xiàn)以來, 關(guān)于準(zhǔn)晶各方面問題的研究已經(jīng)取得了許多重要的成果, 尤其是用復(fù)變函數(shù)的方法研究準(zhǔn)晶材料中一系列微觀與宏觀缺陷問題[1,2], 目前對準(zhǔn)晶材料中的裂紋和位錯(cuò)等問題已有較系統(tǒng)的研究[3,4]. 雙周期裂紋的相關(guān)問題在經(jīng)典彈性力學(xué)中的研究比較多[5～10], 而準(zhǔn)晶材料的雙周期裂紋問題至今還未見相關(guān)報(bào)道。本研究利用橢圓函數(shù)和解析函數(shù)理論討論了一維壓電六方準(zhǔn)晶材料中一類裂紋中心位于矩形頂點(diǎn)呈雙周期排列的反平面問題, 得到問題的封閉解。

1 問題分析

一維六方壓電準(zhǔn)晶材料, 裂紋中心位于矩形頂點(diǎn)上并呈雙周期分布的橫截面圖如圖1所示。

圖1 裂紋中心位于矩形頂點(diǎn)

準(zhǔn)晶材料的反平面問題, 其反平面應(yīng)變u3和反平面位移w3以及電勢φ可表示為[5]：

其中，

(1)

本構(gòu)方程[5]為：

(2)

控制方程為：

(3)

(4)

由于材料參數(shù)矩陣行列式L不為零, 有2u3=2w3=2φ=0。這樣u3,w3,φ均為調(diào)和函數(shù), 可分別用復(fù)變量的解析函數(shù)的實(shí)部表示, 即

(5)

其中z=x+iy為復(fù)變量,i為虛數(shù)單位。

將(5)式代入(2)式并作復(fù)數(shù)運(yùn)算可得，

(6)

2 問題求解

基于對稱性和周期性, 可在半胞元ABCDA′B′C′D′(圖1)上求解此問題。

對應(yīng)的邊界條件為：

在裂紋AB,CD,A′B′,C′D′上，

σ32=0,H32=0,D2=0

(7)

在AA′,DD′上，

σ31=0,H31=0,D1=0

(8)

在BC,B′C′上

σ31=0,H31=0,D1=0

(9)

利用(6)式, 邊界條件(7),(8),(9)轉(zhuǎn)化為

在裂紋AB,CD,A′B′,C′D′上

Im[F′(z)]=0,Im[G′(z)]=0,Im[Φ′(z)]=0,

(10)

在AA′,DD′,BC,B′C′上

Re[F′(z)]=0,Re[G′(z)]=0,Re[Φ′(z)]=0,

(11)

根據(jù)裂紋的邊界條件知, 在AA′或DD′上的剪應(yīng)力與遠(yuǎn)場在周期長度的值一致, 即

(12)

引進(jìn)保角變換, 將此矩形區(qū)域變換到ζ平面的上半平面(圖2)。利用施瓦茲克里斯多夫公式有

(13)

式中，A為常數(shù),k為橢圓函數(shù)Sn的模數(shù)，有關(guān)系式

(14)

上述保形映照將物理平面z平面(圖1)上的半胞元ABCDA′B′C′D′映成像平面ζ平面的上半平面, 半胞元的邊界映射成實(shí)軸,映射時(shí)特征點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系如圖2所示。

圖2 保角變化

設(shè)BB′=ω1,BC=ω2,則B,C的坐標(biāo)分別為

則

(15)

(16)

(17)

記

(18)

利用(18)式,(15)與(17)轉(zhuǎn)化為

(19)

從而由(19)式可以確定常數(shù)A和模數(shù)k。

設(shè)AB=a,A′B′=a′,CD=d,C′D′=d′,則

設(shè)F1(ξ)=F′(z),G1(ξ)=G′(z),Φ1(ξ)=Φ′(z), 進(jìn)一步邊界條件(10)與(11)轉(zhuǎn)化

Im[F′(z)]=0,Im[G′(z)]=0,Im[Φ′(z)]=0

(20)

在實(shí)軸的其余部分，

Re[F′(z)]=0,Re[G′(z)]=0,Re[Φ′(z)]=0

(21)

利用凱爾狄什-謝多夫公式可得此邊值問題的解為

(22)

于是，將(6)式與(22)代入到(12)式得

(23)

這里

(24)

從而

(25)

3 應(yīng)力強(qiáng)度因子

對壓電載荷下含有裂紋的準(zhǔn)晶材料, 裂紋尖端的強(qiáng)度因子定義為

(26)

其中

(27)

4 結(jié)論與討論

本次研究給出了壓電載荷下無限大一維六方準(zhǔn)晶材料中一類裂紋中心位于矩形頂點(diǎn)且呈雙周期分布的反平面問題, 并得到了裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子。因?yàn)閹缀螀?shù)變化的依賴性，需要用數(shù)據(jù)圖表，也就是要做出數(shù)值解，但是，對于準(zhǔn)晶雙周期反平面問題的數(shù)值解目前還沒有可行的程序，沒有相關(guān)的文獻(xiàn)數(shù)據(jù)參考，有待于以后進(jìn)一步研究。

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