一類具有非線性發(fā)生率的時(shí)滯病毒模型Hopf分支

劉 娟

(蚌埠學(xué)院數(shù)學(xué)與物理系,安徽 蚌埠，233030)

多年來(lái)，國(guó)內(nèi)外許多研究學(xué)者利用微分方程建立相應(yīng)的模型，對(duì)人體內(nèi)的病毒感染過(guò)程進(jìn)行模擬，并取得很多的成果[1～6]。刑培旭等[1]研究了一個(gè)帶有飽和發(fā)生率的病毒模型的穩(wěn)定性。Mccluskey[4]研究了一類時(shí)滯SIR傳染病模型的全局穩(wěn)定性。黃剛等[5]提出了如下具有Beddington-DeAngelis功能反應(yīng)的乙型肝炎病毒模型:

(1)

在系統(tǒng)(1)中，x(t),y(t)和v(t)分別表示未感染的肝細(xì)胞、感染的肝細(xì)胞和游離病毒在時(shí)刻t的數(shù)量。a,b,d,k,p,s,u,β為系統(tǒng)(1)的參數(shù)，且均為正的常數(shù)，它們各自具有不同的生態(tài)含義。由于病毒接觸目標(biāo)肝細(xì)胞到目標(biāo)肝細(xì)胞被感染，需要有一定的時(shí)間間隔。因此，黃剛等[6]研究了系統(tǒng)(1)具有時(shí)滯情形下的全局穩(wěn)定性。受黃剛等[5]的工作啟發(fā)，筆者研究如下具有時(shí)滯的病毒模型的Hopf分支：

(2)

其中，τ表示病毒接觸目標(biāo)肝細(xì)胞到目標(biāo)肝細(xì)胞被感染的時(shí)間間隔。

1 Hopf分支存在性

作平移變換u1(t)=x(t)-x*,u2(t)=y(t)-y*,u3(t)=v(t)-v*,仍然記u1(t)，u2(t)，u3(t)為x(t)，y(t)和v(t)。

系統(tǒng)(2)在正平衡點(diǎn)E(x*,y*,v*)處的線性化系統(tǒng)為：

(3)

注意到b1b4=b2b3，可以得到系統(tǒng)(3)的特征方程：

λ3+m2λ2+m1λ+m0+(n2λ2+n1λ+n0)e-λτ=0

(4)

其中，m0=-a1a2a4,m1=a1a2+a1a4+a2a4,m2=-(a1+a2+a4),n0=a1a3b4-a2a4b1,n1=a2b1+a4b1-a3b4,n2=-b1。

當(dāng)τ=0時(shí)，方程(4)變?yōu)?/p>

λ3+(m2+n2)λ2+(m1+n1)λ+m0+n0=0

(5)

顯然，m2+n2>0。因此，根據(jù)赫爾維茨定理，如果(H1):(m2+n2)(m1+n1)>m0+n0成立, 則正平衡點(diǎn)E(x*,y*,v*)是局部漸近穩(wěn)定的。

當(dāng)τ>0時(shí)，令λ=iω(ω>0)為特征方程(4)的根，代入特征方程(4)并分離實(shí)虛部得

(6)

進(jìn)而，得到

ω6+e2ω4+e1ω2+e0=0

(7)

令ω2=v,方程(7)變?yōu)?/p>

v3+e2v2+e1v+e0=0

(8)

定理1對(duì)于系統(tǒng)(2)，如果(H1)-(H3)成立，則當(dāng)τ∈[0,τ0)時(shí),系統(tǒng)(2)的正平衡點(diǎn)E(x*,y*,v*)是漸近穩(wěn)定的；當(dāng)τ=τ0時(shí)，系統(tǒng)(2)在正平衡點(diǎn)E(x*,y*,v*)處產(chǎn)生Hopf分支。

3 數(shù)值模擬

采用和文獻(xiàn)[3]相同的系數(shù)，取a=1，b=1，d=0.2，k=7.5，p=0.25，s=5，u=2.5，β=1?？紤]系統(tǒng)(2)的如下實(shí)例：

(9)

經(jīng)過(guò)計(jì)算得到系統(tǒng)(9)的正平衡點(diǎn)E(4.552 2, 16.358 2, 49.074 6)。進(jìn)而得到ω0=0.434 0,τ0=2.286 7。當(dāng)取τ=2.05∈[0,τ0)時(shí)，系統(tǒng)(9)是漸近穩(wěn)定的。而當(dāng)取τ=2.45>τ0時(shí)，系統(tǒng)(9)失去穩(wěn)定性，產(chǎn)生Hopf分支。仿真效果如圖1，圖2。

4 結(jié)論與討論

本次研究了一類具有非線性發(fā)生率的時(shí)滯病毒動(dòng)力學(xué)模型。通過(guò)分析模型相應(yīng)特征方程根的分布，確定了模型產(chǎn)生Hopf分支的充分條件。當(dāng)時(shí)滯小于臨界值時(shí)，模型漸近穩(wěn)定。而一旦時(shí)滯的取值超過(guò)臨界值，模型將失去穩(wěn)定性并產(chǎn)生Hopf分支。最后，利用仿真實(shí)例驗(yàn)證了以上理論結(jié)果的正確性。Hopf分支是一種非常重要的非線性現(xiàn)象，它的產(chǎn)生將不利于對(duì)病毒的控制。由此可以發(fā)現(xiàn)，時(shí)滯因素對(duì)病毒模型具有重要的影響。對(duì)于病毒模型Hopf分支的性質(zhì)，諸如分支方向和分支周期解的穩(wěn)定性問(wèn)題，有待進(jìn)一步研究。

圖1 當(dāng)τ=2.05<τ0=2.286 7時(shí)，系統(tǒng)(9)漸近穩(wěn)定

圖2 當(dāng)τ=2.45>τ0=2.286 7時(shí)，系統(tǒng)(9)不穩(wěn)定并發(fā)生Hopf分支

[1] 刑培旭,陳科委.一個(gè)帶有飽和發(fā)生率的病毒模型動(dòng)力學(xué)性質(zhì)分[J].河南師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2013,41(2):31-34.

[2] 段光爽,任磊.一類帶時(shí)滯的病毒模型的全局穩(wěn)定性性[J].西南民族大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2012,38(1):24-28.

[3] 莊科俊,溫朝暉.一類分?jǐn)?shù)階的病毒動(dòng)力學(xué)模型[J].北華大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2013，14(5):508-511.

[4] Mccluskey C C.Complete global stability for an SIR epidemic model with delay-Distributed or discrete,Nonlinear Anal[J].Real World Appl,2010,11(1):55-59.

[5] Huang G,Ma W B,Takeuchi Y.Global Properties for Virus Dynamics Model with Beddington-Deangelis Functional Response[J].Applied Mathematics Letters,2009,22(11):1 690-1 693.

[6] Huang G,Ma W B,Takeuchi Y.Global Analysis for Delay Virus Dynamics Model with Beddington-Deangelis Functional Response[J].Applied Mathematics Letters,2011,24(7):1 199-1 203.

[7] Hu G P,Li X L.Stability and Hopf bifurcation for a delayed predator-prey model with disease in the prey[J].Chaos，solitons & Fractals,2012,45(3):229-237.

[8] Hassard B D,Kazarinoff N D,Wan Y H.Theory and Applications of Hopf Bifurcation[M].Cambridge:Cambridge University Press,1981.