關(guān)于積分不等式證明方法的探討

姜波

【摘 要】積分不等式是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，它反映了變量與變量之間的某種重要聯(lián)系。論證積分不等式的方法很多，本文的目的主要是利用微積分學(xué)性質(zhì)、定理以及公式歸納總結(jié)高等數(shù)學(xué)中證明積分不等式的常用方法，探討有關(guān)證題的技巧和規(guī)律。

【關(guān)鍵詞】積分不等式；性質(zhì)；定理；公式

積分不等式的證明是高等數(shù)學(xué)諸多問題中難度較大、技巧性較強(qiáng)、涉及知識面較廣的問題.本文結(jié)合若干典型例題較全面地給出一些證明積分不等式的方法，僅供讀者參考。

1.利用積分的比較性質(zhì)證明積分不等式

利用積分的比較性質(zhì)證明積分不等式的關(guān)鍵是得到被積函數(shù)在積分區(qū)間上的一個不等式。

例1 證明1nxdx

證 當(dāng)x∈1，2時，≤x，1nx≥0故1nx≤x1nx，且1nx不恒等于x1nx，兩函數(shù)1nx，x1nx均在1，2上連續(xù)，所以，由積分比較性質(zhì)，有1nxdx

2.利用拉格朗日中值定理證明積分不等式

例2 設(shè)f（x）在區(qū)間a，b上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f（a）=f（b）=0，M=f'（x），證明f（x）dx≤M（b-a）.

證 令x=，在a，x

上，由拉格朗日中值定理，有：

f（x）-f（a）=f'（

ξ）（x-a）≤M（x-a），a<ξ

由f（a）=0，有f（x）≤M（x-a，于是：

f（x）dx≤M（x-a）dx=（x-a）=（b-a）

同理有f（x）dx≤（b-a）

所以f（x）dx≤M（b-a）.

3.利用泰勒公式證明積分不等式

如果被積函數(shù)f（x）含有高階導(dǎo)數(shù)，且最高階導(dǎo)數(shù)的符號已知時，可用泰勒公式證明積分不等式.

例3 設(shè)f（x）在a，b上有二階導(dǎo)數(shù)，且f"（x）≥0，求證f（x）dx≥（b-a）f.

證 將f（x）在點(diǎn)x=處展開成帶有拉格朗日余項(xiàng)的一階泰勒公式。

f（x）=f+f'+f"（ξ），ξ介于x和之間，

因?yàn)閒"（x）≥0，所以f（x）≥f+f'，對兩邊同時積分，得f（x）dx≥f（b-a）+f'dx，

由于dx=0，故f（x）dx≥（b-a）f.

4.利用積分估值性質(zhì)證明積分不等式

利用積分估值性質(zhì)證明積分不等式的關(guān)鍵在于求被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大值和最小值.

例4 證明

證 令f（x）=e，x∈

-，

，則f'（x）=-2xe-x2.令f'（x）=0，得駐點(diǎn)x=0.由于f=e及f（0）=1，知f（x）在區(qū)間

-，

上的最大值為f（0）=1，最小值為f=e.于是，當(dāng)x∈

-，

時，e≤e≤1，且e不恒等于e， e不恒等于1.于是，由積分估值性質(zhì)，得

5.利用判別式法證明積分不等式

若A>0，Ax+2Bx+c≥0，則它的判別式△=4B-4AC=4（B-AC）≤0，即B-AC≤0.

用判別式法證明積分不等式，其基本思路是建立一個恒正（或非負(fù)）二次三項(xiàng)式Aλ+2Bλ+C>0（或≥0），使它的判別式所滿足的條件恰好是所需證明的不等式.

例5 設(shè)f（x），g（x）均在區(qū)間a，b上連續(xù)，則有柯西不等式：

f（x）g（x）dx2≤

證 對任意實(shí)數(shù)λ，有：

λf（x）+g（x）=λf（x）+2λf（x）g（x）+g（x）≥0

所以λf2（x）dx+2λf（x）g（x）dx+g（x）dx≥0

利用關(guān)于λ的二次三項(xiàng)式的判別式△≤0，有：

f（x）g（x）dx2≤.

6.利用積分中值定理證明定積分不等式

例6 設(shè)f（x）在[0，1]上可導(dǎo)，證明：對于x∈[0，1]，有：

f（x）≤（f（t）+f'（t））dt

證 由積分中值定理，有：

f（t）dt=f（ξ），0≤ξ≤1，

又對任意的x∈[0，1]，有f（x）-f（ξ）=f'（t）dt，即f（x）=f（ξ）+f'（t）dt.于是當(dāng)x>ξ時：

f（x）≤f（ξ）+

f'（t）dt≤f（ξ）+f'（t）dt≤f（ξ）+f'（t）dt=（f（t）+f'（t））dt

當(dāng)x<ξ時：

f（x）=f（ξ）+

f'（t）dt=f（ξ）+

f'（t）dt≤f（ξ）+≤

f'（t）dt≤f（ξ）+f'（t）dt≤f（ξ）+f'（t）dt=（f（t）+f'（t））dt

故當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）≤（f（t）+f'（t））dt.

7.利用常數(shù)變易法證明積分不等式

例7設(shè)在[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f（x）是單調(diào)增加的，證明：

（a+b）f（t）dt≤2tf（t）dt

證 引進(jìn)輔助函數(shù)

F（x）=（a+x）f（t）dt-2tf（t）dt，a≤x≤b，則

F'（x）=f（t）dt+（a+x）f（x）-2xf（x）

=f（t）dt-（x-a）f（x）

=f（ξ）（x-a）-（x-a）f（x）

=（x-a）f（ξ）-f（x）（a≤ξ≤x）

由于f（x）是單調(diào)增加函數(shù)，故F'（x）≤0，即F（x）在[a，b]上不增，又 F（a）=0，b>a，故F（b）≤F（a）=0，即：

（a+b）f（t）dt≤2tf（t）dt.

注：本題輔助函數(shù)的構(gòu)造是將常數(shù)b變易為變量x，這種方法叫做常數(shù)變易法，它是證明積分不等式的一個重要方法。

8.利用牛頓-萊布尼茲公式證明積分不等式

例8 證明：若f（x）在[a，b]上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f（a）=f（b）=0，則 f（x）≤f'（x）dx.

證 2f（x）=f（x）-f（a）+f（x）-f（b）=

f'（t）dt+

f'（t）dt=

f'（t）dt+

f'（t）dt≤f'（t）dt+f'（t）dt=f'（t）dt.

所以f（x）≤f'（x）dx.

9.利用二重積分證明積分不等式

注意到f（x）dxg（x）dx=

這里D=（x，y）|a≤x≤b，a≤y≤b

因此f（x）dxg（x）dx=[f（x）g（y）+f（y）g（x）]dxdy可用來證明含雙積分號的不等式.

例9 設(shè)f（x）在[0，1]上連續(xù)，證明edxedx≥1.

證 edxedx=[e.e+e.e]dxdy

=

e

+edxdy≥dxdy=1

其中D=（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1，故edxedx≥1. [科]

【參考文獻(xiàn)】

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