基于橢圓的漸開線齒輪齒根過(guò)渡曲線研究

楊 超，王寶超

（機(jī)械科學(xué)研究總院 中機(jī)生產(chǎn)力促進(jìn)中心，北京100044）

0 引言

漸開線齒輪的主要失效形式為點(diǎn)蝕和彎曲折斷。隨著齒輪熱處理如滲碳淬火、高頻淬火和淡化處理等技術(shù)的發(fā)展，使齒面接觸強(qiáng)度得到顯著提高，但卻增加了發(fā)生彎曲疲勞破壞的可能，隨著齒輪向著高速重載與小型化的方向發(fā)展，也使齒輪的彎曲問(wèn)題日益突出。所以齒根部位的應(yīng)力分布狀況、最大應(yīng)力值及部位、以及如何降低彎曲應(yīng)力引起了人們興趣和注意[1～8]。

齒輪彎曲應(yīng)力的計(jì)算方法主要有基于懸臂梁結(jié)構(gòu)30°切線法和有限元法。文獻(xiàn)[4～7]以有限元為基礎(chǔ)對(duì)齒輪進(jìn)行了精確建模和彎曲強(qiáng)度分析；文獻(xiàn)[9]基于懸臂梁結(jié)構(gòu)的30°切線法研究了漸開線直齒輪齒根彎曲應(yīng)力的求解。標(biāo)準(zhǔn)齒條刀具加工的過(guò)渡曲線為延伸漸開線的等距曲線，文獻(xiàn)[1～3]及[6]表明：該等距曲線并不能使齒根彎曲應(yīng)力最小，并基于有限元法對(duì)齒根過(guò)渡曲線進(jìn)行了優(yōu)化研究。

本文根據(jù)文獻(xiàn)[6]采用橢圓曲線方程來(lái)描述齒根過(guò)渡曲線，采用30°切線法求出齒形系數(shù)和應(yīng)力集中系數(shù)，與標(biāo)準(zhǔn)刀具加工的齒根曲線進(jìn)行比較，結(jié)果表明采用橢圓過(guò)渡曲線可以使彎曲應(yīng)力降低15%，文獻(xiàn)[6]采用有限元分析的結(jié)果為彎曲應(yīng)力降低17%，兩者基本一致，說(shuō)明采用橢圓作為齒根過(guò)渡曲線可以降低齒根彎曲應(yīng)力。最后采用齒形法線法，反求出滾刀的刀頂曲線。

1 直齒圓柱齒輪參數(shù)描述及橢圓方程的求解

為了進(jìn)行比較，選取的漸開線標(biāo)準(zhǔn)直齒圓柱齒輪的參數(shù)與文獻(xiàn)[6]完全一致，刀具圓角半徑為0.38m, 軸孔直徑d0=20mm，其余參數(shù)見(jiàn)表1。齒輪材料常數(shù)：彈性模量E=205Gpa，泊松比μ=0.3。

表1齒輪參數(shù)Tab.1gearparameter

如圖1 所示，漸開線標(biāo)準(zhǔn)直齒圓柱齒輪的齒廓由齒頂圓?。↙1 段）、兩側(cè)漸開線（L2 段）和兩側(cè)齒根過(guò)渡曲線（L3 段）組成。由文獻(xiàn)[6]建立如圖1 所示坐標(biāo)系，L2 段漸開線齒廓的曲線方程為：

漸開線標(biāo)準(zhǔn)直齒圓柱齒輪的齒根過(guò)渡曲線（L3段）采用橢圓曲線來(lái)代替，建立如圖2 所示的局部坐標(biāo)系wx-o-wy（wy 位于齒槽終點(diǎn)，轉(zhuǎn)角為Ψ），其橢圓方程設(shè)為：

圖1 標(biāo)準(zhǔn)齒廓坐標(biāo)計(jì)算Fig.1 Calculation based on the standard profile coordinates

N 點(diǎn)為橢圓與齒根圓的切點(diǎn)，設(shè)其在x-o-y 坐標(biāo)系中坐標(biāo)為（x1，y1）。x-o-y 坐標(biāo)系和wx-wo-wy 坐標(biāo)系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

式中：（x0，y0）是wx-wo-wy 坐標(biāo)系原點(diǎn)在x-o-y 坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，其中y0=x0tan（Ψ）。由上述條件列出如下方程組：

其中 （wx1wy1），( wxM,wyM) 分別是 （x1,y1） 和點(diǎn)M（4.3852,46.7942）經(jīng)坐標(biāo)相互轉(zhuǎn)換的結(jié)果。求得：

2 采用30°切線法求齒形系數(shù)和應(yīng)力修正系數(shù)

如圖2 所示，由30°切線法的直線斜率和橢圓切線斜率可知：

危險(xiǎn)截面齒厚：

SF=2×4.938=9.876

由文獻(xiàn) [9] 求得載荷作用于齒頂時(shí)彎曲力臂he=9.2173，載荷角δ=29.528°，進(jìn)而求得齒形系數(shù)和應(yīng)力修正系數(shù)分別為：

圖2 橢圓過(guò)渡曲線Fig.2 Elliptic curve

當(dāng)采用標(biāo)準(zhǔn)刀具加工齒輪時(shí)，滾刀圓角半徑為r=0.38m，由上述公式或者查表GB-3480 ，求得YFao=28，

3 齒形法線法反求滾刀的刀頂曲線

如圖3 所示，P-X，Y 是固定坐標(biāo)系 （P 點(diǎn)是固定坐標(biāo)系的嚙合節(jié)點(diǎn)）；齒形與動(dòng)坐標(biāo)系ox1-y1固連在一起，o-x1-y1的初始位置與0-x0-y0重合；刀具與動(dòng)坐標(biāo)系o2-x2-y2固連在一起。為了使P' 點(diǎn)成為接觸點(diǎn)，齒廓在這一點(diǎn)的法線和齒輪瞬心線（標(biāo)準(zhǔn)齒輪與分度圓重合）的交點(diǎn)p" 要與嚙合節(jié)點(diǎn)p 重合。為此，必須使齒輪和齒廓由初始位置轉(zhuǎn)過(guò)φ1角，與此同時(shí)，刀具也要從初始位置平移一個(gè)距離l=r1φ1。

圖3 齒形法線法Fig 3 The tooth profile normal method

由文獻(xiàn)[10]可得如下計(jì)算方程：各參數(shù)的意義參考圖3，其余同前文所述。

可以求出一系列的離散點(diǎn) （x2，y2），通過(guò)三次樣條曲線擬合，可以求得刀頂曲線的形狀如圖4 所示。

4 結(jié)束語(yǔ)

圖4 刀頂曲線Fig.4 The knife tip curve

用橢圓曲線代替延伸漸開線的等距曲線，并采用30°切線法進(jìn)行應(yīng)力的計(jì)算表明橢圓曲線可使齒根彎曲應(yīng)力降低15%，又能保證齒廓的連續(xù)性和光滑性，但該方法僅適用于給定齒數(shù)和模數(shù)的齒輪。最后給出了采用齒形法線法反求滾刀刀頂曲線的計(jì)算過(guò)程，對(duì)實(shí)踐具有指導(dǎo)意義。

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