數(shù)學(xué)實驗與數(shù)學(xué)建模研究的程序基礎(chǔ)

盧振坤，葉海燕

（1.廣西民族大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，廣西 南寧530006；2.梧州學(xué)院 文法學(xué)院，廣西 梧州543002）

進入21 世紀(jì)，高等教育必須把培養(yǎng)高素質(zhì)創(chuàng)新型人才作為根本目標(biāo)。而數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，已經(jīng)滲透到各個領(lǐng)域，并越來越深刻地影響到相關(guān)學(xué)科的發(fā)展。數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗是與解決實際問題聯(lián)系緊密的課程，如今各個高校都開設(shè)了該課程，而且有關(guān)如何進行數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗的課程改革以及如何把數(shù)學(xué)建模思想滲透到平時的數(shù)學(xué)課中等問題已經(jīng)有很多文獻(xiàn)進行探討[1—8]。文章主要針對數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗研究程序，從數(shù)學(xué)的角度進行分析，給出一個量化的實現(xiàn)過程。

現(xiàn)實中，研究對象往往是復(fù)雜而且是隨機的。在數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗中，我們可以在定性的和定量的程度上進行實驗。在定性實驗中，往往只得到研究對象的某一特征，其測量精度是未知的，其目的是研究對象的具體性質(zhì)。而定量實驗則不同，是用模型的方法獲得研究對象的特征，可進行一定的誤差控制，主要目的是要精確測定我們所關(guān)心的特征。實驗中要完成的主要任務(wù)是：

（1）積累有關(guān)研究對象已知性質(zhì)的信息；

（2）探索研究對象的新性質(zhì)；

（3）檢驗建立的理論模型的正確性；

（4）求解反概率問題。

1 定量實驗研究及概率特征的鑒別泛函

當(dāng)利用定量方法去研究某個對象時，我們要用一些函數(shù)去描述研究對象的性質(zhì)，比如隨機過程x(t)就是這種函數(shù)理想化的模型。根據(jù)先驗信息a 和我們采用的假設(shè)h 來建立假設(shè)對象，相應(yīng)的模型可表示為：

其中m=(a,h)是一個算子，它表示根據(jù)先驗信息a 和假設(shè)h 所選擇的模型的類型；ξi(t)，i=1,2,…，p 是隨機過程，假設(shè)它的概率特征是已知的。模型m∈M 必須形成集合M，并足以完整地描述實際研究對象的性質(zhì)。

設(shè)θ(l|m)是與x(t)的模型m 相對應(yīng)的隨機過程x(t)的概率特征，這里l=(l1，l2，…，ln)是研究過程中作為概率特征的自變量出現(xiàn)的獨立變量的集合（n 決定它的維數(shù)）。從它依賴于模型m 的觀點看，概率特征θ(l|m)是有條件的。若令πi(λ),i=1,2,…,p 為隨機過程ξi(t)的概率特征，λ=(λ1，λ2，…，λp)為對應(yīng)的獨立變量的集合。根據(jù)定義，概率模型必須使我們能夠建立原始的概率特征{πi(λ)}和θ(l|m)之間的聯(lián)系，即

這里μm唯一地由算子m 所確定——即由隨機過程的模型所確定。

在定量的實驗中，我們必須求出概率特征θ(l|m)和這個特征的統(tǒng)計估值之間(l)數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系。實際上，不求出這一對應(yīng)關(guān)系，我們就不能得到一個定量的實驗結(jié)果。

對于所研究的特征我們引入鑒別泛函ρθ(m)：

這里ρ 表示一個運算形式的算子，用這種運算形式來確定θ(l|m)和(l)之間的差別。

因此，ρθ(m)是一個數(shù)，這個數(shù)在某種意義上確定在由它們的自變量所描述的空間函數(shù)θ (l|m)和(l)之間的距離。

引入鑒別泛函使我們能夠確定統(tǒng)計測量的誤差，并能用數(shù)值估計的定量形式表示出試驗的結(jié)果。

其中A(q)和A（l）是相應(yīng)的權(quán)函數(shù)。

2 研究基本模型

鑒于對研究對象性質(zhì)的假設(shè)以不同的充分程度反映研究對象真實的性質(zhì)，自然我們假定對于不同的模型m∈M 泛函ρθ(m)的值將會不同。在模型的集合中存在一個最小的泛函ρθ(m)。

把m0∈M 定義為基本模型，它對應(yīng)于泛函ρθ(m)的最小值，即

其中表示下確界。

顯然對一個具體的模型m，ρθ(m)的值越接近ρθ(m0)的值，則這個模型就越準(zhǔn)確、越有效。某一個模型有效度E(m)的定量測度可以定義為：

模型m 的有效度E(m)有下面的性質(zhì)：

其中sup 表示上確界。

在建立模型M 集合的過程中我們必須考慮所有可利用的先驗信息a，此外我們還必須考慮與研究對象可能的特性有關(guān)的假設(shè)h。在一般情況下，任何兩個模型mi和mj可以利用所考慮的形成的先驗信息量ai和aj，以及在確定這些模型時所作的假設(shè)hi和hj來加以區(qū)別。對于絕大多數(shù)有實際意義的情況，我們可以假設(shè)用來建立不同模型的先驗信息量是相等的，即ai=aj=a，而模型mi=(a,hi)和mj=(a,hj)的差別僅僅表現(xiàn)在所采用的假設(shè)hi和hj的性質(zhì)方面。但是即使不是這樣，嚴(yán)格地講，所考慮的先驗信息量的不同原則上與對應(yīng)假設(shè)的特征有關(guān)。這樣，在這種解釋中模型的差別來自所作的假設(shè)的差別。如果我們用H 表示可能的假設(shè)h∈H 的集合,顯然，集合M 唯一地被集合H 所確定。

3 試驗?zāi)Ｐ徒Y(jié)果的解釋

試驗研究的一個重要的階段是試驗結(jié)果的解釋，它定義為對實際研究對象的性質(zhì)進行判決的一個步驟，其目的是控制后來的試驗和導(dǎo)出使用所得的數(shù)據(jù)的推薦值。

采用的模型m 與實際對象的模型完全相匹配，用Δρθ(m)表示對應(yīng)于這種情況的泛函ρθ(m)的值，顯然這樣一種情況是假定的，但盡管如此，從方法論的觀點出發(fā)還是值得研究的?？紤]到以上的討論，看出在統(tǒng)計測量中Δρθ(m)的值應(yīng)當(dāng)作為算法誤差和設(shè)備的誤差來對待。

假定與第m 個模型相對應(yīng)的概率特征θ(l|m)是研究對象的真實特征，則可以計算Δρθ(m)的值。自然希望對于基本模型m0來說Δρθ(m)是最小，也就是

以下述方法證實上式的正確性。統(tǒng)計測量的誤差（至少是算法誤差）取決于所采用的模型與實際研究對象一致的程度。在這種情況下，一致程度越高——也就是所研究的模型m 與基本模型m0越接近，這些誤差就越小。按照基本模型(m)的定義，它是在所有m∈M 中與真實模型最接近的。于是式（1）的正確性得到證明。

令ε 為一正數(shù)，則值

相當(dāng)于最小統(tǒng)計測量誤差乘以(1+ε)。當(dāng)然ε具體值的選擇必須合理，并要考慮到要解決的問題的特殊性質(zhì)和利用實驗數(shù)據(jù)的特殊性質(zhì)。ε 值起的作用是規(guī)定一個確定的置信范圍用以確定對于泛函ρθ(m)的容許值的限制。

如果作為一個實驗結(jié)果滿足條件

則選擇基本模型m0的任務(wù)便完成，試驗也就結(jié)束。將來，在不等式（2）所確定的這組條件下模型m0可以用來預(yù)測研究對象的性質(zhì)。

但是，如果得出

則就不能認(rèn)為得出的基本模型足以表示實際研究對象（當(dāng)然對于假定的ε 值）。在這種情況下，可能的模型集合M 必須由另一個模型集合M1來代替，使得

其中Φ 表示空集。

進一步的研究變?yōu)樵谀Ｐ蚼1∈M1中尋求基本模型m10。如果得出

則試驗就結(jié)束。但是，如果

則必須依次引入模型的集合MR，R=2,3…，使得

并尋求基本模型mR0，直到對某個mR0不等式

成立為止。

其次，研究形成的概率模型的集合MR(R≥1)的一些特性，在模型集合M 的討論中曾把先驗信息a 和假設(shè)h∈H 用作原始數(shù)據(jù)。

如果考慮式（4）成立，有必要引入模型集合MR，MR的形成一方面用新的假設(shè)HR；另一方面用附加的先驗信息a+ΔaR，在這種情況下，信息ΔaR由試驗研究的下一個周期得到。

4 結(jié) 論

數(shù)學(xué)實驗與數(shù)學(xué)建模的改革是深化高校數(shù)學(xué)教學(xué)改革，全面提高教學(xué)質(zhì)量，培養(yǎng)二十一世紀(jì)創(chuàng)新型高素質(zhì)人才的有效途徑。而數(shù)學(xué)建模不能只是停留在感性認(rèn)識上，否則面對實際問題時就無法找到切入點，無法建立合理的數(shù)學(xué)模型，更不能對結(jié)果做出合理的分析。文章從數(shù)學(xué)的角度進行分析，給出一個量化的實現(xiàn)過程，讓學(xué)生對整個數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實驗的過程有一個理性的認(rèn)識，從而更好地指導(dǎo)他們解決實際問題的能力。

[1] 孫萊樣.積極探索創(chuàng)新人才培養(yǎng)模式[J].中國高等教育,1999(24):10-11.

[2] 姜啟源.數(shù)學(xué)實驗與數(shù)學(xué)建模[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識,2001(31):613-17.

[3] 李大潛.將數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)學(xué)類主干課程[J].中國大學(xué)教學(xué),2006(1):9-11.

[4] 鄭煜.數(shù)學(xué)建模:創(chuàng)新一體化教學(xué)模式的構(gòu)建[J].黑龍江高教研究,2008(8): 177-179.

[5] 王庚.數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗課程的探索、實踐與收獲[J].高等數(shù)學(xué)研究,2007(1):101—102.

[6] 樓建華.數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗[J].黑龍江高教研究,2003(3):126-27.

[7] 陳華友.重視數(shù)學(xué)建模提高學(xué)生綜合素質(zhì)的作用[J].中國教育報,2008(9): 1-2.