基于動態(tài)卡式系數(shù)的大型潛水電機偏心特征量的計算

狄 沖，汪 朗，鮑曉華，朱慶龍

（1.合肥工業(yè)大學 電氣與自動化工程學院，安徽 合肥 230009；2.大型潛水電泵裝備技術安徽省重點實驗室，安徽 合肥 231131）

大型潛水電機通常作為水泵的動力來源，在國家防治水安全領域發(fā)揮著重要作用。由于大型潛水電機一般在特殊工況下工作，并且與人民財產(chǎn)安全息息相關，因此其工作的可靠性問題值得人們重視。作為大型潛水電機，偏心將嚴重影響其工作的可靠性，因此，分析轉(zhuǎn)子偏心情況下大型潛水電機的各項性能指標就變得尤為重要。

引起轉(zhuǎn)子偏心主要有2個因素：制造加工中的公差和電機軸承的磨損。目前，國內(nèi)外諸多學者在對轉(zhuǎn)子偏心的研究之中已取得了一系列的研究成果。Kim U和Lieu D K先后建立了永磁電機不考慮開槽效應與考慮開槽效應的偏心模型［1-2］，并且分析了轉(zhuǎn)子偏心情況下氣隙磁場的畸變特性。Dorrell D G則提出了一種新型的模型，用來計算由轉(zhuǎn)子偏心引起的軸向不平衡磁拉力，并通過實驗驗證模型的正確性［3］。Belahcen A研究了轉(zhuǎn)子偏心對電機損耗的影響，并且指出在相同偏心度的情況下，靜偏心引起的損耗要比動偏心引起的損耗大［4］；朱海峰等人則采用解析法與有限元相結(jié)合的方法計算了在轉(zhuǎn)子靜偏心情況下的徑向電磁力的分布狀況［5］；仇志堅等人則針對標貼式永磁電機轉(zhuǎn)子偏心問題，建立了基于邊界攝動法的偏心解析模型，采用解析法計算出了偏心情況下的磁通密度，并使用有限元分析結(jié)果驗證其模型的有效性［6］。然而，更多的學者將研究重點集中在偏心故障的檢測之中。Cameron J R通過傳統(tǒng)的磁勢磁導解析法計算出了轉(zhuǎn)子偏心引起的氣隙磁密諧波，并證明這些磁密諧波將在定子繞組中感應出一定特征頻率的電流信號［7］。此外，還有一些文獻研究了靜偏心（SE）、動偏心（DE）以及混合偏心（ME）情況下其電流檢測特征值，以及偏心對電機的影響，并通過一系列實驗驗證檢測技術的有效性［8-12］。

筆者建立轉(zhuǎn)子氣隙偏心模型，并且考慮到開槽影響，為了準確計算偏心特征量的幅值，引入動態(tài)卡式系數(shù)理論，忽略飽和影響、假設線性磁路，應用解析計算的方法得到偏心特征量的幅值解析式，并通過有限元仿真，驗證理論的可靠性。

1 理論分析

1.1 轉(zhuǎn)子氣隙偏心建模

轉(zhuǎn)子發(fā)生偏心時，不管是靜偏心、動偏心還是混合偏心，其氣隙長度將發(fā)生變化。然而，由于電機定、轉(zhuǎn)子兩側(cè)都開槽，其氣隙將在原有氣隙的基礎上疊加由開槽引起的“附加氣隙”。如圖1所示，建立混合偏心情況下氣隙長度、定轉(zhuǎn)子幾何中心及旋轉(zhuǎn)中心坐標系。

圖1 偏心情況下定轉(zhuǎn)子及旋轉(zhuǎn)中心示意Figure 1 Position diagram of rotational center，rotor and stator geometric center under eccentricity

圖1中，Os為定子幾何中心；Or為轉(zhuǎn)子幾何中心；Oω為轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)中心；g為電機正常運行時的氣隙長度；δs，δd和δm分別為靜偏心度、動偏心度以及混合偏心度。ωr為轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)的角速度，其表達式為

式中 ω1為電源角頻率；p為電機極對數(shù)；s為轉(zhuǎn)差率。

由幾何關系可以得到圖1中的混合偏心度以及轉(zhuǎn)子幾何中心相對于定子幾何中心的角位置：

圖1中，假設P點為電機定子內(nèi)表面上任意一點，Rs，Rr分別為定子幾何中心和轉(zhuǎn)子幾何中心到P點的距離。由幾何關系可以得到氣隙長度表達式：

電機轉(zhuǎn)子發(fā)生靜偏心時候，其幾何中心與定子中心發(fā)生偏移，但其旋轉(zhuǎn)中心仍然與定子幾何中心相重合。電機轉(zhuǎn)子發(fā)生動偏心時候，其幾何中心與定子中心發(fā)生偏移，但其旋轉(zhuǎn)中心變?yōu)檗D(zhuǎn)子自身中心。然而，電機發(fā)生混合偏心時候，其轉(zhuǎn)子幾何中心與定子幾何中心發(fā)生偏移，并且產(chǎn)生一個既不是定子幾何中心，又不是轉(zhuǎn)子幾何中心的新的旋轉(zhuǎn)中心。因此，電機在純靜態(tài)偏心和純動態(tài)偏心時候其氣隙長度表達式分別為

式（5）為靜偏心下氣隙長度分布函數(shù)，而式（6）為動偏心下氣隙長度分布函數(shù)。從式（5）、（6）中可以看出，轉(zhuǎn)子靜態(tài)偏心時候，其氣隙長度將偏向某一位置，然后按圓周方向呈余弦分布。然而，轉(zhuǎn)子發(fā)生動態(tài)偏心時候，氣隙長度將是一個隨著時間和空間同時變化的二維時空函數(shù)。在解析法計算氣隙磁密時，筆者應用傳統(tǒng)的磁勢乘以磁導的方法求取電機氣隙磁密表達式。氣隙磁導可以表示為

將式（5）、（6）分別代入式（7）中，得到靜偏心和動偏心情況下的氣隙磁導表達式：

將式（8）、（9）展成傅里葉級數(shù)形式［13］，得到

為尋求在靜偏心以及動偏心情況下氣隙長度的分布規(guī)律，由式（5）、（6）可以作出在不同靜偏心下氣隙長度隨定子位置的分布曲線，以及在動偏心下氣隙長度的時空分布圖，如圖2所示，可以看出，轉(zhuǎn)子靜偏心情況下，轉(zhuǎn)子向某一位置發(fā)展偏移，氣隙長度按定子圓周角位置展開后保持不變，不隨時間變化，因此，靜偏心時候，氣隙長度變化是有傾向性的。而轉(zhuǎn)子發(fā)生動偏心時，其氣隙長度將隨著時間和空間的變化而變化，各位置經(jīng)過一段時間后，其總的平均氣隙長度均等，因此，動偏心時氣隙長度變化不具有傾向性。

圖2 偏心情況下氣隙長度分布情況Figure 2 Distribution condition of air-gap length under eccentricity

1.2 偏心情況下的動態(tài)卡式系數(shù)

以上分析在轉(zhuǎn)子偏心情況下的氣隙長度以及氣隙磁導的變化函數(shù)是假設定轉(zhuǎn)子表面都光滑的情況下而得到的。而實際電機中，一般情況下，定、轉(zhuǎn)子兩側(cè)都將開槽。現(xiàn)先考慮電機不偏心情況下定、轉(zhuǎn)子開槽對氣隙磁密的變化情況。如圖3中所示，假設不開槽時，電機氣隙中的磁密幅值為Bmax，開槽后使得氣隙中產(chǎn)生一個附加氣隙，故磁密幅值將降低，變?yōu)锽min，同時，沿著一個槽距td內(nèi)的平均氣隙磁密降為Bav。對于這種現(xiàn)象，文獻［14］引入了卡式系數(shù)kc，用來描述因開槽引起的氣隙磁密的變化。假設定子開槽，轉(zhuǎn)子光滑時，由定子開槽引起的卡式系數(shù)為

從圖3中看出，齒邊緣處的邊緣效應非常顯著，其邊緣效應作用延續(xù)到了槽中心，因此，可知卡式系數(shù)與槽深無關?？ㄌ亟?jīng)過保角變換導出了卡式系數(shù)的表達式［15］：

對于定子光滑、轉(zhuǎn)子開槽的情況應將式（13）、（14）中的參數(shù)換成相應轉(zhuǎn)子側(cè)的參數(shù)。因此，考慮定、轉(zhuǎn)子兩邊同時開槽的卡式系數(shù)可以表示為

圖3 一個槽下的氣隙磁密分布示意Figure 3 Distribution diagram of flux density under a slot

該文中涉及的干式潛水電機由于其定子為開口槽，轉(zhuǎn)子為閉口槽，按式（13）、（14）計算時，閉口槽卡式系數(shù)等于0，因此，總的卡式系數(shù)就等于有定子開槽引起的卡式系數(shù)kcs。在偏心情況下，電機氣隙長度發(fā)生變化，而卡式系數(shù)表達式與氣隙長度有關，故筆者提出“動態(tài)卡式系數(shù)理論”，用以描述在偏心情況下各個槽口的卡式系數(shù)分布情況。靜偏心時，取槽中心線處對應的偏心氣隙長度作為計算動態(tài)卡式系數(shù)的氣隙長度，則

式中 k1為槽號；Z1為定子槽數(shù)。比較式（5）與式（16）可以看出，由于靜偏心時轉(zhuǎn)子偏向某一位置，因此，槽中心線處的氣隙長度與靜偏心下氣隙長度具有相同的分布狀況，如圖4所示，可作出靜偏心情況下不同槽口的卡式系數(shù)分布圖。

圖4 靜偏心情況下不同槽口卡式系數(shù)分布示意Figure 4 Distribution diagram of cater factor at different slots under static eccentrictiy

同理，在動態(tài)偏心時，槽中心線處對應的偏心氣隙長度作為計算動態(tài)卡式系數(shù)的氣隙長度則有

根據(jù)式（17），同樣能夠作出動偏心情況下的不同槽口時空分布的卡式系數(shù)圖，如圖5所示，可知卡式系數(shù)與氣隙長度具有相同的分布規(guī)律。因此，為考慮開槽對氣隙磁場的影響，對于式（10）、（11），都需要除以一個動態(tài)卡式系數(shù)。

圖5 動偏心情況下不同槽口卡式系數(shù)分布示意Figure 5 Distribution diagram of cater factor at different slots and time under dynamic eccentrictiy

2 偏心磁場特征量的分析與計算

感應電機三相對稱繞組通以三相對稱電流時，其氣隙合成磁場可以表示［16］為

式中 Fp，F(xiàn)v和Fμ分別表示主波磁勢幅值，定子繞組諧波磁勢以及轉(zhuǎn)子繞組諧波磁勢；φ0，φv和φμ分別為各部分初相角；v和μ分別代表定、轉(zhuǎn)子繞組諧波極對數(shù)，其中齒諧波引起的諧波幅值較大，可以表示為

式中 k1，k2都為非零整數(shù)。轉(zhuǎn)子μ次諧波相對于定子的角頻率為

應用傳統(tǒng)的磁勢磁導法，可以得到感應電機氣隙磁密的函數(shù)式，將式（10）中k取1，與式（18）相乘，可得到一系列諧波磁場，其中由靜偏心引入的諧波磁密為

觀察式（22）～（24），不難發(fā)現(xiàn)，轉(zhuǎn)子靜偏心新引入的磁密諧波其頻率不變，而階次發(fā)生變化，因此，在分析有轉(zhuǎn)子靜偏心引入的諧波磁密時，需要通過對氣隙磁密按定子角位置作傅里葉分解，從而得到各次諧波磁密的幅值。正常情況下氣隙磁密幅值的分布狀況如圖6所示。

圖6為電機正常運行時按定子周向傅里葉分解得到的各次諧波磁密幅值，其中，1次基波和29，31次定子繞組引起的齒諧波具有較大的幅值。分析所用樣機為4極電機，定義基波即1次波為p對極波，因此，1，29，31次諧波分別對應2，58，62對極諧波。由理論分析可以知道，靜偏心引入的諧波為1，3，57，59，61和63對極的諧波，故應著重關注。筆者將采用有限元以及解析的方法計算引入的諧波磁密幅值，在應用解析法計算時，假設：忽略飽和對磁路的影響；磁路為線性。

通過假設，根據(jù)式（22）、（23）可計算出靜偏心引入的磁密幅值，并且對于其中的卡式系數(shù)，可以求取所有槽對應卡式系數(shù)的平均值，如表1所示。

圖6 正常運行時各次諧波磁密幅值Figure 6 Air-gap flux density harmonics of a health motor

表1 靜偏心下平均卡式系數(shù)Table 1 Average cater factor under different static eccentricity

在計算由靜偏心引入的諧波磁密時，為方便取57和61對極磁密分別進行有限元計算與解析計算。如圖7所示，可以看出，解析計算和有限元計算結(jié)果基本一致。在偏心度為0時，有限元計算仍有結(jié)果是因為在有限元計算中考慮了飽和效應，而解析計算是不考慮飽和效應的，因此，兩者在偏心度為0時有較大差異。

按照同樣的方法可以求取動偏心引入的磁密特征量：

圖7 靜偏心氣隙磁密主要諧波計算值Figure 7 Calculation results of air-gap flux density harmonics under static eccentricity

表2 動偏心下平均卡式系數(shù)Table 2 Average cater factor under different dynamic eccentricity

從式（25）～（27）可以看出，當轉(zhuǎn)子發(fā)生靜偏心時，將引入新的特征頻率的諧波磁密，其特征頻率為ω1±ωr和ωμ±ωr。在動偏心狀態(tài)下，實際上各槽的卡式系數(shù)隨時間變化結(jié)果一致，因此，可取某一槽的卡式系數(shù)隨時間變化的結(jié)果求平均值，從而求得動偏心下的平均卡式系數(shù)，如表2所示。動偏心引入的諧波磁密如圖8所示，25.5和74.5 Hz分別為式（25）、（26）所反映的磁密諧波，這2個諧波是由不同階次的磁密諧波相互疊加而成，因此，采用一維傅里葉分解難以區(qū)別，一般采用二維傅里葉分解來計算。為了簡化計算僅分析由式（27）引入的1 227.5Hz諧波。提取圖8中的特征頻率并計算其不同偏心度下的幅值，如圖9所示，可以看出，動偏心引入的諧波磁密幅值非常小，遠小于靜偏心引入的諧波磁密幅值。因此，可以在靜偏心定量計算時重點研究偏心特征量的定量計算。

圖8 動偏心磁密特征量Figure 8 Characteristic parameters of flux density under dynamic eccentricity

圖9 動偏心氣隙磁密主要諧波計算值Figure 9 Calculation results of air-gap flux density harmonics under dynamic eccentricity

3 結(jié)語

筆者建立了精確的復雜氣隙偏心模型，為研究開槽對氣隙磁密的影響，引入了動態(tài)卡式系數(shù)理論，采用解析法與有限元相結(jié)合的方法，分析了動偏心與靜偏心引入的偏心特征磁密，并結(jié)合動態(tài)卡式系數(shù)理論定量計算了特征磁密幅值。分析表明，靜偏心情況下由于氣隙長度不旋轉(zhuǎn)，具有傾向性，其引入的磁密諧波幅值較大，便于作為檢測信號用來檢測。而動偏心情況下，由于氣隙長度始終旋轉(zhuǎn)，因此對各個位置影響是均勻的，其引入的諧波磁密幅值較小，不便于定量檢測。該文為今后偏心的定量檢測奠定了一定的基礎。

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