灰度理論與二次規(guī)劃算法組合模型對(duì)LEFP的幾何優(yōu)化

劉 杰，杜忠華，劉榮忠，董玉財(cái)

（南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇南京210094）

引 言

針對(duì)爆炸成型彈丸（EFP）結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化，研究人員從不同角度提出了相應(yīng)的優(yōu)化方法［1－2］。Fisher等［3－4］運(yùn)用Kalman濾波對(duì)EFP 進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化，這種濾波算法僅實(shí)現(xiàn)迭代循環(huán)，其突出的濾波性特點(diǎn)卻表現(xiàn)不明顯，因此使得Kalman 算法在針對(duì)EFP結(jié)構(gòu)優(yōu)化時(shí)可實(shí)施性較差；江后滿等［5］利用變尺度非線性優(yōu)化方法實(shí)現(xiàn)了對(duì)爆炸成形彈丸的優(yōu)化，該方法簡(jiǎn)潔有效，但是單一建立的最小二乘算法得到的只是整體最優(yōu)解，不能保證每個(gè)參考變量最優(yōu)；張先鋒等［6－7］利用灰度理論系統(tǒng)并結(jié)合數(shù)值模擬對(duì)每個(gè)影響戰(zhàn)斗部因素子序列進(jìn)行了灰關(guān)聯(lián)計(jì)算，可方便得到每個(gè)子序列對(duì)聚能裝藥戰(zhàn)斗部的權(quán)重，但后期EFP結(jié)構(gòu)直觀性較差，不利于準(zhǔn)確計(jì)算EFP優(yōu)化結(jié)構(gòu)幾何特征。因此將灰度理論和非線性優(yōu)化兩種優(yōu)化方法的優(yōu)點(diǎn)結(jié)合，用于對(duì)LEFP 幾何結(jié)構(gòu)優(yōu)化具有重要意義。

本研究基于灰度理論，利用其對(duì)數(shù)組量小但關(guān)聯(lián)分析強(qiáng)的處理能力，對(duì)線性裝藥的每個(gè)組件進(jìn)行權(quán)重計(jì)算，然后利用二次規(guī)劃方法構(gòu)建了包含每個(gè)組件對(duì)LEFP 權(quán)重的目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)而得到針對(duì)LEFP結(jié)構(gòu)優(yōu)化的灰度理論與二次優(yōu)化組合模型，最后以某小型幾何特征線性裝藥優(yōu)化為例，給出整個(gè)優(yōu)化方法的過程。

1 線性裝藥及模型序號(hào)

定義線性裝藥為裝配體，簡(jiǎn)化為由藥型罩、外殼、炸藥3個(gè)組件組成，如圖1所示。

由于每個(gè)組件包含各自的幾何結(jié)構(gòu)特征，而不同的幾何特征對(duì)LEFP 的權(quán)重不同，故幾何特征可作為灰度系統(tǒng)的子序列，分別是藥型罩直徑R，藥型罩厚度t，Γ＊面內(nèi)藥型罩長(zhǎng)度L，Γ＊面內(nèi)藥型罩大徑R＊，炸藥高度H，炸藥寬度Dk以及外殼厚度a，依次標(biāo)記為1～7。LEFP觀測(cè)參數(shù)選用LEFP的頭部速度Vtip、LEFP尾部速度Vtail、LEFP頭部長(zhǎng)度L1以及直徑D 來描述，依次標(biāo)記為Y1～Y4。將子序列進(jìn)行梳理、正交選取，得到18個(gè)模型，列于表1。

圖1 線性裝藥示意圖Fig．1 Sketch of the linear shaped charges

表1 線性裝藥參數(shù)與模型序號(hào)Table 1 The parameters and model numbers of linear sharped charges

2 優(yōu)化過程

圖2為整個(gè)優(yōu)化過程的流程圖。

根據(jù)預(yù)期LEFP要求，視線性裝藥為裝配體，包括藥型罩、外殼、炸藥3個(gè)組件。對(duì)每個(gè)組件的結(jié)構(gòu)幾何特征進(jìn)行匯總，作為灰度理論系統(tǒng)的子序列，通過對(duì)子序列進(jìn)行正交選取，將得到的計(jì)算結(jié)果列表。

利用灰度系統(tǒng)理論，得到每個(gè)子序列與LEFP觀測(cè)值的關(guān)聯(lián)系數(shù)；同時(shí)，計(jì)算分辨系數(shù)時(shí)從統(tǒng)計(jì)角度對(duì)灰關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣的元素實(shí)行歸一化處理，得到每個(gè)組件對(duì)LEFP的貢獻(xiàn)值，即權(quán)重。

對(duì)整個(gè)LEFP系統(tǒng)構(gòu)造了一個(gè)包含二重分辨系數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，將第（2）步所得到的權(quán)重帶入二次序列優(yōu)化目標(biāo)方程，實(shí)現(xiàn)對(duì)藥型罩、外殼、炸藥的同步優(yōu)化。

2．1 灰度理論

對(duì)于一個(gè)參考數(shù)列y1，y2……yj，存在多個(gè)比較數(shù)列x1，x2，……，xi作用，式（1）［6］表示比較數(shù)列曲線與參考數(shù)列曲線在各點(diǎn)或各個(gè)時(shí)刻的差值。

圖2 LEFP優(yōu)化過程流程圖Fig．2 Flowchart of optimizing process of LEFP

式中：εi（k）為第k個(gè)點(diǎn)或第k個(gè)時(shí)刻比較數(shù)列曲線xi與參考數(shù)列曲線x0的相對(duì)差值，稱為xi對(duì)x0在k時(shí)刻的關(guān)聯(lián)系數(shù)；ξ為分辨系數(shù)，取值在0～1間，一般為0．5；稱為兩級(jí)最小差值。第一級(jí)最小差值是對(duì)k而言，根據(jù)k 選最小者；第二級(jí)最小差值是對(duì)i而言，根據(jù)i選最小者。稱為兩級(jí)最大差值，根據(jù)k選最大差值，然后根據(jù)i選最大差值?；谊P(guān)聯(lián)系數(shù)的分步計(jì)算按式（2）［7］：

2．2 折算等效關(guān)聯(lián)系數(shù)

分別選取藥型罩、炸藥和外殼的幾何特征，建立各自的分析表格，按照灰關(guān)聯(lián)理論計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù)，分別得到其相應(yīng)的關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣。同時(shí)，定義ai0為xi0與Y1的關(guān)聯(lián)系數(shù)，記；定義∑D 為成型裝藥一個(gè)組件的所有幾何特征對(duì)LEFP成型特征的關(guān)聯(lián)系數(shù)總和，記為R＝∑D。定義判斷LEFP成型是否良好的4個(gè)參考特征Y1～Y4關(guān)注度分別是ζ1～ζ4，其中。根據(jù)R 與ζj的定義，ζj與R 的關(guān)系為：

定義Ki（i＝1，2，3）分別為藥型罩、炸藥、外殼各自對(duì)理想LEFP所有參考特征的貢獻(xiàn)測(cè)度，則Ki，其含義即為成型裝藥的一個(gè)組件的所有設(shè)計(jì)特征對(duì)理想LEFP所有參考特征的關(guān)聯(lián)系數(shù)總和。

同樣地，定義：

其含義即為成型裝藥各個(gè)組件對(duì)LEFP成型的整體貢獻(xiàn)測(cè)度。之后利用這個(gè)值，并結(jié)合變尺度二次規(guī)劃算法來優(yōu)化LEFP組件的設(shè)計(jì)參數(shù)。分別建立藥型罩、炸藥和外殼的影響幾何特征分析表格，見表2～表4。

表2 藥型罩折算關(guān)聯(lián)表Table 2 Conversion and relation table of liner

表3 炸藥折算關(guān)聯(lián)表Table 3 Conversion and relation table of explosive

表4 外殼折算關(guān)聯(lián)表Table 4 Conversion and relation table of case

2．3 線性裝藥幾何結(jié)構(gòu)

分別對(duì)藥型罩、炸藥和外殼3個(gè)組件進(jìn)行幾何建模。通過藥型罩示意圖（見圖4），確定線性裝藥幾何結(jié)構(gòu)特征所在的位置，即在截面Γ＊和截面Γ兩個(gè)正交面內(nèi)。

圖4 兩個(gè)方向弧度藥型罩示意圖Fig．4 Sketch of two radian liner

2．3．1 截面Γ 中藥型罩及炸藥幾何形狀

在炸藥寬度方向的橫截面Γ 上，以炸藥頂點(diǎn)O1為坐標(biāo)基點(diǎn)，如圖5所示。為保證曲線精度和加工精度，取兩次曲面擬合藥型罩的形狀。

圖5 炸藥寬度方向橫截面示意圖Fig．5 Sketch of intersecting surface in explosive width

截面Γ 中藥型罩拉伸母線幾何模型描述表達(dá)式為：

截面Γ 中藥型罩的幾何約束為：

式中：t1（x）為藥型罩最小厚度；y00是坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)值，即y00＝0；y1（Dk）－y00≤H。

截面Γ 中炸藥頂層的幾何模型為：

截面Γ 中炸藥形狀約束為：

2．3．2 截面Γ＊中藥型罩幾何模型

圖6為在裝藥長(zhǎng)度方向的橫截面Γ＊，以裝藥頂點(diǎn)O2為坐標(biāo)基點(diǎn)，同樣取兩次曲面擬合藥型罩的形狀。

圖6 裝藥長(zhǎng)度方向橫截面示意圖Fig．6 Sketch of intersecting surface in explosive length

根據(jù)圖6所示截面Γ＊中藥型罩幾何模型為：

截面Γ＊中藥型罩的幾何約束為：

截面Γ＊中炸藥頂層幾何模型為：

截面Γ＊中炸藥形狀約束為：

式中：t1（x）為藥型罩最小厚度；y＊00是坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)值，即y＊00＝0；y＊1（L）－y＊00≤H。

2．3．3 外殼幾何模型約束

外殼形狀可以理解為對(duì)炸藥的均勻包裹，其厚度為m，根據(jù)一般理論決定m 的約束為：

m0≤m≤m1

2．4 建立目標(biāo)函數(shù)

建立如下帶二重分辨系數(shù)的最小二乘形式的目標(biāo)函數(shù)，見式（11）：

式中：X 為設(shè)計(jì)變量

式中：fj（X）（j＝1，2，3，4）為數(shù)值模擬得到的LEFP形狀中某個(gè)參考變量的值；Qj為理想LEFP中對(duì)應(yīng)該參考變量的值；pi為各個(gè)組件組元對(duì)成型效果的貢獻(xiàn)測(cè)度；Rj為第i個(gè)組件組元的所有設(shè)計(jì)變量對(duì)第j個(gè)參考變量的貢獻(xiàn)測(cè)度。

3 優(yōu)化算例及分析

利用ki（i＝3）得到藥型罩、炸藥和外殼厚度對(duì)LEFP成型的貢獻(xiàn)測(cè)度p1、p2、p3，稱為L(zhǎng)EFP 系統(tǒng)優(yōu)化方程的第一重分辨系數(shù)。所以LEFP系統(tǒng)的綜合優(yōu)化方程為：

通過添加邊界條件后，經(jīng)過程序運(yùn)行，得到LEFP幾何約束范圍內(nèi)的最佳設(shè)計(jì)幾何特征組合，見表5；數(shù)值計(jì)算結(jié)果見表6。

表5 線性裝藥幾何特征最佳設(shè)計(jì)Table 5 The optimum design of geometric features of linear sharped charges

表6 LEFP數(shù)值計(jì)算結(jié)果Table 6 Numerical simulation result of LEFP

由表6可看出，LEFP的頭尾速度顯著提高，且比較接近，因此使得速度梯度縮小，能夠保證形成的LEFP 形體穩(wěn)定，在飛行較遠(yuǎn)距離時(shí)不會(huì)拉斷。然而，由于目標(biāo)函數(shù)為綜合每個(gè)子序列權(quán)重的最小二乘函數(shù)，所以每個(gè)尺寸相互牽制，進(jìn)而只能通過前期灰度理論來分析和表現(xiàn)。另外，根據(jù)得到的藥型罩、炸藥以及外殼關(guān)聯(lián)系數(shù)，藥型罩的幾何形狀尺寸對(duì)LEFP成型影響更為明顯，同時(shí)，在藥型罩尺寸中，藥型罩直徑R 和厚度t尤為突出，即對(duì)頭部速度的比較序列關(guān)聯(lián)度系數(shù)大小關(guān)系為：R＞t＞a＞H。同樣可對(duì)尾部速度、LEFP 長(zhǎng)徑比進(jìn)行序列關(guān)聯(lián)度系數(shù)比較。應(yīng)用灰度理論與二次規(guī)劃算法組合模型對(duì)LEFP戰(zhàn)斗部裝藥結(jié)構(gòu)及藥型罩進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，結(jié)果見圖7。

圖7 數(shù)值計(jì)算LEFP成型結(jié)果Fig．7 Figure result of LEFP by numerical simulation

由圖7可看出，LEFP 的外輪廓線近似符合預(yù)期形狀曲線，這是因?yàn)樵诿枋鏊幮驼掷烀婺妇€時(shí)，選用在圓弧面的基礎(chǔ)上加兩階多項(xiàng)式修正的函數(shù)形式，因此，修正項(xiàng)的階次越高，越能更精確地描述拉伸面母線，實(shí)際設(shè)計(jì)時(shí)，對(duì)階次的選擇一般視設(shè)計(jì)結(jié)果而定［5］。

4 結(jié) 論

（1）從結(jié)構(gòu)幾何特征優(yōu)化角度對(duì)LEFP 的幾何特征實(shí)現(xiàn)優(yōu)化，將成型裝藥看成一個(gè)由3個(gè)部分組成的系統(tǒng)裝置，優(yōu)化時(shí)同時(shí)全部考慮3個(gè)組件包含每個(gè)尺寸以及變尺度產(chǎn)生的優(yōu)化效果。

（2）提出了灰度理論與二次規(guī)劃算法組合模型和折算等效關(guān)聯(lián)系數(shù)概念，沒有直接將灰關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣的元作為分辨系數(shù)，在計(jì)算分辨系數(shù)時(shí)從統(tǒng)計(jì)角度對(duì)灰關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣的元素實(shí)行嚴(yán)格地歸一化處理，獲得了較為簡(jiǎn)潔的計(jì)算模型。

（3）結(jié)合灰度系統(tǒng)中灰關(guān)聯(lián)系數(shù)理論，通過幾何建模，運(yùn)用變尺度二次規(guī)劃算法對(duì)在兩個(gè)正交截面內(nèi)均有尺度變化的藥型罩優(yōu)化。對(duì)整個(gè)LEFP系統(tǒng)構(gòu)造了一個(gè)包含二重分辨系數(shù)的優(yōu)化函數(shù)，實(shí)現(xiàn)對(duì)藥型罩、外殼、裝藥的同步優(yōu)化，避免只對(duì)藥型罩、外殼、裝藥單獨(dú)優(yōu)化并直接組合優(yōu)化結(jié)果產(chǎn)生的系統(tǒng)耦合誤差。也避免了分步優(yōu)化造成的最優(yōu)幾何特征組合的遺漏。

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