測量平差中必要觀測數(shù)的研究

胡圣武，關(guān)勝況

（1.河南理工大學(xué) 測繪學(xué)院，河南 焦作 454000）

測量平差中必要觀測數(shù)的研究

胡圣武1，關(guān)勝況1

（1.河南理工大學(xué) 測繪學(xué)院，河南 焦作 454000）

測量平差中必要觀測數(shù)決定了平差結(jié)果的正確性和條件方程的個(gè)數(shù)。通過長期的教學(xué)發(fā)現(xiàn)，正確決定必要觀測數(shù)仍是一個(gè)比較困難的問題，特別是隨著GPS網(wǎng)平差和坐標(biāo)值平差的到來，必要觀測數(shù)的確定越來越困難。就必要觀測數(shù)在平差中的作用進(jìn)行了系統(tǒng)總結(jié)和分析，就水準(zhǔn)網(wǎng)、平面控制網(wǎng)、坐標(biāo)值平差和GPS網(wǎng)的必要觀測數(shù)的確定進(jìn)行了系統(tǒng)分析和研究。

必要觀測數(shù)；水準(zhǔn)網(wǎng)；平面控制網(wǎng)；GPS網(wǎng)；坐標(biāo)值

1 必要觀測數(shù)在平差中的作用

在測量平差中，無論采用何種平差模型都要先確定必要觀測數(shù)，如果必要觀測數(shù)不準(zhǔn)確，平差就不可能有正確的結(jié)果。

1）必要觀測數(shù)決定平差模型的自由度。設(shè)必要觀測數(shù)為 t，觀測數(shù)為n ，則不管采用何種平差，其自由度r 為：r=n-t ?？芍灰^測數(shù)不變，則r 不變。

2）必要觀測數(shù)確定條件方程的個(gè)數(shù)。如果不選參數(shù)，則列立的方程個(gè)數(shù)為： c=r=n-t；如果選 u個(gè)參數(shù)，且參數(shù)獨(dú)立，則列立方程個(gè)數(shù)為：c=r+u=n-t+u ；如果所選u 個(gè)參數(shù)中，有 s個(gè)不獨(dú)立參數(shù)，則列立方程個(gè)數(shù)為：c=r+u-s=n-t+u-s 。由此可知，必要觀測數(shù)決定條件方程個(gè)數(shù)：若必要觀測數(shù)太少，則條件方程數(shù)太多，所列立的方程之間不獨(dú)立；若必要觀測數(shù)太多，條件方程數(shù)太少，則列立方程數(shù)不足，影響平差結(jié)果。

3）必要觀測數(shù)確定采用平差模型的種類。平差模型的確定實(shí)際上是由所選參數(shù)個(gè)數(shù)和必要觀測數(shù)確定的。設(shè)所選參數(shù)為u 個(gè)，且參數(shù)獨(dú)立，有3種情況：u=0 ，則選用條件平差； u

設(shè)所選參數(shù)為 u個(gè)，且不獨(dú)立參數(shù)為s 個(gè)，則有2種情況：u-s

2 水準(zhǔn)網(wǎng)必要觀測數(shù)的確定

對于水準(zhǔn)網(wǎng)必要觀測數(shù)的確定比較簡單，主要分為3種情況：①如果有已知水準(zhǔn)點(diǎn)，則必要觀測數(shù)就等于未知點(diǎn)的個(gè)數(shù)。②如果沒有已知水準(zhǔn)點(diǎn)，則必要觀測數(shù)就等于點(diǎn)數(shù)減1。③對于水準(zhǔn)網(wǎng)而言，有“兩點(diǎn)之間的高差是已知的”等特殊情況，在這種情況下，必要觀測個(gè)數(shù)要減去已知值的個(gè)數(shù)。

如圖1所示， A為已知點(diǎn)，B、C、D、E 為未知點(diǎn)，已知B、E 兩點(diǎn)之間高差ΔhBE=1.000 m ，求必要觀測數(shù)t 。

由于 n=5，有已知點(diǎn)，如果沒有已知B、E 兩點(diǎn)之間高差，則t=4 ，必要觀測數(shù)t=4-1=3 。

圖1 水準(zhǔn)網(wǎng)示意圖

3 平面控制網(wǎng)必要觀測數(shù)的確定

3.1 測角網(wǎng)

1）有2個(gè)已知點(diǎn)的測角網(wǎng)。對于這種情況，各種誤差處理與測量平差教材都說得很清楚，必要觀測數(shù)t=2p，p 為未知點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

2）有一個(gè)已知點(diǎn)或沒有已知點(diǎn)的測角網(wǎng)。對于測角網(wǎng)而言，如果要進(jìn)行平差則必須要有2個(gè)已知點(diǎn)，若不夠，則需要把未知點(diǎn)假設(shè)成已知點(diǎn)。因此，對于一個(gè)已知點(diǎn)的情況， t=2（p-1)，沒有已知點(diǎn)，則t=2（p-2）。

3）特殊情況。測角網(wǎng)會出現(xiàn)這些情況：已知2點(diǎn)之間的距離、已知2點(diǎn)之間的方位角或兩線垂直等。判斷其必要觀測數(shù)的步驟如下：統(tǒng)計(jì)出已知值的個(gè)數(shù)，設(shè)為m ；判斷出該平面網(wǎng)的已知點(diǎn)，然后根據(jù)已知點(diǎn)的情況，判斷出必要觀測數(shù)t1；該平面控制網(wǎng)的必要觀測數(shù) t 為 ：t=t1-m 。

如圖2所示，觀測了12個(gè)角，已知 p1、p2兩點(diǎn)之間的方位角為 α~1，p4、p5兩點(diǎn)之間方位角為 α~2，求其必要觀測數(shù)。已知值的個(gè)數(shù)m=2 ；由于沒有已知點(diǎn)，則 t1=（5-2）×2=6 ；必要觀測數(shù) t 為 ：t=t1-2=4 。

圖2 測角網(wǎng)示意圖

3.2 邊角網(wǎng)和測邊網(wǎng)

邊角網(wǎng)和測邊網(wǎng)與測角網(wǎng)不同的是邊都要進(jìn)行測量。對于有2個(gè)已知點(diǎn)的測邊網(wǎng)和邊角網(wǎng)的必要觀測數(shù)與測角網(wǎng)一樣。沒有已知點(diǎn)或只有一個(gè)已知點(diǎn)的情況與測角網(wǎng)不一樣。

1）有2個(gè)已知點(diǎn)的邊角網(wǎng)與測邊網(wǎng)。這種情況下其必要觀測數(shù)等于2倍未知點(diǎn)個(gè)數(shù)。

2）沒有已知點(diǎn)或只有一個(gè)已知點(diǎn)的邊角網(wǎng)和測邊網(wǎng)。該情況與測角網(wǎng)一樣，也要假設(shè)一個(gè)已知點(diǎn)或2個(gè)已知點(diǎn)，只不過是假設(shè)點(diǎn)所測的邊要作為必要觀測值，則已知一個(gè)點(diǎn)的必要觀測數(shù)為t =2（p-1）+1 ，沒有已知點(diǎn)的必要觀測數(shù)為t=2（p-2）+1，其中p 為未知點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

3）特殊情況。測邊網(wǎng)或邊角網(wǎng)有時(shí)會出現(xiàn)一些已知值，如兩條線之間成直角、已知某條邊的方位角等，判斷其必要觀測數(shù)的步驟如下：統(tǒng)計(jì)出已知值的個(gè)數(shù)，設(shè)為m ；根據(jù)其已知點(diǎn)的個(gè)數(shù)，確定其必要觀測數(shù) ；必要觀測數(shù)為：t=t2-m 。

如圖3所示，由于沒有已知條件，也沒有已知點(diǎn)，則必要觀測數(shù)t=2（5-2）+1=6+1=7。直角三角形ABC ，測了2條邊和1個(gè)角，是一個(gè)簡單的三角網(wǎng)，有一個(gè)已知條件，即∠ABC=90°，沒有已知點(diǎn)，則t2=2（3-2）+1=3。由于有一個(gè)已知值，所以該三角形測角網(wǎng)的必要觀測數(shù)為：t=t2-1=3-1=2 （見圖4）。

圖3 測邊網(wǎng)示意圖

圖4 直角三角形ABC示意圖

4 坐標(biāo)值平差必要觀測數(shù)的確定

4.1 必要觀測數(shù)的確定

一般而言，對于坐標(biāo)值平差，有u 個(gè)點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)有一對坐標(biāo)（x，y） ，則其觀測數(shù)就是n=2u ，必要觀測數(shù)根據(jù)確定平面一個(gè)點(diǎn)需要2個(gè)條件，則t=2u ，因此 n=t無法進(jìn)行平差，所以沒有已知值的坐標(biāo)值是無法進(jìn)行平差的。

一般而言，在坐標(biāo)值平差中有兩直線所成的角度、兩線平行、圖形的已知面積、兩點(diǎn)之間的已知距離等已知值。確定其必要觀測數(shù)的步驟如下：統(tǒng)計(jì)出已知值的個(gè)數(shù)，設(shè)為 m；計(jì)算點(diǎn)數(shù)設(shè)為u ，則計(jì)算出t3=2u；必要觀測數(shù)為：t=t3-m 。

4.2 實(shí)例分析

圖5是對一直角房屋進(jìn)行數(shù)字化，有6個(gè)點(diǎn)，12個(gè)坐標(biāo)值，求其必要觀測數(shù)。

解：1）由于是直角房屋，在圖5中有5個(gè)直角和1個(gè)270° ，應(yīng)該說是有6個(gè)已知值，但由于是多邊形，確定了5個(gè)角的值，第6角的值就確定了，所以，在本圖中只能算5個(gè)已知值，m=5；

2）由于有6個(gè)點(diǎn)，所以t3=2×6=12 ；

3）必要觀測數(shù)為：t=t3-m=12-5=7 。

圖5 直角房屋示意圖

圖6 矩形房屋線劃圖

圖6中數(shù)字化了3個(gè)點(diǎn)P1、P2、P3，已知P1P3和P1P2的長度，且P1P3與P1P2保持垂直，求其必要觀測數(shù)。由于有3個(gè)已知值，則m=3 ；由于有3個(gè)點(diǎn)，則t3=2×3=6；必要觀測數(shù)為：t=t3-m=6-3=3。

5 GPS網(wǎng)必要觀測數(shù)的確定

GPS網(wǎng)可分為有已知點(diǎn)和沒有已知點(diǎn)2種情況。

5.1 有已知點(diǎn)

有已知點(diǎn)情況下，其必要觀測數(shù)為未知點(diǎn)數(shù)的3倍。

如圖7所示，G01、G02 為已知點(diǎn)，有5條基線向量，G03、G04 兩個(gè)待求點(diǎn)，求其必要觀測數(shù)。由于有2個(gè)待求點(diǎn)，則必要觀測數(shù)：t=3×2=6。

5.2 無已知點(diǎn)

如果沒有已知點(diǎn)，則假設(shè)一個(gè)已知點(diǎn)，設(shè)待求點(diǎn)的個(gè)數(shù)為u ，則其必要觀測數(shù)為：t=3×（u-1） 。

如圖8所示，4個(gè)待求點(diǎn)，沒有已知點(diǎn)，觀測了6條基線向量 ，求其必要觀測數(shù)。由于沒有已知點(diǎn)，則其必要觀測數(shù)為：t=3×（u-1）=3×3=9。

圖7 有已知點(diǎn)GPS網(wǎng)示意圖

圖8 無已知點(diǎn)GPS網(wǎng)示意圖

6 結(jié) 語

本文就必要觀測數(shù)的確定進(jìn)行了系統(tǒng)研究，特別是對坐標(biāo)值平差、GPS網(wǎng)平差的必要觀測數(shù)的確定進(jìn)行了研究。需要注意以下問題：

1）雖然都是平面控制網(wǎng)，但坐標(biāo)值平差的必要觀測數(shù)的確定與測角網(wǎng)、測邊網(wǎng)和邊角網(wǎng)的必要觀測數(shù)的確定不一樣。

2）對于邊角網(wǎng)和測邊網(wǎng)，如果沒有已知點(diǎn)或只有一個(gè)已知點(diǎn)，一定要掌握其必要觀測數(shù)與測角網(wǎng)不一樣，要在測角網(wǎng)的基礎(chǔ)上加1。

3）GPS網(wǎng)是三維坐標(biāo)，確定一個(gè)點(diǎn)需要3個(gè)條件。

4）確定已知值的個(gè)數(shù)不能重復(fù)，特別是在坐標(biāo)值平差中。

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Research on Essential Observation Number of Surveying Adjustment

byHU Shengwu

Observation Number can decide correctness of adjustment outcome and number of condition equation. It is a commonplace talk of an old scholar of the problem how to define essential observation number, but correctly defi ning essential observation number is a diffi cult question from long-term teaching. Especial advent of GPS network adjustment and coordinate value adjustment,it is more and more diffi cult to defi ne essential observation number. The paper systematic and wholly researched the question, and laid the foundation promoting its application.

essential observation number,leveling network,horizontal control network,GPS network,coordinate value

P207

B

1672-4623（2014）02-0121-03

10.11709/j.issn.1672-4623.2014.02.043

2013-04-28。

項(xiàng)目來源：山東省基礎(chǔ)地理信息與數(shù)字化重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放研究基金資助項(xiàng)目(SD080707)。

胡圣武，博士，副教授，主要從事GIS基礎(chǔ)理論和圖像處理技術(shù)研究。