數(shù)形相映 激蕩思維

袁園

小學(xué)階段，無(wú)論是教材編排意圖還是教學(xué)目標(biāo)要求，需滲透、應(yīng)用、培養(yǎng)的數(shù)學(xué)思想方法有很多種，數(shù)形結(jié)合是其中重要的一種思想方法。簡(jiǎn)而言之，數(shù)形結(jié)合思想就是根據(jù)“數(shù)”與“形”之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想?！皵?shù)”與“形”是事物兩方面的屬性，“數(shù)”與“形”的結(jié)合，不僅是客觀事物的自然連接，更溝通了思維的聯(lián)結(jié)。“數(shù)”的抽象與“形”的直觀相結(jié)合，能把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)明化、具象化、生動(dòng)化。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，適時(shí)、有機(jī)地滲透和運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法，尤為必須且必要?，F(xiàn)結(jié)合個(gè)人的教學(xué)實(shí)踐，淺談在教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透。

一、數(shù)形結(jié)合，理解算理

計(jì)算教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。掌握正確的計(jì)算方法、準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算，是計(jì)算教學(xué)的基本目標(biāo)。加強(qiáng)計(jì)算題的練習(xí)強(qiáng)度則通常是教師的常用方法，而真正要提高學(xué)生的計(jì)算能力，算理的理解是基礎(chǔ)。不理解算理的計(jì)算，方法是機(jī)械的，記憶是暫時(shí)的，達(dá)不到計(jì)算思維的融會(huì)貫通，計(jì)算也就失去了靈活機(jī)智。因此，在計(jì)算教學(xué)中幫助學(xué)生理解算理，在理解算理的基礎(chǔ)上再加強(qiáng)訓(xùn)練，學(xué)生的計(jì)算能力才得以真正提高。算理往往是抽象的，如何讓學(xué)生理解算理？數(shù)形結(jié)合的方法很實(shí)用，不僅在小學(xué)低年段適用，同樣，高年段的學(xué)生也需要圖形的直觀幫助他們拓展思維，以形促思，以形助數(shù)，達(dá)到理解的目的。

在教學(xué)分?jǐn)?shù)除法（一），即“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”這節(jié)課時(shí)，對(duì)于■÷3的意義和計(jì)算方法，我要求學(xué)生利用畫圖的方法，將“數(shù)”的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)“形”的分析、思考。學(xué)生將一張長(zhǎng)方形的紙按豎著方向平均分成7份，其中四份用紅色彩筆涂滿，用以表示■。然后，將這張紙?jiān)侔礄M著方向平均分成3份，再用藍(lán)色彩筆涂出■的■。從圖上看出了■÷3以后得到的是■，■÷3其實(shí)就是求■的■是多少。很顯然，學(xué)生通過(guò)“折一折、涂一涂”的小操作，借助圖形語(yǔ)言，利用已學(xué)過(guò)的分?jǐn)?shù)乘法的意義，解決了有關(guān)分?jǐn)?shù)除法的問(wèn)題，從而理解了分?jǐn)?shù)除法的意義，并從中推斷出分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的計(jì)算方法。

本學(xué)年，我擔(dān)任六年級(jí)的數(shù)學(xué)教學(xué)，最近正在組織學(xué)生進(jìn)行總復(fù)習(xí)。復(fù)習(xí)內(nèi)容涵蓋小學(xué)六年的數(shù)學(xué)知識(shí)。在復(fù)習(xí)“數(shù)的運(yùn)算”一節(jié)時(shí)，對(duì)異分母的加減法，有個(gè)學(xué)生這樣分享他的學(xué)習(xí)感受：我記得當(dāng)時(shí)在學(xué)習(xí)這個(gè)內(nèi)容時(shí)，老師的課件做得很生動(dòng)，讓我們通過(guò)圖形的演示認(rèn)識(shí)到，分?jǐn)?shù)單位相同，分子才能相加減，所以異分母分?jǐn)?shù)相加減時(shí)要先通分，我記得很牢……可見，合適的圖形及圖形演繹對(duì)學(xué)生理解算理的重要性。

二、數(shù)形結(jié)合，明確概念

數(shù)學(xué)概念是人腦對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式，即一種數(shù)學(xué)的思維形式。在數(shù)學(xué)中，作為一般的思維形式的判斷與推理，常常以定理、法則、公式的方式表現(xiàn)出來(lái)，而數(shù)學(xué)概念則是構(gòu)成它們的基礎(chǔ)。正確理解并靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)概念，是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和運(yùn)算技能、發(fā)展邏輯論證和空間想象能力的前提。在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)概念很多，如果僅憑死記硬背，沒有對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解、把握，將影響知識(shí)的應(yīng)用與遷移。某些數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，需借助相應(yīng)的直觀圖形，反復(fù)讓學(xué)生感知，獲得體驗(yàn)，建立表象，進(jìn)而明確概念的內(nèi)涵，獲得拋卻具體圖形之外的純粹的數(shù)學(xué)概念的理解。

如“周長(zhǎng)”這一數(shù)學(xué)概念，是三年級(jí)上學(xué)期的知識(shí)。對(duì)三年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，“周長(zhǎng)”概念還是比較抽象的，如果不借助具體的圖形，讓學(xué)生經(jīng)歷由表象到抽象的思維過(guò)程，他們是很難明確概念的本質(zhì)意義的。我聽過(guò)一節(jié)課，上課老師先后用樹葉、課桌面、數(shù)學(xué)書封面、1元硬幣等具體物體，讓學(xué)生通過(guò)看、摸、繞、測(cè)，獲得感知，經(jīng)過(guò)思維的層層遞進(jìn)，完成對(duì)“周長(zhǎng)”概念的最終理解和明確。這其間，有一條思維的路徑，是具體的“形”在牽引，指向思維深處，最終又?jǐn)[脫“形”的束縛，建立純粹的數(shù)學(xué)概念，即有“見山是山”到“見山不是山”的意味。

三、數(shù)形結(jié)合，巧妙解題

“數(shù)”和“形”是客觀事物的兩種屬性，兩者之間有著必然的內(nèi)在聯(lián)系。在解題時(shí)，在數(shù)形結(jié)合、數(shù)形轉(zhuǎn)化之間，化抽象為具體，化復(fù)雜為簡(jiǎn)明，化無(wú)形為有形，往往能突破原有思維的局限性，迅速找到解題的關(guān)鍵點(diǎn)。在這一過(guò)程中，學(xué)生不僅體會(huì)并應(yīng)用到數(shù)形結(jié)合的思想，而且能深切感受到數(shù)學(xué)的奇妙，激發(fā)熱愛數(shù)學(xué)的情感，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。

在學(xué)習(xí)了“圓”這一單元后，學(xué)生在練習(xí)時(shí)遇到了這樣一道判斷題：邊長(zhǎng)是2厘米的正方形和直徑是2厘米的圓，圓的面積比較大。當(dāng)時(shí)我先讓學(xué)生講解判斷的方法。一位學(xué)生是這樣講解的：我算出了正方形的面積是2×2等于4平方厘米，圓的面積是3.14×（2÷2）2等于3.14平方厘米，所以這道題是錯(cuò)的。其他學(xué)生都認(rèn)可他的做法，這也是最常規(guī)的思路。這位學(xué)生講完后，一位叫小月的學(xué)生高高地舉起了手：“老師，我有不同的解法?！毙≡伦呱现v臺(tái)，拿起一根粉筆，在黑板上畫出了如圖1所示的圖形：“我畫得不標(biāo)準(zhǔn)，但是我相信大家能看得懂。這樣畫了之后，很容易就能得看出哪個(gè)圖形的面積大?！睌?shù)秒的安靜后，學(xué)生自發(fā)地報(bào)以熱烈的掌聲。“我看懂了！”“這樣畫一畫，很快就有了答案！”“這種方法很簡(jiǎn)便！”在同學(xué)們的肯定聲中，小月高興而又自豪地笑了。這種解題技巧其實(shí)就是數(shù)形結(jié)合的具體應(yīng)用。

■

圖1 圖2

后來(lái)我在教室的黑板一角開辟了一塊“趣味數(shù)學(xué)”園地，每周由學(xué)生出一道趣味數(shù)學(xué)題。這些題目都是學(xué)生在課外數(shù)學(xué)讀本或是網(wǎng)上找到的，題型新穎，既有趣味性，又有挑戰(zhàn)性，很受歡迎。有一次，一個(gè)學(xué)生出了這樣一道題：計(jì)算：“■+■+■+■+■=？”這位出題學(xué)生在題目旁邊注明：如果用常規(guī)方法來(lái)算，就不是趣味數(shù)學(xué)了。這道題引發(fā)了學(xué)生的極大興趣，下課時(shí)，常?？梢姷綆讉€(gè)學(xué)生圍在一起討論、爭(zhēng)辯。而不同于常規(guī)方法的解法，竟真的被學(xué)生找到了。學(xué)生小鴻在全班講解這道題的解法時(shí)說(shuō)：“這道題其實(shí)用通分的方法算很簡(jiǎn)單，但出題的同學(xué)說(shuō)了，不能用常規(guī)方法。我想了很久，發(fā)現(xiàn)這組分?jǐn)?shù)有特點(diǎn)，后面一個(gè)數(shù)是前面一個(gè)數(shù)的二分之一。有一次，我無(wú)意間畫了一個(gè)正方形，然后再把這個(gè)正方形平均分成兩份，突然我就有靈感了。上次小月把一道題的解法‘畫出來(lái)了，這道題，我也用‘畫的方法算出來(lái)了。同學(xué)們請(qǐng)看?！毙▲欀v完，在黑板上畫出了圖形（如圖2），寫出■+■+■+■+■=1-■=■。學(xué)生以一陣熱烈的掌聲對(duì)他的解法表示贊賞。

這兩個(gè)案例讓我想到了美國(guó)數(shù)學(xué)家斯蒂恩曾說(shuō)過(guò)的一句話：“如果一個(gè)特定的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形，那么思想就整體地把握了問(wèn)題，并創(chuàng)造性地思索解法?！睌?shù)形結(jié)合，讓思維在轉(zhuǎn)化之間獲得別有洞天的啟發(fā)、柳暗花明的喜悅，在巧妙解題的過(guò)程中感受數(shù)學(xué)的神奇。

數(shù)形結(jié)合不僅是重要的數(shù)學(xué)思想，也是常用的數(shù)學(xué)方法。“數(shù)缺形少直覺， 形少數(shù)難入微”。在教學(xué)實(shí)踐中，應(yīng)根據(jù)教材內(nèi)容、特點(diǎn)，找到數(shù)形結(jié)合的關(guān)鍵點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)貪B透、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法，提高教學(xué)效度，豐富學(xué)生感知，發(fā)展學(xué)生思維，促進(jìn)學(xué)生基本數(shù)學(xué)思想方法的形成。

（責(zé)編 金 鈴）endprint

小學(xué)階段，無(wú)論是教材編排意圖還是教學(xué)目標(biāo)要求，需滲透、應(yīng)用、培養(yǎng)的數(shù)學(xué)思想方法有很多種，數(shù)形結(jié)合是其中重要的一種思想方法。簡(jiǎn)而言之，數(shù)形結(jié)合思想就是根據(jù)“數(shù)”與“形”之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想?！皵?shù)”與“形”是事物兩方面的屬性，“數(shù)”與“形”的結(jié)合，不僅是客觀事物的自然連接，更溝通了思維的聯(lián)結(jié)?！皵?shù)”的抽象與“形”的直觀相結(jié)合，能把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)明化、具象化、生動(dòng)化。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，適時(shí)、有機(jī)地滲透和運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法，尤為必須且必要?，F(xiàn)結(jié)合個(gè)人的教學(xué)實(shí)踐，淺談在教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透。

一、數(shù)形結(jié)合，理解算理

計(jì)算教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。掌握正確的計(jì)算方法、準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算，是計(jì)算教學(xué)的基本目標(biāo)。加強(qiáng)計(jì)算題的練習(xí)強(qiáng)度則通常是教師的常用方法，而真正要提高學(xué)生的計(jì)算能力，算理的理解是基礎(chǔ)。不理解算理的計(jì)算，方法是機(jī)械的，記憶是暫時(shí)的，達(dá)不到計(jì)算思維的融會(huì)貫通，計(jì)算也就失去了靈活機(jī)智。因此，在計(jì)算教學(xué)中幫助學(xué)生理解算理，在理解算理的基礎(chǔ)上再加強(qiáng)訓(xùn)練，學(xué)生的計(jì)算能力才得以真正提高。算理往往是抽象的，如何讓學(xué)生理解算理？數(shù)形結(jié)合的方法很實(shí)用，不僅在小學(xué)低年段適用，同樣，高年段的學(xué)生也需要圖形的直觀幫助他們拓展思維，以形促思，以形助數(shù)，達(dá)到理解的目的。

在教學(xué)分?jǐn)?shù)除法（一），即“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”這節(jié)課時(shí)，對(duì)于■÷3的意義和計(jì)算方法，我要求學(xué)生利用畫圖的方法，將“數(shù)”的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)“形”的分析、思考。學(xué)生將一張長(zhǎng)方形的紙按豎著方向平均分成7份，其中四份用紅色彩筆涂滿，用以表示■。然后，將這張紙?jiān)侔礄M著方向平均分成3份，再用藍(lán)色彩筆涂出■的■。從圖上看出了■÷3以后得到的是■，■÷3其實(shí)就是求■的■是多少。很顯然，學(xué)生通過(guò)“折一折、涂一涂”的小操作，借助圖形語(yǔ)言，利用已學(xué)過(guò)的分?jǐn)?shù)乘法的意義，解決了有關(guān)分?jǐn)?shù)除法的問(wèn)題，從而理解了分?jǐn)?shù)除法的意義，并從中推斷出分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的計(jì)算方法。

本學(xué)年，我擔(dān)任六年級(jí)的數(shù)學(xué)教學(xué)，最近正在組織學(xué)生進(jìn)行總復(fù)習(xí)。復(fù)習(xí)內(nèi)容涵蓋小學(xué)六年的數(shù)學(xué)知識(shí)。在復(fù)習(xí)“數(shù)的運(yùn)算”一節(jié)時(shí)，對(duì)異分母的加減法，有個(gè)學(xué)生這樣分享他的學(xué)習(xí)感受：我記得當(dāng)時(shí)在學(xué)習(xí)這個(gè)內(nèi)容時(shí)，老師的課件做得很生動(dòng)，讓我們通過(guò)圖形的演示認(rèn)識(shí)到，分?jǐn)?shù)單位相同，分子才能相加減，所以異分母分?jǐn)?shù)相加減時(shí)要先通分，我記得很牢……可見，合適的圖形及圖形演繹對(duì)學(xué)生理解算理的重要性。

二、數(shù)形結(jié)合，明確概念

數(shù)學(xué)概念是人腦對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式，即一種數(shù)學(xué)的思維形式。在數(shù)學(xué)中，作為一般的思維形式的判斷與推理，常常以定理、法則、公式的方式表現(xiàn)出來(lái)，而數(shù)學(xué)概念則是構(gòu)成它們的基礎(chǔ)。正確理解并靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)概念，是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和運(yùn)算技能、發(fā)展邏輯論證和空間想象能力的前提。在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)概念很多，如果僅憑死記硬背，沒有對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解、把握，將影響知識(shí)的應(yīng)用與遷移。某些數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，需借助相應(yīng)的直觀圖形，反復(fù)讓學(xué)生感知，獲得體驗(yàn)，建立表象，進(jìn)而明確概念的內(nèi)涵，獲得拋卻具體圖形之外的純粹的數(shù)學(xué)概念的理解。

如“周長(zhǎng)”這一數(shù)學(xué)概念，是三年級(jí)上學(xué)期的知識(shí)。對(duì)三年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，“周長(zhǎng)”概念還是比較抽象的，如果不借助具體的圖形，讓學(xué)生經(jīng)歷由表象到抽象的思維過(guò)程，他們是很難明確概念的本質(zhì)意義的。我聽過(guò)一節(jié)課，上課老師先后用樹葉、課桌面、數(shù)學(xué)書封面、1元硬幣等具體物體，讓學(xué)生通過(guò)看、摸、繞、測(cè)，獲得感知，經(jīng)過(guò)思維的層層遞進(jìn)，完成對(duì)“周長(zhǎng)”概念的最終理解和明確。這其間，有一條思維的路徑，是具體的“形”在牽引，指向思維深處，最終又?jǐn)[脫“形”的束縛，建立純粹的數(shù)學(xué)概念，即有“見山是山”到“見山不是山”的意味。

三、數(shù)形結(jié)合，巧妙解題

“數(shù)”和“形”是客觀事物的兩種屬性，兩者之間有著必然的內(nèi)在聯(lián)系。在解題時(shí)，在數(shù)形結(jié)合、數(shù)形轉(zhuǎn)化之間，化抽象為具體，化復(fù)雜為簡(jiǎn)明，化無(wú)形為有形，往往能突破原有思維的局限性，迅速找到解題的關(guān)鍵點(diǎn)。在這一過(guò)程中，學(xué)生不僅體會(huì)并應(yīng)用到數(shù)形結(jié)合的思想，而且能深切感受到數(shù)學(xué)的奇妙，激發(fā)熱愛數(shù)學(xué)的情感，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。

在學(xué)習(xí)了“圓”這一單元后，學(xué)生在練習(xí)時(shí)遇到了這樣一道判斷題：邊長(zhǎng)是2厘米的正方形和直徑是2厘米的圓，圓的面積比較大。當(dāng)時(shí)我先讓學(xué)生講解判斷的方法。一位學(xué)生是這樣講解的：我算出了正方形的面積是2×2等于4平方厘米，圓的面積是3.14×（2÷2）2等于3.14平方厘米，所以這道題是錯(cuò)的。其他學(xué)生都認(rèn)可他的做法，這也是最常規(guī)的思路。這位學(xué)生講完后，一位叫小月的學(xué)生高高地舉起了手：“老師，我有不同的解法?！毙≡伦呱现v臺(tái)，拿起一根粉筆，在黑板上畫出了如圖1所示的圖形：“我畫得不標(biāo)準(zhǔn)，但是我相信大家能看得懂。這樣畫了之后，很容易就能得看出哪個(gè)圖形的面積大?！睌?shù)秒的安靜后，學(xué)生自發(fā)地報(bào)以熱烈的掌聲?！拔铱炊耍　薄斑@樣畫一畫，很快就有了答案！”“這種方法很簡(jiǎn)便！”在同學(xué)們的肯定聲中，小月高興而又自豪地笑了。這種解題技巧其實(shí)就是數(shù)形結(jié)合的具體應(yīng)用。

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圖1 圖2

后來(lái)我在教室的黑板一角開辟了一塊“趣味數(shù)學(xué)”園地，每周由學(xué)生出一道趣味數(shù)學(xué)題。這些題目都是學(xué)生在課外數(shù)學(xué)讀本或是網(wǎng)上找到的，題型新穎，既有趣味性，又有挑戰(zhàn)性，很受歡迎。有一次，一個(gè)學(xué)生出了這樣一道題：計(jì)算：“■+■+■+■+■=？”這位出題學(xué)生在題目旁邊注明：如果用常規(guī)方法來(lái)算，就不是趣味數(shù)學(xué)了。這道題引發(fā)了學(xué)生的極大興趣，下課時(shí)，常?？梢姷綆讉€(gè)學(xué)生圍在一起討論、爭(zhēng)辯。而不同于常規(guī)方法的解法，竟真的被學(xué)生找到了。學(xué)生小鴻在全班講解這道題的解法時(shí)說(shuō)：“這道題其實(shí)用通分的方法算很簡(jiǎn)單，但出題的同學(xué)說(shuō)了，不能用常規(guī)方法。我想了很久，發(fā)現(xiàn)這組分?jǐn)?shù)有特點(diǎn)，后面一個(gè)數(shù)是前面一個(gè)數(shù)的二分之一。有一次，我無(wú)意間畫了一個(gè)正方形，然后再把這個(gè)正方形平均分成兩份，突然我就有靈感了。上次小月把一道題的解法‘畫出來(lái)了，這道題，我也用‘畫的方法算出來(lái)了。同學(xué)們請(qǐng)看。”小鴻講完，在黑板上畫出了圖形（如圖2），寫出■+■+■+■+■=1-■=■。學(xué)生以一陣熱烈的掌聲對(duì)他的解法表示贊賞。

這兩個(gè)案例讓我想到了美國(guó)數(shù)學(xué)家斯蒂恩曾說(shuō)過(guò)的一句話：“如果一個(gè)特定的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形，那么思想就整體地把握了問(wèn)題，并創(chuàng)造性地思索解法。”數(shù)形結(jié)合，讓思維在轉(zhuǎn)化之間獲得別有洞天的啟發(fā)、柳暗花明的喜悅，在巧妙解題的過(guò)程中感受數(shù)學(xué)的神奇。

數(shù)形結(jié)合不僅是重要的數(shù)學(xué)思想，也是常用的數(shù)學(xué)方法?！皵?shù)缺形少直覺， 形少數(shù)難入微”。在教學(xué)實(shí)踐中，應(yīng)根據(jù)教材內(nèi)容、特點(diǎn)，找到數(shù)形結(jié)合的關(guān)鍵點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)貪B透、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法，提高教學(xué)效度，豐富學(xué)生感知，發(fā)展學(xué)生思維，促進(jìn)學(xué)生基本數(shù)學(xué)思想方法的形成。

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小學(xué)階段，無(wú)論是教材編排意圖還是教學(xué)目標(biāo)要求，需滲透、應(yīng)用、培養(yǎng)的數(shù)學(xué)思想方法有很多種，數(shù)形結(jié)合是其中重要的一種思想方法。簡(jiǎn)而言之，數(shù)形結(jié)合思想就是根據(jù)“數(shù)”與“形”之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想。“數(shù)”與“形”是事物兩方面的屬性，“數(shù)”與“形”的結(jié)合，不僅是客觀事物的自然連接，更溝通了思維的聯(lián)結(jié)?！皵?shù)”的抽象與“形”的直觀相結(jié)合，能把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)明化、具象化、生動(dòng)化。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，適時(shí)、有機(jī)地滲透和運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法，尤為必須且必要?，F(xiàn)結(jié)合個(gè)人的教學(xué)實(shí)踐，淺談在教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透。

一、數(shù)形結(jié)合，理解算理

計(jì)算教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。掌握正確的計(jì)算方法、準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算，是計(jì)算教學(xué)的基本目標(biāo)。加強(qiáng)計(jì)算題的練習(xí)強(qiáng)度則通常是教師的常用方法，而真正要提高學(xué)生的計(jì)算能力，算理的理解是基礎(chǔ)。不理解算理的計(jì)算，方法是機(jī)械的，記憶是暫時(shí)的，達(dá)不到計(jì)算思維的融會(huì)貫通，計(jì)算也就失去了靈活機(jī)智。因此，在計(jì)算教學(xué)中幫助學(xué)生理解算理，在理解算理的基礎(chǔ)上再加強(qiáng)訓(xùn)練，學(xué)生的計(jì)算能力才得以真正提高。算理往往是抽象的，如何讓學(xué)生理解算理？數(shù)形結(jié)合的方法很實(shí)用，不僅在小學(xué)低年段適用，同樣，高年段的學(xué)生也需要圖形的直觀幫助他們拓展思維，以形促思，以形助數(shù)，達(dá)到理解的目的。

在教學(xué)分?jǐn)?shù)除法（一），即“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”這節(jié)課時(shí)，對(duì)于■÷3的意義和計(jì)算方法，我要求學(xué)生利用畫圖的方法，將“數(shù)”的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)“形”的分析、思考。學(xué)生將一張長(zhǎng)方形的紙按豎著方向平均分成7份，其中四份用紅色彩筆涂滿，用以表示■。然后，將這張紙?jiān)侔礄M著方向平均分成3份，再用藍(lán)色彩筆涂出■的■。從圖上看出了■÷3以后得到的是■，■÷3其實(shí)就是求■的■是多少。很顯然，學(xué)生通過(guò)“折一折、涂一涂”的小操作，借助圖形語(yǔ)言，利用已學(xué)過(guò)的分?jǐn)?shù)乘法的意義，解決了有關(guān)分?jǐn)?shù)除法的問(wèn)題，從而理解了分?jǐn)?shù)除法的意義，并從中推斷出分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的計(jì)算方法。

本學(xué)年，我擔(dān)任六年級(jí)的數(shù)學(xué)教學(xué)，最近正在組織學(xué)生進(jìn)行總復(fù)習(xí)。復(fù)習(xí)內(nèi)容涵蓋小學(xué)六年的數(shù)學(xué)知識(shí)。在復(fù)習(xí)“數(shù)的運(yùn)算”一節(jié)時(shí)，對(duì)異分母的加減法，有個(gè)學(xué)生這樣分享他的學(xué)習(xí)感受：我記得當(dāng)時(shí)在學(xué)習(xí)這個(gè)內(nèi)容時(shí)，老師的課件做得很生動(dòng)，讓我們通過(guò)圖形的演示認(rèn)識(shí)到，分?jǐn)?shù)單位相同，分子才能相加減，所以異分母分?jǐn)?shù)相加減時(shí)要先通分，我記得很牢……可見，合適的圖形及圖形演繹對(duì)學(xué)生理解算理的重要性。

二、數(shù)形結(jié)合，明確概念

數(shù)學(xué)概念是人腦對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式，即一種數(shù)學(xué)的思維形式。在數(shù)學(xué)中，作為一般的思維形式的判斷與推理，常常以定理、法則、公式的方式表現(xiàn)出來(lái)，而數(shù)學(xué)概念則是構(gòu)成它們的基礎(chǔ)。正確理解并靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)概念，是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和運(yùn)算技能、發(fā)展邏輯論證和空間想象能力的前提。在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)概念很多，如果僅憑死記硬背，沒有對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解、把握，將影響知識(shí)的應(yīng)用與遷移。某些數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，需借助相應(yīng)的直觀圖形，反復(fù)讓學(xué)生感知，獲得體驗(yàn)，建立表象，進(jìn)而明確概念的內(nèi)涵，獲得拋卻具體圖形之外的純粹的數(shù)學(xué)概念的理解。

如“周長(zhǎng)”這一數(shù)學(xué)概念，是三年級(jí)上學(xué)期的知識(shí)。對(duì)三年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，“周長(zhǎng)”概念還是比較抽象的，如果不借助具體的圖形，讓學(xué)生經(jīng)歷由表象到抽象的思維過(guò)程，他們是很難明確概念的本質(zhì)意義的。我聽過(guò)一節(jié)課，上課老師先后用樹葉、課桌面、數(shù)學(xué)書封面、1元硬幣等具體物體，讓學(xué)生通過(guò)看、摸、繞、測(cè)，獲得感知，經(jīng)過(guò)思維的層層遞進(jìn)，完成對(duì)“周長(zhǎng)”概念的最終理解和明確。這其間，有一條思維的路徑，是具體的“形”在牽引，指向思維深處，最終又?jǐn)[脫“形”的束縛，建立純粹的數(shù)學(xué)概念，即有“見山是山”到“見山不是山”的意味。

三、數(shù)形結(jié)合，巧妙解題

“數(shù)”和“形”是客觀事物的兩種屬性，兩者之間有著必然的內(nèi)在聯(lián)系。在解題時(shí)，在數(shù)形結(jié)合、數(shù)形轉(zhuǎn)化之間，化抽象為具體，化復(fù)雜為簡(jiǎn)明，化無(wú)形為有形，往往能突破原有思維的局限性，迅速找到解題的關(guān)鍵點(diǎn)。在這一過(guò)程中，學(xué)生不僅體會(huì)并應(yīng)用到數(shù)形結(jié)合的思想，而且能深切感受到數(shù)學(xué)的奇妙，激發(fā)熱愛數(shù)學(xué)的情感，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。

在學(xué)習(xí)了“圓”這一單元后，學(xué)生在練習(xí)時(shí)遇到了這樣一道判斷題：邊長(zhǎng)是2厘米的正方形和直徑是2厘米的圓，圓的面積比較大。當(dāng)時(shí)我先讓學(xué)生講解判斷的方法。一位學(xué)生是這樣講解的：我算出了正方形的面積是2×2等于4平方厘米，圓的面積是3.14×（2÷2）2等于3.14平方厘米，所以這道題是錯(cuò)的。其他學(xué)生都認(rèn)可他的做法，這也是最常規(guī)的思路。這位學(xué)生講完后，一位叫小月的學(xué)生高高地舉起了手：“老師，我有不同的解法。”小月走上講臺(tái)，拿起一根粉筆，在黑板上畫出了如圖1所示的圖形：“我畫得不標(biāo)準(zhǔn)，但是我相信大家能看得懂。這樣畫了之后，很容易就能得看出哪個(gè)圖形的面積大?！睌?shù)秒的安靜后，學(xué)生自發(fā)地報(bào)以熱烈的掌聲?！拔铱炊耍　薄斑@樣畫一畫，很快就有了答案！”“這種方法很簡(jiǎn)便！”在同學(xué)們的肯定聲中，小月高興而又自豪地笑了。這種解題技巧其實(shí)就是數(shù)形結(jié)合的具體應(yīng)用。

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圖1 圖2

后來(lái)我在教室的黑板一角開辟了一塊“趣味數(shù)學(xué)”園地，每周由學(xué)生出一道趣味數(shù)學(xué)題。這些題目都是學(xué)生在課外數(shù)學(xué)讀本或是網(wǎng)上找到的，題型新穎，既有趣味性，又有挑戰(zhàn)性，很受歡迎。有一次，一個(gè)學(xué)生出了這樣一道題：計(jì)算：“■+■+■+■+■=？”這位出題學(xué)生在題目旁邊注明：如果用常規(guī)方法來(lái)算，就不是趣味數(shù)學(xué)了。這道題引發(fā)了學(xué)生的極大興趣，下課時(shí)，常?？梢姷綆讉€(gè)學(xué)生圍在一起討論、爭(zhēng)辯。而不同于常規(guī)方法的解法，竟真的被學(xué)生找到了。學(xué)生小鴻在全班講解這道題的解法時(shí)說(shuō)：“這道題其實(shí)用通分的方法算很簡(jiǎn)單，但出題的同學(xué)說(shuō)了，不能用常規(guī)方法。我想了很久，發(fā)現(xiàn)這組分?jǐn)?shù)有特點(diǎn)，后面一個(gè)數(shù)是前面一個(gè)數(shù)的二分之一。有一次，我無(wú)意間畫了一個(gè)正方形，然后再把這個(gè)正方形平均分成兩份，突然我就有靈感了。上次小月把一道題的解法‘畫出來(lái)了，這道題，我也用‘畫的方法算出來(lái)了。同學(xué)們請(qǐng)看。”小鴻講完，在黑板上畫出了圖形（如圖2），寫出■+■+■+■+■=1-■=■。學(xué)生以一陣熱烈的掌聲對(duì)他的解法表示贊賞。

這兩個(gè)案例讓我想到了美國(guó)數(shù)學(xué)家斯蒂恩曾說(shuō)過(guò)的一句話：“如果一個(gè)特定的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形，那么思想就整體地把握了問(wèn)題，并創(chuàng)造性地思索解法。”數(shù)形結(jié)合，讓思維在轉(zhuǎn)化之間獲得別有洞天的啟發(fā)、柳暗花明的喜悅，在巧妙解題的過(guò)程中感受數(shù)學(xué)的神奇。

數(shù)形結(jié)合不僅是重要的數(shù)學(xué)思想，也是常用的數(shù)學(xué)方法?！皵?shù)缺形少直覺， 形少數(shù)難入微”。在教學(xué)實(shí)踐中，應(yīng)根據(jù)教材內(nèi)容、特點(diǎn)，找到數(shù)形結(jié)合的關(guān)鍵點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)貪B透、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法，提高教學(xué)效度，豐富學(xué)生感知，發(fā)展學(xué)生思維，促進(jìn)學(xué)生基本數(shù)學(xué)思想方法的形成。

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