從“舉三反一”到“舉一反三”

毛大平

在我市青年教師數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課評(píng)比中，一位教師的課給我留下較深的印象. 比賽內(nèi)容是浙江版八上7.3.1“一次函數(shù)”. 該教師課上得非常輕松，關(guān)鍵是師生互動(dòng)，學(xué)生顯得很投入，因此效率高. 我認(rèn)為該老師備課很好地體現(xiàn)了新課改的理念，重視了學(xué)生的參與. 而在概念引導(dǎo)時(shí)又非常好地把握了“舉三反一”和“舉一反三”的關(guān)系，他的成功給我們?cè)跀?shù)學(xué)概念教學(xué)中有很多的啟發(fā).

一、一次函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)

1. 概念引入

觀察1：描述圖1中的變化過(guò)程，并列出y關(guān)于x的關(guān)系式.

觀察2：一支蠟燭長(zhǎng)20cm，點(diǎn)燃后每小時(shí)燃燒5cm，燃燒t小時(shí)后，剩余高度為h（cm）. 描述圖2中的變化過(guò)程，并列出h關(guān)于t的關(guān)系式.

觀察3：一桶水原有18. 5升，水流出速度為0.037升/秒， 接水時(shí)間為t（秒），桶內(nèi)剩余水V1，杯中水的體積為V2. 描述圖3中的變化過(guò)程，并分別列出V1，V2關(guān)于t的關(guān)系式.

觀察4：圖4是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方體. 描述正方體的體積V和表面積S關(guān)于a的變化過(guò)程，并列出V和S關(guān)于a的關(guān)系式.

2. 概念的形成

通過(guò)學(xué)生對(duì)上述四個(gè)情境中變化過(guò)程的描述和對(duì)列出的關(guān)系式的觀察，歸納出一次函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)y=kx+b（k，b都是常數(shù)，且k≠0）叫作一次函數(shù)；當(dāng)b=0時(shí)，一次函數(shù)y=kx+b就變成y=kx（k為常數(shù)，k≠0），叫作正比例函數(shù).

3. 概念的辨析

（1）請(qǐng)完成下表

（2）填一填

已知，y關(guān)于x的函數(shù)y=（m+1）x+m2-1，當(dāng)m 時(shí)，它是正比例函數(shù). 當(dāng)m 時(shí)，它是一次函數(shù).

4. 概念的深入理解

（1）某彈簧的自然長(zhǎng)度為4cm，在彈性限度內(nèi)，掛不同質(zhì)量物體時(shí)，其長(zhǎng)度如下表：

①請(qǐng)寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；② k和b具有怎樣的實(shí)際意義.

（2）請(qǐng)說(shuō)出一個(gè)可以用y=2x+10表示的生活實(shí)例.

5. 概念的實(shí)際應(yīng)用

工資、薪金所得適用稅率表

（1）求出員工1和員工2應(yīng)納稅所得額與應(yīng)交稅

（2）求出單位所有員工的應(yīng)交稅

6. 課堂小結(jié)

（1）

（2）本堂課思維導(dǎo)圖

7. 作業(yè)

作業(yè)本7. 3（1）

二、一次函數(shù)優(yōu)質(zhì)課成功歸因分析

1. 在概念的形成過(guò)程中注重“舉三反一”

“舉三反一”是指通過(guò)多個(gè)實(shí)例的講解而明白其中蘊(yùn)含著的不變的本質(zhì). 在概念教學(xué)中的目的是提供典型豐富的具體例證，經(jīng)歷分析、比較、綜合、概括的過(guò)程，抽象本質(zhì)屬性.

“一次函數(shù)”是一個(gè)比較抽象的概念，較難理解. 在案例中執(zhí)教者設(shè)置了四個(gè)具體的情境：“加油的金額隨著加油量的變化而變化的情境”“蠟燭的剩余高度隨著燃燒的時(shí)間而發(fā)生變化的情境”“水杯中的水和桶里剩余的水隨著接水時(shí)間的變化而變化的情境”“立方體的體積和表面積隨著邊長(zhǎng)的變化而變化的情境”，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察變化的過(guò)程，找出兩個(gè)變量之間的關(guān)系如下：y=6.40x；h=-5t+20；V1=-0.037t+18.5；V2=0.037t；V=a3；S=6a2. 通過(guò)比較分析兩個(gè)變量之間的這種對(duì)應(yīng)的依存關(guān)系，歸納出“一次函數(shù)”的概念. 在這個(gè)“舉三反一”的過(guò)程中調(diào)動(dòng)了學(xué)生原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，在經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程中培養(yǎng)了學(xué)生的觀察和歸納能力，積累了數(shù)學(xué)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

2. 在概念的應(yīng)用過(guò)程中注重“舉一反三”

“舉一反三”是指從一件事情類推而知道其他許多事情，在概念教學(xué)中的作用是突出概念的內(nèi)涵與外延，它和“舉三反一”兩者之間又是相輔相成的.

在“概念的辨析”環(huán)節(jié)中對(duì)于y=2（x-1），教師追問(wèn)y與x-1之間是怎樣的函數(shù)關(guān)系？對(duì)于y+5=-3x，是 y關(guān)于x的一次函數(shù)，教師追問(wèn)：可以看成什么關(guān)于x成正比例關(guān)系？一下子提升了思維的層次，促進(jìn)了學(xué)生對(duì)于一次函數(shù)概念的本質(zhì)理解. 在“填一填”環(huán)節(jié)中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行題后反思. 帶參數(shù)的一次函數(shù)考慮因數(shù)：系數(shù)（k，b）和次數(shù)（一次），在這個(gè)過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性.

在“概念的深入理解”環(huán)節(jié)中，學(xué)生借助彈簧秤這個(gè)直觀易懂的實(shí)際例子，引導(dǎo)學(xué)生觀察x的變化量Δx和y的變化量Δy之間的關(guān)系. 發(fā)現(xiàn)Δy隨著Δx的變化而變化且k=■，k的實(shí)際意義是每千克重物拉升彈簧的長(zhǎng)度，l表示彈簧的原長(zhǎng). 更一般的知道了一次函數(shù)中y隨x的變化是均勻的.

在“實(shí)際應(yīng)用”環(huán)節(jié)中，教師改編了課本的習(xí)題，在學(xué)生利用口算輕松解決問(wèn)題1時(shí)，拋出了計(jì)算整個(gè)公司每個(gè)員工的應(yīng)交稅，讓學(xué)生一下子覺(jué)得利用口算已經(jīng)不是辦法，需要利用今天學(xué)習(xí)的“一次函數(shù)”解決，在這個(gè)過(guò)程中學(xué)生感受到了學(xué)習(xí)“一次函數(shù)”的必要性和數(shù)學(xué)是有用的，同時(shí)也對(duì)學(xué)生進(jìn)行了一次“納稅是每個(gè)公民應(yīng)盡的義務(wù)”教育.

在概念的應(yīng)用過(guò)程中，通過(guò)“舉一反三”的多個(gè)環(huán)節(jié)，很好地促進(jìn)了學(xué)生對(duì)“一次函數(shù)”概念的理解，學(xué)生之所以在這些環(huán)節(jié)中能非常的投入，與執(zhí)教老師循序漸進(jìn)的教學(xué)設(shè)計(jì)有很大關(guān)系，與“一次函數(shù)”概念形成過(guò)程中的“舉三反一”也是分不開(kāi)的，只有在充分理解概念的基礎(chǔ)上才能展開(kāi)對(duì)概念的應(yīng)用.

三、概念教學(xué)實(shí)施的有效策略

第一，概念（特別是核心概念）教學(xué)中，要把“認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本套路”作為核心目標(biāo)之一. 由于數(shù)學(xué)概念的高度抽象性，決定了其認(rèn)識(shí)過(guò)程的曲折性，不可能一步到位，需要一個(gè)螺旋上升、在已有認(rèn)知基礎(chǔ)上再概括的過(guò)程. 正如本案例中對(duì)“一次函數(shù)”概念形成中“舉三反一”的過(guò)程.

第二，人類認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念具有“漸進(jìn)性”，因此學(xué)習(xí)像函數(shù)這樣的核心概念，需要區(qū)分不同年齡階段的概括層次（如變量說(shuō)、對(duì)應(yīng)說(shuō)、關(guān)系說(shuō)等），這也是“教學(xué)要與學(xué)生認(rèn)知水平相適應(yīng)”的原因所在. 本案例中的“一次函數(shù)”是初中階段接觸的第一個(gè)函數(shù)，學(xué)生都還比較陌生，在表述上采用“變量說(shuō)”比較通俗易懂.

第三，為了更有利于學(xué)生開(kāi)展概括活動(dòng)，教師要重視讓學(xué)生自己舉例，“一個(gè)好例子勝過(guò)一千條說(shuō)教”. 案例中“請(qǐng)說(shuō)出一個(gè)可以用y=2x+10表示的生活實(shí)例”，就起到了很好的作用.

第四，“細(xì)節(jié)決定成敗”，必須安排概念的辨析、精致的過(guò)程，即要對(duì)概念的內(nèi)涵進(jìn)行“深加工”，對(duì)概念要素作具體界定，讓學(xué)生通過(guò)對(duì)概念的正例、反例作判斷，更準(zhǔn)確地把握概念的細(xì)節(jié).

第五，在概念的系統(tǒng)中學(xué)習(xí)概念，即要通過(guò)概念的應(yīng)用，形成用概念作判斷的“操作步驟”，同時(shí)建立相關(guān)概念的聯(lián)系，這是一次新的概括過(guò)程.

在我市青年教師數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課評(píng)比中，一位教師的課給我留下較深的印象. 比賽內(nèi)容是浙江版八上7.3.1“一次函數(shù)”. 該教師課上得非常輕松，關(guān)鍵是師生互動(dòng)，學(xué)生顯得很投入，因此效率高. 我認(rèn)為該老師備課很好地體現(xiàn)了新課改的理念，重視了學(xué)生的參與. 而在概念引導(dǎo)時(shí)又非常好地把握了“舉三反一”和“舉一反三”的關(guān)系，他的成功給我們?cè)跀?shù)學(xué)概念教學(xué)中有很多的啟發(fā).

一、一次函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)

1. 概念引入

觀察1：描述圖1中的變化過(guò)程，并列出y關(guān)于x的關(guān)系式.

觀察2：一支蠟燭長(zhǎng)20cm，點(diǎn)燃后每小時(shí)燃燒5cm，燃燒t小時(shí)后，剩余高度為h（cm）. 描述圖2中的變化過(guò)程，并列出h關(guān)于t的關(guān)系式.

觀察3：一桶水原有18. 5升，水流出速度為0.037升/秒， 接水時(shí)間為t（秒），桶內(nèi)剩余水V1，杯中水的體積為V2. 描述圖3中的變化過(guò)程，并分別列出V1，V2關(guān)于t的關(guān)系式.

觀察4：圖4是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方體. 描述正方體的體積V和表面積S關(guān)于a的變化過(guò)程，并列出V和S關(guān)于a的關(guān)系式.

2. 概念的形成

通過(guò)學(xué)生對(duì)上述四個(gè)情境中變化過(guò)程的描述和對(duì)列出的關(guān)系式的觀察，歸納出一次函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)y=kx+b（k，b都是常數(shù)，且k≠0）叫作一次函數(shù)；當(dāng)b=0時(shí)，一次函數(shù)y=kx+b就變成y=kx（k為常數(shù)，k≠0），叫作正比例函數(shù).

3. 概念的辨析

（1）請(qǐng)完成下表

（2）填一填

已知，y關(guān)于x的函數(shù)y=（m+1）x+m2-1，當(dāng)m 時(shí)，它是正比例函數(shù). 當(dāng)m 時(shí)，它是一次函數(shù).

4. 概念的深入理解

（1）某彈簧的自然長(zhǎng)度為4cm，在彈性限度內(nèi)，掛不同質(zhì)量物體時(shí)，其長(zhǎng)度如下表：

①請(qǐng)寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；② k和b具有怎樣的實(shí)際意義.

（2）請(qǐng)說(shuō)出一個(gè)可以用y=2x+10表示的生活實(shí)例.

5. 概念的實(shí)際應(yīng)用

工資、薪金所得適用稅率表

（1）求出員工1和員工2應(yīng)納稅所得額與應(yīng)交稅

（2）求出單位所有員工的應(yīng)交稅

6. 課堂小結(jié)

（1）

（2）本堂課思維導(dǎo)圖

7. 作業(yè)

作業(yè)本7. 3（1）

二、一次函數(shù)優(yōu)質(zhì)課成功歸因分析

1. 在概念的形成過(guò)程中注重“舉三反一”

“舉三反一”是指通過(guò)多個(gè)實(shí)例的講解而明白其中蘊(yùn)含著的不變的本質(zhì). 在概念教學(xué)中的目的是提供典型豐富的具體例證，經(jīng)歷分析、比較、綜合、概括的過(guò)程，抽象本質(zhì)屬性.

“一次函數(shù)”是一個(gè)比較抽象的概念，較難理解. 在案例中執(zhí)教者設(shè)置了四個(gè)具體的情境：“加油的金額隨著加油量的變化而變化的情境”“蠟燭的剩余高度隨著燃燒的時(shí)間而發(fā)生變化的情境”“水杯中的水和桶里剩余的水隨著接水時(shí)間的變化而變化的情境”“立方體的體積和表面積隨著邊長(zhǎng)的變化而變化的情境”，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察變化的過(guò)程，找出兩個(gè)變量之間的關(guān)系如下：y=6.40x；h=-5t+20；V1=-0.037t+18.5；V2=0.037t；V=a3；S=6a2. 通過(guò)比較分析兩個(gè)變量之間的這種對(duì)應(yīng)的依存關(guān)系，歸納出“一次函數(shù)”的概念. 在這個(gè)“舉三反一”的過(guò)程中調(diào)動(dòng)了學(xué)生原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，在經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程中培養(yǎng)了學(xué)生的觀察和歸納能力，積累了數(shù)學(xué)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

2. 在概念的應(yīng)用過(guò)程中注重“舉一反三”

“舉一反三”是指從一件事情類推而知道其他許多事情，在概念教學(xué)中的作用是突出概念的內(nèi)涵與外延，它和“舉三反一”兩者之間又是相輔相成的.

在“概念的辨析”環(huán)節(jié)中對(duì)于y=2（x-1），教師追問(wèn)y與x-1之間是怎樣的函數(shù)關(guān)系？對(duì)于y+5=-3x，是 y關(guān)于x的一次函數(shù)，教師追問(wèn)：可以看成什么關(guān)于x成正比例關(guān)系？一下子提升了思維的層次，促進(jìn)了學(xué)生對(duì)于一次函數(shù)概念的本質(zhì)理解. 在“填一填”環(huán)節(jié)中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行題后反思. 帶參數(shù)的一次函數(shù)考慮因數(shù)：系數(shù)（k，b）和次數(shù)（一次），在這個(gè)過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性.

在“概念的深入理解”環(huán)節(jié)中，學(xué)生借助彈簧秤這個(gè)直觀易懂的實(shí)際例子，引導(dǎo)學(xué)生觀察x的變化量Δx和y的變化量Δy之間的關(guān)系. 發(fā)現(xiàn)Δy隨著Δx的變化而變化且k=■，k的實(shí)際意義是每千克重物拉升彈簧的長(zhǎng)度，l表示彈簧的原長(zhǎng). 更一般的知道了一次函數(shù)中y隨x的變化是均勻的.

在“實(shí)際應(yīng)用”環(huán)節(jié)中，教師改編了課本的習(xí)題，在學(xué)生利用口算輕松解決問(wèn)題1時(shí)，拋出了計(jì)算整個(gè)公司每個(gè)員工的應(yīng)交稅，讓學(xué)生一下子覺(jué)得利用口算已經(jīng)不是辦法，需要利用今天學(xué)習(xí)的“一次函數(shù)”解決，在這個(gè)過(guò)程中學(xué)生感受到了學(xué)習(xí)“一次函數(shù)”的必要性和數(shù)學(xué)是有用的，同時(shí)也對(duì)學(xué)生進(jìn)行了一次“納稅是每個(gè)公民應(yīng)盡的義務(wù)”教育.

在概念的應(yīng)用過(guò)程中，通過(guò)“舉一反三”的多個(gè)環(huán)節(jié)，很好地促進(jìn)了學(xué)生對(duì)“一次函數(shù)”概念的理解，學(xué)生之所以在這些環(huán)節(jié)中能非常的投入，與執(zhí)教老師循序漸進(jìn)的教學(xué)設(shè)計(jì)有很大關(guān)系，與“一次函數(shù)”概念形成過(guò)程中的“舉三反一”也是分不開(kāi)的，只有在充分理解概念的基礎(chǔ)上才能展開(kāi)對(duì)概念的應(yīng)用.

三、概念教學(xué)實(shí)施的有效策略

第一，概念（特別是核心概念）教學(xué)中，要把“認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本套路”作為核心目標(biāo)之一. 由于數(shù)學(xué)概念的高度抽象性，決定了其認(rèn)識(shí)過(guò)程的曲折性，不可能一步到位，需要一個(gè)螺旋上升、在已有認(rèn)知基礎(chǔ)上再概括的過(guò)程. 正如本案例中對(duì)“一次函數(shù)”概念形成中“舉三反一”的過(guò)程.

第二，人類認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念具有“漸進(jìn)性”，因此學(xué)習(xí)像函數(shù)這樣的核心概念，需要區(qū)分不同年齡階段的概括層次（如變量說(shuō)、對(duì)應(yīng)說(shuō)、關(guān)系說(shuō)等），這也是“教學(xué)要與學(xué)生認(rèn)知水平相適應(yīng)”的原因所在. 本案例中的“一次函數(shù)”是初中階段接觸的第一個(gè)函數(shù)，學(xué)生都還比較陌生，在表述上采用“變量說(shuō)”比較通俗易懂.

第三，為了更有利于學(xué)生開(kāi)展概括活動(dòng)，教師要重視讓學(xué)生自己舉例，“一個(gè)好例子勝過(guò)一千條說(shuō)教”. 案例中“請(qǐng)說(shuō)出一個(gè)可以用y=2x+10表示的生活實(shí)例”，就起到了很好的作用.

第四，“細(xì)節(jié)決定成敗”，必須安排概念的辨析、精致的過(guò)程，即要對(duì)概念的內(nèi)涵進(jìn)行“深加工”，對(duì)概念要素作具體界定，讓學(xué)生通過(guò)對(duì)概念的正例、反例作判斷，更準(zhǔn)確地把握概念的細(xì)節(jié).

第五，在概念的系統(tǒng)中學(xué)習(xí)概念，即要通過(guò)概念的應(yīng)用，形成用概念作判斷的“操作步驟”，同時(shí)建立相關(guān)概念的聯(lián)系，這是一次新的概括過(guò)程.

在我市青年教師數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課評(píng)比中，一位教師的課給我留下較深的印象. 比賽內(nèi)容是浙江版八上7.3.1“一次函數(shù)”. 該教師課上得非常輕松，關(guān)鍵是師生互動(dòng)，學(xué)生顯得很投入，因此效率高. 我認(rèn)為該老師備課很好地體現(xiàn)了新課改的理念，重視了學(xué)生的參與. 而在概念引導(dǎo)時(shí)又非常好地把握了“舉三反一”和“舉一反三”的關(guān)系，他的成功給我們?cè)跀?shù)學(xué)概念教學(xué)中有很多的啟發(fā).

一、一次函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)

1. 概念引入

觀察1：描述圖1中的變化過(guò)程，并列出y關(guān)于x的關(guān)系式.

觀察2：一支蠟燭長(zhǎng)20cm，點(diǎn)燃后每小時(shí)燃燒5cm，燃燒t小時(shí)后，剩余高度為h（cm）. 描述圖2中的變化過(guò)程，并列出h關(guān)于t的關(guān)系式.

觀察3：一桶水原有18. 5升，水流出速度為0.037升/秒， 接水時(shí)間為t（秒），桶內(nèi)剩余水V1，杯中水的體積為V2. 描述圖3中的變化過(guò)程，并分別列出V1，V2關(guān)于t的關(guān)系式.

觀察4：圖4是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方體. 描述正方體的體積V和表面積S關(guān)于a的變化過(guò)程，并列出V和S關(guān)于a的關(guān)系式.

2. 概念的形成

通過(guò)學(xué)生對(duì)上述四個(gè)情境中變化過(guò)程的描述和對(duì)列出的關(guān)系式的觀察，歸納出一次函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)y=kx+b（k，b都是常數(shù)，且k≠0）叫作一次函數(shù)；當(dāng)b=0時(shí)，一次函數(shù)y=kx+b就變成y=kx（k為常數(shù)，k≠0），叫作正比例函數(shù).

3. 概念的辨析

（1）請(qǐng)完成下表

（2）填一填

已知，y關(guān)于x的函數(shù)y=（m+1）x+m2-1，當(dāng)m 時(shí)，它是正比例函數(shù). 當(dāng)m 時(shí)，它是一次函數(shù).

4. 概念的深入理解

（1）某彈簧的自然長(zhǎng)度為4cm，在彈性限度內(nèi)，掛不同質(zhì)量物體時(shí)，其長(zhǎng)度如下表：

①請(qǐng)寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；② k和b具有怎樣的實(shí)際意義.

（2）請(qǐng)說(shuō)出一個(gè)可以用y=2x+10表示的生活實(shí)例.

5. 概念的實(shí)際應(yīng)用

工資、薪金所得適用稅率表

（1）求出員工1和員工2應(yīng)納稅所得額與應(yīng)交稅

（2）求出單位所有員工的應(yīng)交稅

6. 課堂小結(jié)

（1）

（2）本堂課思維導(dǎo)圖

7. 作業(yè)

作業(yè)本7. 3（1）

二、一次函數(shù)優(yōu)質(zhì)課成功歸因分析

1. 在概念的形成過(guò)程中注重“舉三反一”

“舉三反一”是指通過(guò)多個(gè)實(shí)例的講解而明白其中蘊(yùn)含著的不變的本質(zhì). 在概念教學(xué)中的目的是提供典型豐富的具體例證，經(jīng)歷分析、比較、綜合、概括的過(guò)程，抽象本質(zhì)屬性.

“一次函數(shù)”是一個(gè)比較抽象的概念，較難理解. 在案例中執(zhí)教者設(shè)置了四個(gè)具體的情境：“加油的金額隨著加油量的變化而變化的情境”“蠟燭的剩余高度隨著燃燒的時(shí)間而發(fā)生變化的情境”“水杯中的水和桶里剩余的水隨著接水時(shí)間的變化而變化的情境”“立方體的體積和表面積隨著邊長(zhǎng)的變化而變化的情境”，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察變化的過(guò)程，找出兩個(gè)變量之間的關(guān)系如下：y=6.40x；h=-5t+20；V1=-0.037t+18.5；V2=0.037t；V=a3；S=6a2. 通過(guò)比較分析兩個(gè)變量之間的這種對(duì)應(yīng)的依存關(guān)系，歸納出“一次函數(shù)”的概念. 在這個(gè)“舉三反一”的過(guò)程中調(diào)動(dòng)了學(xué)生原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，在經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程中培養(yǎng)了學(xué)生的觀察和歸納能力，積累了數(shù)學(xué)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

2. 在概念的應(yīng)用過(guò)程中注重“舉一反三”

“舉一反三”是指從一件事情類推而知道其他許多事情，在概念教學(xué)中的作用是突出概念的內(nèi)涵與外延，它和“舉三反一”兩者之間又是相輔相成的.

在“概念的辨析”環(huán)節(jié)中對(duì)于y=2（x-1），教師追問(wèn)y與x-1之間是怎樣的函數(shù)關(guān)系？對(duì)于y+5=-3x，是 y關(guān)于x的一次函數(shù)，教師追問(wèn)：可以看成什么關(guān)于x成正比例關(guān)系？一下子提升了思維的層次，促進(jìn)了學(xué)生對(duì)于一次函數(shù)概念的本質(zhì)理解. 在“填一填”環(huán)節(jié)中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行題后反思. 帶參數(shù)的一次函數(shù)考慮因數(shù)：系數(shù)（k，b）和次數(shù)（一次），在這個(gè)過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性.

在“概念的深入理解”環(huán)節(jié)中，學(xué)生借助彈簧秤這個(gè)直觀易懂的實(shí)際例子，引導(dǎo)學(xué)生觀察x的變化量Δx和y的變化量Δy之間的關(guān)系. 發(fā)現(xiàn)Δy隨著Δx的變化而變化且k=■，k的實(shí)際意義是每千克重物拉升彈簧的長(zhǎng)度，l表示彈簧的原長(zhǎng). 更一般的知道了一次函數(shù)中y隨x的變化是均勻的.

在“實(shí)際應(yīng)用”環(huán)節(jié)中，教師改編了課本的習(xí)題，在學(xué)生利用口算輕松解決問(wèn)題1時(shí)，拋出了計(jì)算整個(gè)公司每個(gè)員工的應(yīng)交稅，讓學(xué)生一下子覺(jué)得利用口算已經(jīng)不是辦法，需要利用今天學(xué)習(xí)的“一次函數(shù)”解決，在這個(gè)過(guò)程中學(xué)生感受到了學(xué)習(xí)“一次函數(shù)”的必要性和數(shù)學(xué)是有用的，同時(shí)也對(duì)學(xué)生進(jìn)行了一次“納稅是每個(gè)公民應(yīng)盡的義務(wù)”教育.

在概念的應(yīng)用過(guò)程中，通過(guò)“舉一反三”的多個(gè)環(huán)節(jié)，很好地促進(jìn)了學(xué)生對(duì)“一次函數(shù)”概念的理解，學(xué)生之所以在這些環(huán)節(jié)中能非常的投入，與執(zhí)教老師循序漸進(jìn)的教學(xué)設(shè)計(jì)有很大關(guān)系，與“一次函數(shù)”概念形成過(guò)程中的“舉三反一”也是分不開(kāi)的，只有在充分理解概念的基礎(chǔ)上才能展開(kāi)對(duì)概念的應(yīng)用.

三、概念教學(xué)實(shí)施的有效策略

第一，概念（特別是核心概念）教學(xué)中，要把“認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本套路”作為核心目標(biāo)之一. 由于數(shù)學(xué)概念的高度抽象性，決定了其認(rèn)識(shí)過(guò)程的曲折性，不可能一步到位，需要一個(gè)螺旋上升、在已有認(rèn)知基礎(chǔ)上再概括的過(guò)程. 正如本案例中對(duì)“一次函數(shù)”概念形成中“舉三反一”的過(guò)程.

第二，人類認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念具有“漸進(jìn)性”，因此學(xué)習(xí)像函數(shù)這樣的核心概念，需要區(qū)分不同年齡階段的概括層次（如變量說(shuō)、對(duì)應(yīng)說(shuō)、關(guān)系說(shuō)等），這也是“教學(xué)要與學(xué)生認(rèn)知水平相適應(yīng)”的原因所在. 本案例中的“一次函數(shù)”是初中階段接觸的第一個(gè)函數(shù)，學(xué)生都還比較陌生，在表述上采用“變量說(shuō)”比較通俗易懂.

第三，為了更有利于學(xué)生開(kāi)展概括活動(dòng)，教師要重視讓學(xué)生自己舉例，“一個(gè)好例子勝過(guò)一千條說(shuō)教”. 案例中“請(qǐng)說(shuō)出一個(gè)可以用y=2x+10表示的生活實(shí)例”，就起到了很好的作用.

第四，“細(xì)節(jié)決定成敗”，必須安排概念的辨析、精致的過(guò)程，即要對(duì)概念的內(nèi)涵進(jìn)行“深加工”，對(duì)概念要素作具體界定，讓學(xué)生通過(guò)對(duì)概念的正例、反例作判斷，更準(zhǔn)確地把握概念的細(xì)節(jié).

第五，在概念的系統(tǒng)中學(xué)習(xí)概念，即要通過(guò)概念的應(yīng)用，形成用概念作判斷的“操作步驟”，同時(shí)建立相關(guān)概念的聯(lián)系，這是一次新的概括過(guò)程.