項(xiàng)目屬性標(biāo)錯(cuò)時(shí)可達(dá)陣補(bǔ)救作用的研究

甘朝紅，汪文義，丁樹(shù)良

(江西師范大學(xué)計(jì)算機(jī)信息工程學(xué)院，江西南昌330022)

0 引言和記號(hào)

在認(rèn)知診斷過(guò)程中，題目屬性的標(biāo)定非常重要，即Q矩陣的標(biāo)定非常重要［1-2］.當(dāng)題目屬性標(biāo)定出現(xiàn)差錯(cuò)時(shí)，可能導(dǎo)致屬性層級(jí)關(guān)系的混亂，且屬性標(biāo)定出現(xiàn)差錯(cuò)在所難免.為了提高認(rèn)知診斷的準(zhǔn)確率，應(yīng)盡量避免差錯(cuò)，或設(shè)計(jì)當(dāng)出錯(cuò)時(shí)可以彌補(bǔ)這些差錯(cuò)的預(yù)案.

當(dāng)題目屬性標(biāo)定出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，有研究［3-5］討論了如何修正Q矩陣.本文和以往研究問(wèn)題的角度不同，不是去修改Q陣，而是建立彌補(bǔ)的預(yù)案.已有理論和實(shí)驗(yàn)中表明，可達(dá)陣R在認(rèn)知診斷測(cè)驗(yàn)編制中起著重要作用［6］.受此啟發(fā)，本文用Matlab作為程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言編程進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)，研究可達(dá)陣R對(duì)項(xiàng)目屬性標(biāo)定出錯(cuò)后是否有補(bǔ)救作用.本文從分析專(zhuān)家給測(cè)驗(yàn)項(xiàng)目標(biāo)定屬性時(shí)，可能出現(xiàn)的差錯(cuò)入手，研究設(shè)計(jì)不同的測(cè)驗(yàn)Q矩陣對(duì)題目屬性標(biāo)定出現(xiàn)差錯(cuò)的容忍能力.用R表示可達(dá)矩陣，Qt表示測(cè)驗(yàn)Q矩陣，即測(cè)驗(yàn)藍(lán)圖［7］.基于可達(dá)矩陣R通過(guò)擴(kuò)張算法［10］得到的矩陣稱(chēng)為潛在 Q 矩陣［8-9］，記為Qp.

設(shè)欲診斷的問(wèn)題包含n個(gè)屬性，將把窮舉n個(gè)屬性的所有0-1列得Qall，Qall的列數(shù)為2n;記不符合屬性層級(jí)關(guān)系的列構(gòu)成的矩陣為Qcuo，從Qall的2n列中去掉0列，再去掉Qp的所有列，即構(gòu)成錯(cuò)誤列矩陣Qcuo;而在Qp矩陣中由可達(dá)陣R擴(kuò)張出的列稱(chēng)為擴(kuò)張矩陣，記為Qkuo.考慮2類(lèi)包含錯(cuò)誤標(biāo)定題目屬性的Qt:1)Qt含可達(dá)陣;2)Qt不含可達(dá)陣.測(cè)驗(yàn)項(xiàng)目標(biāo)定屬性時(shí)可能出現(xiàn)的差錯(cuò)，不外乎以下2種情況:(i)在專(zhuān)家標(biāo)注的Qt中，有題目屬性層級(jí)關(guān)系出錯(cuò)，這種錯(cuò)誤在屬性層級(jí)關(guān)系緊密時(shí)卻假設(shè)其是獨(dú)立結(jié)構(gòu)時(shí)容易發(fā)生;(ii)專(zhuān)家標(biāo)定的Qt的列雖然符合屬性層級(jí)關(guān)系，但出現(xiàn)了誤指，即Qt中的第j列應(yīng)為 qj，但專(zhuān)家錯(cuò)標(biāo)為 qi，qj≠qi，而 qj和 qi均為Qp中的列.

本文按以上2種差錯(cuò)情況進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，前提假設(shè)是專(zhuān)家界定的屬性及其層級(jí)關(guān)系正確，只是在對(duì)具體測(cè)驗(yàn)項(xiàng)目標(biāo)定屬性及其層級(jí)關(guān)系時(shí)出錯(cuò).

1 研究思路和研究方法

由于認(rèn)知診斷測(cè)驗(yàn)藍(lán)圖的設(shè)計(jì)中可達(dá)矩陣有重要作用［6］，因此在研究中分別設(shè)計(jì)項(xiàng)目數(shù)相同和錯(cuò)誤列數(shù)相同的測(cè)驗(yàn)矩陣Qt，又分為包含整個(gè)可達(dá)陣、僅僅包含可達(dá)陣某些列以及不包含可達(dá)陣任何列的情況進(jìn)行比較，考察可達(dá)陣是否能夠減輕其他項(xiàng)目屬性標(biāo)注不準(zhǔn)確引起的不良后果.再考慮錯(cuò)誤的列數(shù)不同情況，分別就屬性層級(jí)關(guān)系類(lèi)型的不同進(jìn)行一一比較.

考慮5種基本屬性層級(jí)關(guān)系(線型、收斂型、發(fā)散型、無(wú)結(jié)構(gòu)型和獨(dú)立型)，設(shè)置不同的Qt，通過(guò)插入或者取代可達(dá)陣的若干列對(duì)診斷準(zhǔn)確率的差異來(lái)驗(yàn)證可達(dá)陣對(duì)Qt出現(xiàn)錯(cuò)誤的彌補(bǔ)作用.以下考慮5個(gè)屬性，且屬性及其層級(jí)關(guān)系見(jiàn)圖1.

圖1 屬性及其層級(jí)關(guān)系圖

以下實(shí)驗(yàn)以DINA模型［11-14］為認(rèn)知診斷模型，模擬失誤和猜測(cè)參數(shù)(服從［0.05，0.25］上的均勻分布).在每一個(gè)條件下模擬1000個(gè)被試，重復(fù)做多次實(shí)驗(yàn)求模式判準(zhǔn)率的平均值進(jìn)行比較.整個(gè)實(shí)驗(yàn)過(guò)程均用Matlab語(yǔ)言編程實(shí)現(xiàn).

2 出現(xiàn)第1種差錯(cuò)的實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

2.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

出現(xiàn)第1種差錯(cuò)情況下，設(shè)計(jì)3類(lèi)測(cè)驗(yàn)矩陣Qt:(Ⅰ)Qt中均為Qcuo中隨機(jī)抽取的列;(Ⅱ)隨機(jī)抽取 Qkuo中的1，2，3，…列逐步取代(Ⅰ)中 Qt的第1，2，3，…列;(Ⅲ)用可達(dá)陣 R 中的1，2，3，…列逐步取代(Ⅰ)中Qt的第1，2，3，… 列，并且在同一次實(shí)驗(yàn)中(Ⅰ)、(Ⅱ)和(Ⅲ)相對(duì)固定.比較3類(lèi)測(cè)驗(yàn)矩陣下的模式判準(zhǔn)率，如果情況(Ⅲ)的模式判準(zhǔn)率高于(Ⅰ)和(Ⅱ)，說(shuō)明可達(dá)陣對(duì)項(xiàng)目屬性標(biāo)定出錯(cuò)后有補(bǔ)救作用.由于試驗(yàn)中存在隨機(jī)行為，為減少實(shí)驗(yàn)誤差，采用重復(fù)實(shí)驗(yàn)30次取判準(zhǔn)率的平均值進(jìn)行比較，并且求其均方差以了解各次實(shí)驗(yàn)結(jié)果的變動(dòng)程度.

考慮到以下2種情況:1)在線型結(jié)構(gòu)中，Qp=R，即在該層級(jí)關(guān)系下Qkuo有0列，因而無(wú)法構(gòu)造出不含可達(dá)陣的列，從而也就無(wú)法反襯出可達(dá)陣的彌補(bǔ)作用，所以這里不討論線型結(jié)構(gòu);2)在獨(dú)立結(jié)構(gòu)中，Qp有2n-1列，屬性與屬性之間沒(méi)有先決關(guān)系，也就無(wú)法構(gòu)造不符合屬性層級(jí)關(guān)系的錯(cuò)誤列，所以獨(dú)立結(jié)構(gòu)在第1種情況下不需要討論.因此，對(duì)發(fā)生了第1種屬性標(biāo)錯(cuò)的情況，只討論收斂型、發(fā)散型和無(wú)結(jié)構(gòu)型3種層級(jí)關(guān)系下的各種情況.

2.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

2.2.1 收斂型實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析 由圖1和擴(kuò)張算法，可知Qp有6列，Qkuo只有1列，Qcuo為25列，根據(jù)上述方法構(gòu)造的測(cè)驗(yàn)Qt有8種，記為Qt(k)，k=1，2，…，8，其中 Qt(1):從 Qcuo的 25 列隨機(jī)選 6 列;用Qkuo的1列隨機(jī)取代Qt(1)的1列，得Qt(2);用R的h列隨機(jī)取代Qt(1)的h列，得到Qt(2+h)，h=1，2，3，4，5;Qt(8):用 Qp做測(cè)驗(yàn)項(xiàng)目矩陣.

表1為在收斂型結(jié)構(gòu)下，上述8個(gè)測(cè)驗(yàn)項(xiàng)目矩陣分別實(shí)驗(yàn)30次時(shí)的平均模式判準(zhǔn)率和均方差.以表1中平均值為數(shù)據(jù)繪制折線圖為圖2中帶菱形節(jié)點(diǎn)的折線.

表1 收斂型結(jié)構(gòu)下的平均判準(zhǔn)率和均方差

在表1中，測(cè)驗(yàn)矩陣Qt(1)均由屬性層級(jí)關(guān)系有誤的列構(gòu)成時(shí)，平均判準(zhǔn)率較低，當(dāng)以擴(kuò)展列取代其中1列后，平均判準(zhǔn)率有所提升，隨著Qt中可達(dá)陣列數(shù)的增加，其平均判準(zhǔn)率不斷上升，圖2中帶菱形節(jié)點(diǎn)的折線也清楚地表明這一點(diǎn).特別地，從表1中Qt(2)和Qt(3)看，Qt(3)的平均判準(zhǔn)率更高，說(shuō)明測(cè)驗(yàn)矩陣中其他相同的情況下，含可達(dá)陣列的比含擴(kuò)展列的平均判準(zhǔn)率要高.即當(dāng)出現(xiàn)第1種差錯(cuò)的情況時(shí)，測(cè)驗(yàn)項(xiàng)目中包含可達(dá)陣的的模式判準(zhǔn)率比測(cè)驗(yàn)項(xiàng)目中不包含或不完全包含可達(dá)陣的模式判準(zhǔn)率更高.均方差表明各次實(shí)驗(yàn)結(jié)果的波動(dòng)差異性不大.

2.2.2 發(fā)散型實(shí)驗(yàn)結(jié)果 由圖1和擴(kuò)張算法，可知Qp有10列，則 Qkuo有5列，Qcuo的列數(shù)為21列，根據(jù)上述方法構(gòu)造的Qt有12種，記為 Qt(k)，k=1，2，…，12.其中Qt(1):從 Qcuo的21列隨機(jī)選7列;用Qkuo的h列隨機(jī)取代Qt(1)的h列，得Qt(1+h)，h=1，2，3，4，5;用 R 的 h 列隨機(jī)取代 Qt(1)的 h 列，得到 Qt(6+h)，h=1，2，3，4，5;Qt(12):用 Qp作 Qt.實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2所示，以表2中平均值為數(shù)據(jù)繪制折線圖為圖2中帶矩形節(jié)點(diǎn)的折線.

表2 發(fā)散型結(jié)構(gòu)下平均判準(zhǔn)率和均方差

比較表2中的平均值，其中Qt(7)＞Qt(2)，Qt(8)＞Qt(3)，Qt(9)＞ Qt(4)，Qt(10)＞Qt(5)，Qt(11)＞Qt(6)，說(shuō)明相同情況下擴(kuò)展列的彌補(bǔ)作用不如可達(dá)陣列的，而且用可達(dá)陣的第1列，2列，…去替換，圖2中帶矩形節(jié)點(diǎn)的折線上揚(yáng)，表明平均判準(zhǔn)率呈上升趨勢(shì)，可見(jiàn)可達(dá)陣的彌補(bǔ)作用明顯.均方差結(jié)果表明各次實(shí)驗(yàn)結(jié)果的差異性不大.

2.2.3無(wú)結(jié)構(gòu)實(shí)驗(yàn)結(jié)果 由圖1和擴(kuò)張算法，可知Qp有16列，則Qkuo有11列，Qcuo的列數(shù)為15列，根據(jù)上述方法構(gòu)造的Qt有12種，記為Qt(k)，k=1，2，…，12，其中 Qt(1):從 Qcuo的15列隨機(jī)選7列;而從Qt(2)到Qt(12)的定義和發(fā)散型中相同.實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表3所示，以表3中平均值為數(shù)據(jù)繪制折線圖為圖2中帶三角形節(jié)點(diǎn)的折線.

表3 無(wú)結(jié)構(gòu)平均判準(zhǔn)率和均方差

圖2 發(fā)生第1種差錯(cuò)下Qt不同時(shí)平均判準(zhǔn)率比較

從表4、表5和圖2中帶三角形節(jié)點(diǎn)的折線看出，屬性層級(jí)關(guān)系有誤的列作測(cè)驗(yàn)項(xiàng)目矩陣的情況下，平均判準(zhǔn)率較低，說(shuō)明出現(xiàn)這種差錯(cuò)會(huì)導(dǎo)致判準(zhǔn)率下降，用擴(kuò)展列去替換其彌補(bǔ)作用不明顯，而用可達(dá)陣的列替換，開(kāi)始不明顯，當(dāng)達(dá)到4列以上，其彌補(bǔ)作用就比較明顯.均方差結(jié)果表明各次實(shí)驗(yàn)結(jié)果的差異性不大.

綜上可見(jiàn):當(dāng)出現(xiàn)第1種差錯(cuò)的情況時(shí)，測(cè)驗(yàn)項(xiàng)目中包含可達(dá)陣的模式判準(zhǔn)率比測(cè)驗(yàn)項(xiàng)目中不包含或不完全包含可達(dá)陣的模式判準(zhǔn)率更高.

3 出現(xiàn)第2種差錯(cuò)的實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

3.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

出現(xiàn)第2種差錯(cuò)時(shí)，測(cè)驗(yàn)項(xiàng)目矩陣Qt中的第j列應(yīng)為qj，但錯(cuò)標(biāo)為qi，其中i≠j.而qj和qi都是簡(jiǎn)化關(guān)聯(lián)矩陣Qp中的列.顯然被試仍然按qj作答，而期望反應(yīng)模式的計(jì)算卻以qi為準(zhǔn)，這必造成誤判，使得判準(zhǔn)率不高.為了驗(yàn)證可達(dá)陣是否對(duì)錯(cuò)誤列造成的判準(zhǔn)率下降有彌補(bǔ)作用，以可達(dá)矩陣R為基礎(chǔ)，分別添加qj或者qi，其中添加qj的測(cè)驗(yàn)矩陣記為 Qto，添加qi的測(cè)驗(yàn)矩陣記為Qt.先求基于Qto的模式判準(zhǔn)率PMR5，而后從擴(kuò)展矩陣Qkuo中抽取h列，分別取代上述Qto和Qt中可達(dá)矩陣R部分的h列，h=1，2，…，5，求各種取代后的模式判準(zhǔn)率記為PMR4、PMR3、PMR2、PMR1和 PMR0.觀察 6 種情況下判準(zhǔn)率的變化，隨著Qto中可達(dá)矩陣R部分中的列數(shù)減少，如果判準(zhǔn)率呈下降趨勢(shì)的話，說(shuō)明可達(dá)陣對(duì)出現(xiàn)的差錯(cuò)有彌補(bǔ)作用.

特別地，為了保證實(shí)驗(yàn)的完備性，首先，qj和qi應(yīng)該在簡(jiǎn)化關(guān)聯(lián)矩陣Qp隨機(jī)取不同的2列;其次用來(lái)取代Qto和Qt的R中的列應(yīng)該在Qkuo中隨機(jī)選取.因此，應(yīng)該實(shí)驗(yàn)多次求其平均進(jìn)行比較.

具體而言，實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)如下:1)從簡(jiǎn)化關(guān)聯(lián)矩陣Qp隨機(jī)取出不同的2列作為qj和qi;2)令Qt=［R|qi］，Qto=［R|qj］，求模式判準(zhǔn)率 PMR5;3)從 Qkuo中隨機(jī)取1列取代2)中Qto和Qt的R中的1列，求模式判準(zhǔn)率 PMR5-h;h=1，2，3，4，5;4)重復(fù)以上各步驟 100 次，分別求 PMR5、PMR4、PMR3、PMR2、PMR1和PMR0的平均值進(jìn)行比較.

3.2 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

從圖1的各種層級(jí)關(guān)系的可達(dá)陣和簡(jiǎn)化關(guān)聯(lián)矩陣來(lái)看，線型結(jié)構(gòu)沒(méi)有擴(kuò)張列，收斂型結(jié)構(gòu)擴(kuò)張列只有1列，無(wú)法按上面的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)思路進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，可以采用其他方法實(shí)驗(yàn)(比如采用逐漸增加可達(dá)陣的個(gè)數(shù))，對(duì)此本文不討論，而只討論發(fā)散型、無(wú)結(jié)構(gòu)型和獨(dú)立型3種結(jié)構(gòu).

對(duì)上述6種情況，每種做100次實(shí)驗(yàn).第2種差錯(cuò)下，3種結(jié)構(gòu)下平均判準(zhǔn)率的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表4所示，以表4為數(shù)據(jù)生成圖，如圖3所示.

表4 發(fā)生第2種差錯(cuò)時(shí)模式判準(zhǔn)率比較(100次實(shí)驗(yàn)的平均值)

圖3 發(fā)生第2種差錯(cuò)下平均判準(zhǔn)率比較

從表4和圖3看出，在用擴(kuò)張列替代可達(dá)陣的過(guò)程中，隨著擴(kuò)張列數(shù)增加，可達(dá)陣的列數(shù)隨之減少，3種結(jié)構(gòu)下判準(zhǔn)率都呈下降趨勢(shì).說(shuō)明5個(gè)屬性，錯(cuò)1列的情況下，對(duì)項(xiàng)目標(biāo)定出現(xiàn)第2種差錯(cuò)時(shí)，含可達(dá)陣列數(shù)越多其彌補(bǔ)作用越明顯.

3.3 進(jìn)一步驗(yàn)證

假定測(cè)驗(yàn)項(xiàng)目矩陣Qt中的第j列本來(lái)應(yīng)該是qj，但錯(cuò)標(biāo)為qi，設(shè)計(jì)4類(lèi)Qt以進(jìn)一步驗(yàn)證可達(dá)陣對(duì)其他項(xiàng)目中屬性錯(cuò)誤標(biāo)定的補(bǔ)求作用:1)可達(dá)陣之外再加上未標(biāo)錯(cuò)屬性的1列;2)可達(dá)陣之外再加上標(biāo)錯(cuò)屬性的1列;3)擴(kuò)張部分5列再加上未標(biāo)錯(cuò)屬性的1列;4)擴(kuò)張部分5列再加上標(biāo)錯(cuò)屬性的1列.對(duì)上述4類(lèi)Qt分別實(shí)驗(yàn)求模式判準(zhǔn)率，對(duì)應(yīng)地記為 PMR1、PMR2、PMR3和 PMR4.定義 1 次差值為D1和 D2，其中 D1=PMR1-PMR2，D2=PMR3-PMR4.D1和D2分別表達(dá)可達(dá)矩陣和非可達(dá)矩陣(即擴(kuò)張部分)對(duì)于其他題目的屬性的錯(cuò)誤標(biāo)定的補(bǔ)償作用.考慮到對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的預(yù)期是可達(dá)矩陣對(duì)其他題目屬性的錯(cuò)誤標(biāo)定有比較大的補(bǔ)償功能，所以D1的值應(yīng)該比較小，因此再定義2次差值為D，其中D=D2-D1.如果D＞0，則說(shuō)明可達(dá)矩陣對(duì)于其他題目屬性的錯(cuò)誤標(biāo)定有補(bǔ)償功能.

實(shí)驗(yàn)只考慮發(fā)散型結(jié)構(gòu)、無(wú)結(jié)構(gòu)型和獨(dú)立結(jié)構(gòu)3種類(lèi)型，原因同上述.以DINA模型為認(rèn)知診斷模型，模擬1000被試，模擬失誤和猜測(cè)參數(shù)，對(duì)上述4種Qt分別做實(shí)驗(yàn)，每次實(shí)驗(yàn)從簡(jiǎn)化關(guān)聯(lián)矩陣Qp隨機(jī)取出不同的2列作為qj和qi，從Qkuo中隨機(jī)取5列取代可達(dá)陣構(gòu)造不同的Qt，一次實(shí)驗(yàn)求得4個(gè)模式判準(zhǔn)率 PMR1、PMR2、PMR3和 PMR4，繼而求出模式判準(zhǔn)率的差值D1和D2，重復(fù)實(shí)驗(yàn)100次求100個(gè)差值的平均.整個(gè)實(shí)驗(yàn)過(guò)程均用Matlab語(yǔ)言編程實(shí)現(xiàn).實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表5所示.

表5 3種結(jié)構(gòu)下1次差值和2次差值(100次實(shí)驗(yàn)的平均值)

由表5看出，3種結(jié)構(gòu)下，D1和D2的值均大于0，說(shuō)明在給項(xiàng)目標(biāo)注屬性時(shí)，標(biāo)錯(cuò)屬性會(huì)導(dǎo)致模式判準(zhǔn)率降低;而每種結(jié)構(gòu)下D大于0，即D1小于D2，說(shuō)明測(cè)驗(yàn)矩陣中含可達(dá)陣時(shí)，屬性標(biāo)錯(cuò)時(shí)的判準(zhǔn)率更接近正確標(biāo)注時(shí)的判準(zhǔn)率.可見(jiàn)可達(dá)陣在項(xiàng)目屬性標(biāo)注出錯(cuò)時(shí)確有彌補(bǔ)作用.

4 結(jié)論和展望

通過(guò)對(duì)5個(gè)屬性，5種屬性層級(jí)關(guān)系結(jié)構(gòu)的模擬實(shí)驗(yàn)得出:測(cè)驗(yàn)項(xiàng)目中包含可達(dá)陣的模式判準(zhǔn)率比測(cè)驗(yàn)項(xiàng)目中不包含或不完全包含可達(dá)陣的模式判準(zhǔn)率更高，而且可達(dá)陣對(duì)其他項(xiàng)目屬性標(biāo)定中出現(xiàn)的差錯(cuò)有一定的補(bǔ)救作用.這進(jìn)一步驗(yàn)證了可達(dá)陣的在測(cè)驗(yàn)編制中的重要作用.如果在測(cè)驗(yàn)項(xiàng)目矩陣中加入可達(dá)陣，使各種知識(shí)狀態(tài)對(duì)應(yīng)不同的理想反應(yīng)模式，哪怕其他項(xiàng)目質(zhì)量稍差一些，都可以最大限度地提高診斷準(zhǔn)確率.這表明在實(shí)際工作中，命題專(zhuān)家對(duì)于可達(dá)陣的列對(duì)應(yīng)的題目應(yīng)該精雕細(xì)刻，因?yàn)樗鼈兛梢允筈t有一定的穩(wěn)健性.

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