一類非線性分?jǐn)?shù)階微分方程反周期邊值問題解的存在性

謝志勇，謝顯華，馬 麗

(贛南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西贛州341000)

0 引言

分?jǐn)?shù)階常微分方程是經(jīng)典的整數(shù)階常微分方程的推廣，它是將整數(shù)階的導(dǎo)數(shù)用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)來替換.而與整數(shù)階微分方程相比，分?jǐn)?shù)階微分方程的優(yōu)勢在于它能更好地模擬自然界的物理過程和動態(tài)系統(tǒng)過程.近年來，分?jǐn)?shù)階微分方程已作為一個重要的研究領(lǐng)域，它將經(jīng)典微分方程推廣到任意階的情形.現(xiàn)在分?jǐn)?shù)階微分方程在電子控制、多孔介質(zhì)等許多領(lǐng)域上都有應(yīng)用.關(guān)于分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在唯一性問題、一些特殊分?jǐn)?shù)階微分方程解的性態(tài)問題、分?jǐn)?shù)階微分方程數(shù)值解的研究參見文獻(xiàn)［1-16］.

反周期邊值問題理論廣泛應(yīng)用于描述波動環(huán)境中物理現(xiàn)象的演化.許多學(xué)者關(guān)注于分?jǐn)?shù)階微分方程反周期邊值問題解的存在性和唯一性問題.文獻(xiàn)［6］考慮了分?jǐn)?shù)階微分方程反周期邊值問題:

其中CDq表示q階Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，f是給定的連續(xù)函數(shù).研究結(jié)果主要是基于標(biāo)準(zhǔn)不動點(diǎn)原理得出的.除此之外，文獻(xiàn)［7］研究了分?jǐn)?shù)階微分方程反周期邊值問題:

其中CDα表示α階Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，T是1個正的常數(shù)，1＜ α≤2，0＜ p，q＜ 1，α -q≥1和f是1個給定的連續(xù)函數(shù).

方程(1)中，如果f不僅是t，u(t)的函數(shù)，而且也是CDqu(t)的函數(shù)，那么方程所描述的物理現(xiàn)象將更普遍.一個自然的問題就是其解的存在唯一性是否能夠成立呢?本文將考慮如下分?jǐn)?shù)階微分方程反周期邊值問題解的存在性和唯一性:

其中CDβ表示β階Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，T是1個正的常數(shù)，1＜ α≤2，0＜ β≤1，0＜ q＜ 1，α -q≥1，f是1個給定的連續(xù)函數(shù)和λ是實數(shù).

1 預(yù)備知識

本節(jié)將給出一些用到的基本概念、記號、定義和已有結(jié)果.

定義1 函數(shù)f:［0，∞)→R的α階Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

其中［α］表示α的整數(shù)部分.

定義2 函數(shù)f(t)，t＞0的Riemann-Liouville α階(α＞0)分?jǐn)?shù)階積分定義為

假定右端是在(0，∞)上逐點(diǎn)定義的.

定義3 函數(shù)f(t)，t＞0的Riemann-Liouville α(α＞0)階分?jǐn)?shù)次導(dǎo)數(shù)定義為

其中n=［α］+1，假定右端是在(0，∞)上逐點(diǎn)定義的.

引理1 設(shè)α＞0，則分?jǐn)?shù)階微分方程CDαu(t)=0有形如

u(t)=c0+c1t+c2t2+…+cn-1tn-1的解，其中ci∈R，i=0，1，2，…，n-1，n=［α］+1.

引理2 設(shè)α ＞0，則對于某些ci∈R，i=0，1，2，…，n-1，n= ［α］+1，有IαCDαu(t)=u(t)+c0+c1t+c2t2+… +cn-1tn-1.

引理3 設(shè)E是Banach空間X中閉的非空凸子集，F(xiàn):E→E是連續(xù)映射且F(E)是X的相對緊致子集，則F在E中至少有1個不動點(diǎn).

引理5 邊值問題CDβ(CDα+λ)u(t)=f(t，u(t)，CDqu(t))，t∈［0，T］，1＜ α≤2，0＜ q＜ 1，α-q≥1，0＜β≤1的解為

證 證明過程與文獻(xiàn)［4］的(1.5)相類似，此處略.

2 主要結(jié)果

本節(jié)主要討論問題(2)解的存在性.設(shè)J=［0，T］和C(J)是所有定義在J上連續(xù)實函數(shù)構(gòu)成的空間.定義空間X={x(t)∈C(J)}且賦予范數(shù)‖x‖=(其中0＜q＜1).顯然，(X，‖·‖)是 Banach空間.

定理1 設(shè)f:J×R×R→R是連續(xù)函數(shù).假定存在1個常數(shù)l∈(0，β］和1個實值函數(shù)m(t)∈L1/l(［0，T］，(0，∞))(l ＞ 1)使得，其中 d1，d2≥ 0，0≤ρ1，ρ2＜1，則問題(2)在［0，T］至少有1個解.

證根據(jù)引理3，問題(2)等價于如下積分方程:

定義 Br={u(t)∈ X，‖u‖≤r，t∈ J}，則‖CDqu(t)‖≤r，其中

注意到Br是Banach空間X的1個有界閉凸子集.?x∈Br，由引理4(H?lder不等式)得

注意到Beta函數(shù)的性質(zhì):

從而

對于每個x∈Br，將證明如果t1，t2∈J，且0＜t2-t1＜ δ，那么‖(Fu)(t2)-(Fu)(t1)‖＜ε.

事實上，

由平均值定理和(4)式得

故有‖(Fu)(t2)-(Fu)(t1)‖＜ε.

因此，F(xiàn)是同等連續(xù)和一致有界的.由Arzela-Ascoli定理可知F在Br上是緊致的，故算子F是全連續(xù)的.于是算子F滿足引理3的條件，由引理3知反周期邊界值問題(2)在［0，T］上至少有1個解.

3 結(jié)論與展望

本文主要利用Schauder不動點(diǎn)定理、微積分中值定理和H?lder不等式等方法研究了一類非線性分?jǐn)?shù)階微分方程(2)有解的1個充分條件.在今后的研究中將討論解的唯一性，從而為這類微分方程的數(shù)值解的計算奠定理論基礎(chǔ).

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