超AKNS方程族和AKNS方程族的一致性探究

牛華偉，白二彪

(1.平頂山教育學(xué)院 數(shù)學(xué)系,河南 平頂山 467000； 2.鄭州大學(xué) 數(shù)學(xué)系，河南 鄭州 450001)

在研究發(fā)展方程對(duì)稱的過(guò)程中，人們發(fā)現(xiàn)在物理中提煉出來(lái)的非線性發(fā)展方程及其所屬的方程族(例如KdV[1]1-7，[2]51-57和AKNS[3]，[4]方程族)都有無(wú)窮多對(duì)稱這樣的一個(gè)共性.由此，人們認(rèn)為發(fā)展方程具有無(wú)窮多對(duì)稱是方程可積的一個(gè)特征.如此推來(lái)，關(guān)于發(fā)展方程對(duì)稱的研究必將推動(dòng)代數(shù)幾何中發(fā)展方程可積性質(zhì)的發(fā)展，也正是基于這樣的原因，對(duì)稱的研究得到了相當(dāng)?shù)闹匾?通過(guò)研究人們發(fā)現(xiàn)，可積發(fā)展方程同時(shí)具有K對(duì)稱和τ對(duì)稱，并且這些K對(duì)稱和τ對(duì)稱通常還能構(gòu)成一個(gè)向量場(chǎng)Lie代數(shù)的Lie子代數(shù),他們具有簡(jiǎn)潔的統(tǒng)一形式.人們進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到對(duì)稱與發(fā)展方程具有深層次的聯(lián)系.在孤立子發(fā)展方程蓬勃發(fā)展的過(guò)程各種研究對(duì)象及其討論的范圍得到了大力的擴(kuò)充，其中超空間超變量是其中的一方面，超空間是歐式空間的一種推廣，包含兩種變量，這兩種變量分別刻畫(huà)了量子力學(xué)中的波色子和費(fèi)米子的性質(zhì)，這個(gè)研究方向創(chuàng)世于上世紀(jì)中葉，后來(lái)形成了超對(duì)稱理論.經(jīng)過(guò)幾十年的發(fā)展，形成了尋找方程的對(duì)稱并構(gòu)建其Lie代數(shù)結(jié)構(gòu)的理論體系.理論研究中大部分只研究一般方程的對(duì)稱，或只研究超方程的性質(zhì)而沒(méi)有將兩者結(jié)合起來(lái).本文正是基于這種情形，研究了超AKNS方程族和AKNS方程族的對(duì)稱及其Lie代數(shù)結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)他們的一致性[1]1-7,[2]51-57,[3]15，[4]4.

考慮如下3×3的Lax對(duì)的特征值問(wèn)題：

其中ξ是一個(gè)特征參數(shù)，q,r,α,β,A,B,C,ρ,δ是變量x,t的函數(shù).其中函數(shù)q,r, A,B,C是偶的，α,β,ρ,δ是奇的.通過(guò)相容性原理，可以得到超AKNS方程族：

其中

定理2 超AKNS方程族的方程ut=φnKo，l=0,1,2,…有對(duì)稱：

(Ⅱ)φm'[τln]=[τl'n,φm]+mφm+n-1，n=0，1，2，….，m=0,1,2,…，

定理3 超AKNS方程族(2)的對(duì)稱(5)構(gòu)成一個(gè)Lie代數(shù)：

[Km,Kn]=0，

[Km,τln]=mKm+n-1，

[τlm,τln]=(m-n)τlm+n-1，

l=1，2，3，…,m,n=0,1,2,…，

當(dāng)取2×2的Lax對(duì):

相應(yīng)可得到AKNS方程族：

其中

l=1，2，3，…,m,n=0,1,2,…

通過(guò)上面的討論可以發(fā)現(xiàn)，超變量的引入沒(méi)有影響超AKNS方程族對(duì)稱及其Li代數(shù)結(jié)構(gòu)的討論，從而超AKNS方程族和AKNS方程族的對(duì)稱和Lie代數(shù)結(jié)構(gòu)在形式上是一致的.

[1] 王寶勤，張飛軍.源于KdV方程的延拓結(jié)構(gòu)的方程與對(duì)稱[J].新疆師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，1998,17(02).

[2] 斯仁道吉爾.組合KdV方程的強(qiáng)對(duì)稱、對(duì)稱及其Lie代數(shù)[J].內(nèi)蒙古師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)漢文版)，1992,(s1).

[3] 陳守婷.半離散AKNS系統(tǒng)的對(duì)稱及代數(shù)結(jié)構(gòu)[D].上海：上海大學(xué)，2011.

[4] 袁洪芬.超空間上Dirac型方程解的性質(zhì)[D].石家莊：河北師范大學(xué)，2012.