一種基于有限元分析的楊氏模量的能量等效方法

吳曉東，盛美萍，張安付，屈忠鵬

（西北工業(yè)大學(xué) 航海學(xué)院，陜西 西安 710072）

在研究結(jié)構(gòu)振動特性中，楊氏模量一種常用的參數(shù)，用于描述固體材料抵抗形變能力。在結(jié)構(gòu)動態(tài)特性研究中，對于常用金屬材料，可以使用通過靜力試驗測得的楊氏模量值，但對于粘彈性材料，當(dāng)其受動態(tài)力激勵時，其楊氏模量是隨激勵頻率變化的，通常稱為動態(tài)楊氏模量，因此，在研究具有粘彈性結(jié)構(gòu)動態(tài)特性中就不能使用靜力試驗測得的粘彈性材料靜態(tài)楊氏模量。現(xiàn)已有多種實驗方法[1,2]測量動態(tài)楊氏模量，如正弦力激勵法、諧振實驗法、自由衰減法、振動梁法。動態(tài)楊氏模量比靜力法測得的楊氏模量更真實地反映結(jié)構(gòu)動態(tài)能量特性，但對結(jié)構(gòu)動態(tài)能量特性的軟件仿真和數(shù)值計算中，輸入動態(tài)楊氏模量較為困難或者無法輸入，例如Autosea軟件是計算結(jié)構(gòu)動態(tài)特性的常用軟件，但是只能在Autosea軟件中輸入楊氏模量的常值，這就造成了軟件仿真的誤差。針對此問題，本文提出了一種運用有限元分析，以得到既能反映動態(tài)楊氏模量的能量特性，又能便于在軟件中輸入等效楊氏模量，用于該結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性計算。該方法以具有粘彈性材料自由阻尼板為例進(jìn)行闡述。此外，由于本文篇幅有限，如無特殊說明，以下楊氏模量簡稱模量，動態(tài)楊氏模量簡稱動態(tài)模量，等效楊氏模量簡稱等效模量。

1 優(yōu)化可行性分析

波速法可以獲取粘彈性材料自由阻尼板上的阻尼層粘彈性材料的動態(tài)楊氏模量。通過波速法獲取4組100~3 000 Hz頻段內(nèi)對數(shù)平均分布的100個頻率點處的模量數(shù)據(jù)。其中一組數(shù)據(jù)如圖1所示。

圖1 動態(tài)楊氏模量Fig.1 Figure of dynamic Young's modulus

由圖1可知，阻尼材料模量隨頻率增大而增大，低頻增速較快高頻增速放緩，且曲線連續(xù)，與實際情況相符[1]。結(jié)構(gòu)受激時，由激勵點位移ξ和力F求取輸入功率P用以表征激勵點的能量特性，如式（1）所示[3]

取3個靜態(tài)模量，分別為模量范圍內(nèi)的下限模量Emin、中間模量Emid和上限模量Emax，分別求取該模量下自由阻尼板結(jié)構(gòu)的輸入功率，并與動態(tài)模量下的輸入功率P0比較，如圖2所示。

圖2 3種模量常值與動態(tài)模量下的輸入功率Fig.2 Input power using dynamic and three constant modulus

由圖2可知，所有輸入功率曲線總體來說較為接近，但各頻段的接近程度不一樣。下限模量的輸入功率在低頻與動態(tài)模量輸入功率接近，而上限模量的輸入功率在高頻與動態(tài)模量輸入功率接近，這與動態(tài)模量隨頻率增大而增大的事實相符。

任取一模量常值Et，求取該模量下的輸入功率Pt。輸入功率Pt和P0為隨頻率變化的數(shù)組，設(shè)維數(shù)為n，取errort為Pt與P0的誤差的評估值。

由表1可知，模量常值為1.00×108時的輸入功率與動態(tài)楊氏模量下的輸入功率更為接近，在所選的6組模量常值中，它更能代表動態(tài)楊氏模量的能量特征，更反映真實情況。楊氏模量曲線連續(xù)，則其誤差曲線也連續(xù)，在考察頻率范圍內(nèi)，必存在一個誤差值最小，最能代表動態(tài)模量的模量常值。隨后可用有限元優(yōu)化模塊搜索整個區(qū)間并獲取最小誤差下的模量常值。

表1 不同模量常值下的輸入功率誤差Tab.1 The error of input power using different constant modulus

2 有限元優(yōu)化

2.1 模型建立

以自由阻尼板為例建立仿真模型，其中基底層長0.5 m，寬 0.4 m，厚 0.003 m，密度 7 800 kg/m3，泊松比 0.28，楊氏模量 2.06×1011Pa，損耗因子 0.01；阻尼層長 0.5 m，寬 0.4 m，厚0.01 m，密度1 100 kg/m3，泊松比0.49，其楊氏模量和損耗因子都是隨頻率變化的動態(tài)數(shù)據(jù)，逐個分析頻點賦值。

在ANSYS有限元軟件中建立自由阻尼板的有限元模型。模型基底層采用shell63殼單元，阻尼層采用solid45體單元，自由劃分網(wǎng)格。由于網(wǎng)格尺寸必須小于波長的1/6，故根據(jù)分析頻率范圍(100~3 000 Hz)和材料參數(shù)，厚0.003 m基底層彎曲波波長下限為0.420 9 m，0.01 m阻尼層波長下限為0.131 5 m，故網(wǎng)格尺寸上限分別為0.070 2 m和0.021 9 m[4]。取殼單元尺寸為0.01 m，體單元尺寸為0.003 m，劃分自由網(wǎng)格后，共生成殼單元2 000個和體單元8 000個。以板一頂點為原點，以該頂點所在兩邊為X、Y坐標(biāo)，建立平面坐標(biāo)系，激勵點在坐標(biāo)（0.3,0.3,0）處，激振力為簡諧激勵，大小為1 N，按實驗測量頻點逐個進(jìn)行諧響應(yīng)分析。激勵位置如圖3所示，有限元模型如圖4所示。

2.2 分析及數(shù)據(jù)提取

輸入動態(tài)模量數(shù)據(jù)和動態(tài)損耗因子數(shù)據(jù)，對圖4結(jié)構(gòu)，按實驗測量頻點逐個進(jìn)行諧響應(yīng)分析，提取激勵點的力和位移數(shù)據(jù)，求得每個頻率點處的輸入功率，以獲得動態(tài)模量輸入功率 P0。

圖3 激勵位置Fig.3 The point to excite the structure

圖4 有限元分析模型Fig.4 The FEA model

2.3 優(yōu)化設(shè)計

再進(jìn)行預(yù)分析，輸入模量常值和動態(tài)損耗因子數(shù)據(jù)，同樣對圖4結(jié)構(gòu)，按實驗測量頻點逐個進(jìn)行諧響應(yīng)分析，提取激勵點的力和位移數(shù)據(jù)，求得每個頻率點處的輸入功率，得到模量常值輸入功率Pt，再根據(jù)模量常值輸入功率Pt和動態(tài)模量輸入功率P0，獲取二者誤差errort。

以模量常值Et為設(shè)計變量，以模量常值輸入功率Pt與動態(tài)模量輸入功率P0的誤差errort為目標(biāo)變量，調(diào)用ANSYS優(yōu)化模塊進(jìn)行優(yōu)化。ANSYS優(yōu)化模塊中的優(yōu)化算法有零階方法、一階方法、隨機(jī)搜索法、等步長搜索法、乘子計算法、最優(yōu)梯度法和用戶自定義方法。

由于優(yōu)化目標(biāo)變量分布情況未知，故本文先用等步長搜索法確定整個頻率空間內(nèi)誤差分布，確定局部極小值點范圍，再對每個極小值點，縮小設(shè)計變量取值范圍，縮小收斂界限，進(jìn)行一階分析，精確地找出最小誤差的局部極值點，誤差最小的局部極小值則為優(yōu)化后的優(yōu)化模量值。詳細(xì)優(yōu)化流程及程序代碼如圖5所示。

圖5 優(yōu)化流程Fig.5 Flow chart of optimization

3 優(yōu)化結(jié)果分析

對4組實驗提供的動態(tài)模量數(shù)值進(jìn)行優(yōu)化后得到等效模量常值Ea，如表2所示。

表2 等效模量常值及其誤差Tab.2 Errors and range of dynamic modulus

相比表1，經(jīng)等效之后，輸入功率誤差比任取更小。且隨著動態(tài)模量變化范圍越窄，相應(yīng)誤差越小。

分別代入等效模量常值進(jìn)行分析，得到等效后的輸入功率，并與動態(tài)模量的輸入功率對比，如圖6~9所示。

由圖6~9知，本文的等效方法所得的4種數(shù)據(jù)的等效模量常值下的輸入功率，在考察頻段內(nèi)，分別與該4種材料的動態(tài)模量下的輸入功率比較，結(jié)果都較為接近，能很好的反映該頻段內(nèi)受激勵點的能量特性。對于模量變化范圍窄的動態(tài)模量，等效作用不明顯。反之，對模量變化范圍寬的動態(tài)模量，等效作用更顯著。

4 結(jié)論

圖6 第1組等效結(jié)果Fig.6 Result of equivalence for the 1st time

圖7 第2組等效結(jié)果Fig.7 Result of equivalence for the 2nd time

圖8 第3組等效結(jié)果Fig.8 Result of equivalence for the 3rd time

圖9 第4組等效結(jié)果Fig.9 Result of equivalence for the 4th time

本文提出一種基于能量等效原則，將粘彈性材料的動態(tài)楊氏模量等效為楊氏模量常值方法。利用有限元軟件的優(yōu)化模塊，從動態(tài)模量數(shù)據(jù)中獲取了最接近動態(tài)模量下的等效模量常值，以用于特定結(jié)構(gòu)的軟件和數(shù)值仿真計算，為工程應(yīng)用提供便利。

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