旋轉(zhuǎn)封閉薄壁球殼輻射噪聲的多極展開方法

侯明明，吳九匯，姜 寧

（1.西安交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，710049，西安；2.南通職業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，226007，江蘇南通）

旋轉(zhuǎn)機(jī)械工作時產(chǎn)生的噪聲主要包括機(jī)械結(jié)構(gòu)噪聲和氣動噪聲兩大部分。機(jī)械在正常運(yùn)轉(zhuǎn)時，氣動噪聲占主要成分，也是比較難以控制的。由于氣動噪聲產(chǎn)生的機(jī)理十分復(fù)雜，目前還缺乏能完全駕馭復(fù)雜流動過程噪聲產(chǎn)生機(jī)理及其分布的成熟理論和系統(tǒng)設(shè)計體系。因此，旋轉(zhuǎn)機(jī)械氣動噪聲產(chǎn)生及分布機(jī)理的研究具有重要意義。

20世紀(jì)中后期，“聲比擬”理論的提出及應(yīng)用使得氣動噪聲理論研究取得突破性進(jìn)展［1］。1952年英國科學(xué)家Lighthill運(yùn)用聲類比法得到了著名的Lighthill方程［2-3］，這成為研究氣動聲學(xué)問題的基本方程。1955年Curle采用Kirchhoff積分方法將Lighthill的理論推廣到考慮靜止固體邊界的影響的理論［4］。1969年 Fowcs Williams和 Hawkings應(yīng)用廣義Green函數(shù)法將Curle的結(jié)果擴(kuò)展到考慮運(yùn)動固體邊界對流體發(fā)聲的影響，得到了著名的FWH方程［5］，F(xiàn)W-H方程被認(rèn)為是迄今為止Lighthill聲學(xué)類比法最一般的表達(dá)形式。除“聲比擬”方法外，20世紀(jì)60年代，Powell和Howe等研究了聲波和湍流的相互作用問題［6-9］。研究表明，聲波的產(chǎn)生同流體中的旋渦具有密切的關(guān)系，從而提出了渦聲理論，該理論較“聲比擬”方法能更明晰地從物理意義的角度解釋聲波的產(chǎn)生以及聲波與渦之間的能量關(guān)系。另外，Lighthill詳細(xì)研究了點源作勻速直線運(yùn)動時產(chǎn)生的聲場，得到了輻射聲場在遠(yuǎn)場的結(jié)果［1］。Lowson詳盡研究了點聲源在任意運(yùn)動情形下產(chǎn)生的聲場，并得到了該情形下點聲源在遠(yuǎn)場的聲壓解［10］。

另一個經(jīng)典的聲學(xué)公式是Kirchhoff方程，該方程是假設(shè)在聲源周圍有一個流動狀況已知的假想面，然后通過積分來求解線性聲學(xué)問題。為了確保在假想面外線性聲場占據(jù)主導(dǎo)地位，這個面所在的位置必須距離聲源足夠遠(yuǎn)［11］。1882年Kirchhoff公式被首次提出，1930年Morgans用格林函數(shù)法推導(dǎo)出了運(yùn)動聲源面的Kirchhoff公式，1988年Farassat和Myers運(yùn)用廣義函數(shù)理論推導(dǎo)出了更一般形式的 Kirchhoff公式［12］。

對于葉片式旋轉(zhuǎn)機(jī)械來說，流激振動引起的外部輻射噪聲機(jī)理的研究可集中于該機(jī)械內(nèi)部葉片旋轉(zhuǎn)過程中產(chǎn)生的氣動噪聲。氣動噪聲聲源可以通過多極展開分解為單極子噪聲源、偶極子噪聲源和四極子聲源，即旋轉(zhuǎn)葉片表面上任一微元的厚度源、力源和黏滯應(yīng)力源分別對應(yīng)單極子源、偶極子源和四極子源。因此，在線性條件下，旋轉(zhuǎn)過程中流激振動引起的外部輻射噪聲，就是由葉片上所有微元處的單極源、偶極源在殼體外部輻射噪聲場的疊加。

國內(nèi)上海交通大學(xué)的鐘芳源教授、清華大學(xué)的居鴻賓等對旋轉(zhuǎn)運(yùn)動點聲源近場聲學(xué)頻域解進(jìn)行了研究［13］。2000年，西安交通大學(xué)的吳九匯從理論上推導(dǎo)出了自由空間旋轉(zhuǎn)點源的聲場［14］，并進(jìn)一步研究了旋轉(zhuǎn)偶極聲源的輻射聲場。同年，吳九匯采用覆蓋域的概念，給出了任意形狀封閉薄殼的內(nèi)部散射聲場的統(tǒng)一表達(dá)式，并用互易原理求解封閉薄殼在外力作用下的內(nèi)部聲場［15］。2003年，吳九匯從球坐標(biāo)中的聲波波動方程出發(fā)，利用本征函數(shù)展開方法和界面邊界條件，導(dǎo)出了雙層彈性封閉球殼的內(nèi)部散射聲場表達(dá)式［16］。2006年，時勝國等以實際應(yīng)用需求為背景，從理論上分析了平面聲波在彈性球殼上的衍射聲壓場［17］。2010年，劉志紅應(yīng)用運(yùn)動媒質(zhì)聲學(xué)理論和克希荷夫積分方法，從運(yùn)動聲源聲輻射預(yù)估模型和聲場特性兩個方面對聲輻射預(yù)估理論進(jìn)行了深入研究［18］。2012年，夏琳琳利用解析法以及有限元法，以球殼、圓柱殼和兩端帶帽加肋圓柱殼為例，研究分析了點激勵下輻射聲場的標(biāo)量及矢量特性［19］。

本文在此基礎(chǔ)上，利用聲學(xué)互易定理，對簡單封閉薄壁球殼作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動時的輻射聲場進(jìn)行了研究。

1 聲學(xué)互易定理

聲學(xué)互易定理［20］將兩個聲源的聲場聯(lián)系起來，它適用于線性系統(tǒng)，滿足聲場的疊加原理，即由聲源和表面振動產(chǎn)生的空間任一點的聲場進(jìn)行疊加而互不影響。

如圖1所示，當(dāng)空間存在彈性物體或彈性殼體時，物體表面S與無限大半徑的球面S′圍成的聲場體積為V，q1（r）和q2（r）為兩個聲源，f1（r）和f2（r）為兩個分布力。

圖1 彈性表面在聲源和力作用下的互易原理示意圖

彈性表面在一個簡單聲源q1（r）和一個外力f2（r）的作用下，空間任一點rt（rt，θt，φt）處的輻射聲壓P2（r，rt）和q1（r）聲源作用下的散射聲場P1（r，rt）之間的關(guān)系可表示為

2 封閉薄壁球殼散射聲場計算

根據(jù)聲學(xué)互易定理，為了求解封閉薄壁球殼在外力作用下的輻射聲場，首先要求解散射聲場。選取球坐標(biāo)系（r，θ，φ），使薄壁球殼中心和坐標(biāo)原點重合，球殼半徑為R，如圖2所示。假設(shè)在薄壁球殼內(nèi)部任意一點r0（r0，θ0，φ0）處存在一單位強(qiáng)度的點聲源q。由于聲源q的作用，球殼內(nèi)部的散射聲場可以表示為［21］

圖2 封閉薄壁球殼內(nèi)部聲散射示意圖

球殼外部輻射聲場為

式（2）和（3）中：Bn、Cn為待定系數(shù)；波數(shù)k=ω／c，c為聲速（kr）為第一類Hankel函數(shù)；（cosθ）為第一類Legendre函數(shù)。下面用薄壁球殼徑向位移方程以及邊界條件來確定Bn、Cn的值。根據(jù)文獻(xiàn)［15］、［22］、［23］，由薄壁球殼徑向位移滿足的六階方程，以及薄壁球殼與周圍介質(zhì)在交界面上滿足的邊界條件可確定Bn和Cn的值

式中：jn（kR）為球Bessel函數(shù)；h為球殼厚度；R 為封閉球殼半徑；μ為波松比；k=ω／c為波數(shù)；ω為聲場角頻率；c為聲速；ε=h2／12R2；kt=1+ε；kr=1+3h2／20R2。

同理，可以得到在封閉薄壁球殼外部某一點r1（r1，θ1，φ1）處存在一單位強(qiáng)度點聲源時，外部任一點r（r，θ，φ）處的散射聲場的表達(dá)式，即

3 旋轉(zhuǎn)薄壁球殼的空間輻射聲場

前面的計算中，都是以薄壁球殼自身的球心為坐標(biāo)原點而建立的空間球坐標(biāo)系。要研究薄壁球殼圍繞一個固定旋轉(zhuǎn)軸作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，就要計算旋轉(zhuǎn)輻射聲場，而且要對坐標(biāo)系進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

3.1 空間坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換

如前所述，在應(yīng)用式（10）求解聲場中某一點A的散射聲場時，得到的結(jié)果只是局部坐標(biāo)下的散射聲場。下面進(jìn)行坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換，如圖3所示。

圖3 空間坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換示意圖

圖中oxyz為空間直角坐標(biāo)系，ocxcyczc為空間局部直角坐標(biāo)系。點oc為旋轉(zhuǎn)薄壁球殼的球心坐標(biāo)為（xc，yc，zc），相應(yīng)的球坐標(biāo)為（rc，θc，φc），則空間任一點A在oxyz坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（x，y，z），相應(yīng)的球坐標(biāo)形式為（r，θ，φ）。經(jīng)過數(shù)學(xué)計算可求解出點A在ocxcyczc坐標(biāo)系中的表達(dá)式。

因此，將局部坐標(biāo)下的散射聲場轉(zhuǎn)換為全局坐標(biāo)下的散射聲場的表達(dá)式為

3.2 旋轉(zhuǎn)薄壁球殼空間輻射聲壓計算

對于任意運(yùn)動物體的聲場結(jié)構(gòu)，可由FW-H方程描述［5］。假設(shè)聲源處于無限空間中，聲學(xué)介質(zhì)靜止且場是準(zhǔn)定常的。首先建立坐標(biāo)系，設(shè)觀察點位置和時間坐標(biāo)分別為X，t；在此聲學(xué)環(huán)境中有一運(yùn)動聲源分布V（τ），其強(qiáng)度為P（r，τ）；此運(yùn)動聲源的位置和時間坐標(biāo)分別為ξ和τ，此聲源產(chǎn)生的聲壓為

式中：rS=|X-ξ（τ）|表示源到觀察點間的距離；g=t-τ-rS／c為延遲時間。對上式做傅里葉變換［24］，可得任意運(yùn)動聲源聲場的頻域解

下面討論封閉薄壁球殼作為聲源在做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動時的情形。采用如圖4所示的球坐標(biāo)系，假設(shè)薄壁球殼在xy平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，坐標(biāo)原點取在旋轉(zhuǎn)中心處，z為極軸，也是旋轉(zhuǎn)軸，又設(shè)薄壁球殼初始位置在rb處，即球心在rb（r，π／2，φb）處，空間觀察點 A 在r0（r0，θ0，φ0）處。任意時刻τ，薄壁球殼旋轉(zhuǎn)運(yùn)動到r處，即球心位置移到r（r，π／2，φ）處，若其旋轉(zhuǎn)角頻率為Ω，則φ=φb+Ωτ，rS=+r2-2r·r0cosβ）1／2為旋轉(zhuǎn)薄壁球殼球心到觀察點的距離，β為r0和r之間的夾角。

圖4 薄壁球殼旋轉(zhuǎn)運(yùn)動示意圖

經(jīng)過數(shù)學(xué)計算，式（13）可以改寫為

式中P（r，ω）是P（r，τ）的傅里葉變換。

根據(jù)文獻(xiàn)［25］有如下公式

式中：r＜和r＞分別表示r和r0中的較小值和較大值。Pm（cosβ）可根據(jù) Legendre函數(shù)的加法公式［25］展開如下

式（18）即為封閉薄壁球殼作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動時空間任一點處輻射聲壓的計算公式。

3.3 旋轉(zhuǎn)薄壁球殼空間輻射聲壓的實例計算

如圖4所示，假設(shè)現(xiàn)有一封閉的薄壁球殼在自由空間做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，旋轉(zhuǎn)平面在xy平面，旋轉(zhuǎn)軸是空間坐標(biāo)軸z軸。空間有一觀察點A在ro（ro，θo，φo）處，球殼的初始位置在rb（r，θb，φb）處，在任意時刻τ球殼旋轉(zhuǎn)運(yùn)動到r（r，θ，φ）處，若旋轉(zhuǎn)角頻率為Ω，則有φ=φb+Ωτ。

計算實例中的各參數(shù)分別設(shè)定如下：球殼自身半徑為R，球殼的壁厚為h=0.001m；球殼材質(zhì)為鋼球，已知鋼材的密度為ρ=7 800kg／m3；彈性模量E=2.1×1011N／m2；泊松比μ=0.3；平均剪切系數(shù)ks=1.2；大氣壓強(qiáng)P0=1.013×105Pa；空氣介質(zhì)密度為ρ0=1.293kg／m3；聲速c=340m／s；觀察點位置坐標(biāo)，r0=2.0m，φ0=-π／4；球殼的初始相位角為φb=0；球殼的旋轉(zhuǎn)半徑r=0.5m。針對不同的旋轉(zhuǎn)頻率ω0或不同的球殼半徑，利用式（18）的公式進(jìn)行以下3組計算：計算結(jié)果分別如圖5、6、7所示，它們表示在不同觀察角θ0處聲壓幅值的諧波分布。

圖5 旋轉(zhuǎn)薄壁球殼輻射聲壓幅值的諧波分布（第1組計算）

圖6 旋轉(zhuǎn)薄壁球殼輻射聲壓幅值的諧波分布（第2組計算）

圖7 旋轉(zhuǎn)薄壁球殼輻射聲壓幅值的諧波分布（第3組計算）

由圖可以看出，薄壁球殼旋轉(zhuǎn)時產(chǎn)生的輻射聲場受旋轉(zhuǎn)頻率和球殼半徑影響比較大，可得如下的聲場特性：

（1）隨觀察角θ0的增加，諧波分布越來越豐富，且對應(yīng)的聲壓幅值在大部分區(qū)域都有所增強(qiáng)；

（2）旋轉(zhuǎn)頻率變化對諧波分布影響非常大，會出現(xiàn)明顯的多普勒效應(yīng)；

（3）θ0較小時，當(dāng)旋轉(zhuǎn)頻率增大，諧波分布變化不大，θ0較大時，隨著旋轉(zhuǎn)頻率增大，聲壓幅值諧波分布更加豐富，且聲壓幅值明顯增大；

（4）當(dāng)旋轉(zhuǎn)頻率保持不變時，隨著薄壁球殼半徑的增大，在所有θ0范圍內(nèi)，聲壓幅值都有所加強(qiáng)，諧波分布也愈豐富。

4 任意復(fù)雜形狀旋轉(zhuǎn)封閉薄殼空間輻射聲場

前面主要針對封閉的薄壁球殼展開研究，但在一般情況下，面對的都是一些復(fù)雜形狀的殼體結(jié)構(gòu)，此時就不能直接、簡單地應(yīng)用前文的推導(dǎo)結(jié)果來計算、分析旋轉(zhuǎn)輻射聲場及聲振耦合的問題。為此，引入覆蓋域的方法［15，26］，結(jié)合上文中簡單封閉球殼的散射聲場來求解出任意復(fù)雜形狀的封閉薄殼的散射聲場［15］，并在此基礎(chǔ)上，運(yùn)用上文對旋轉(zhuǎn)薄壁球殼輻射聲場的分析方法進(jìn)一步給出復(fù)雜形狀封閉薄殼旋轉(zhuǎn)時的輻射聲場的計算方法。

根據(jù)覆蓋域方法的基本原理，假設(shè)任意復(fù)雜形狀封閉薄殼的邊界是P，一般情況下，該邊界P總是可以看作是由若干片球面P1，P2，…，Pk，…，Pn（k=1，2，3，…，n）擬合而成的。根據(jù)覆蓋域的思想，現(xiàn)有n個組成復(fù)雜形狀薄殼B的覆蓋球殼Bk（k=1，2，3，…，n），其中每一個覆蓋球殼Bk都完全覆蓋了整個薄殼B，并且該覆蓋球殼有且僅有一片邊界MBk與球面發(fā)生重合。這樣n個覆蓋球殼的共同區(qū)域，即它們的交集，就組成了任意復(fù)雜形狀的封閉薄殼。

利用覆蓋域的思想，可將任意復(fù)雜形狀封閉薄殼的散射問題轉(zhuǎn)化為簡單薄壁球殼散射聲場的疊加問題。薄壁球殼的散射聲場計算，在上節(jié)中已經(jīng)得到，因此任意復(fù)雜形狀封閉薄殼的散射聲場可以表示為

至此，就可以運(yùn)用簡單薄壁球殼旋轉(zhuǎn)運(yùn)動時輻射聲壓的求解方法與步驟，推導(dǎo)出復(fù)雜封閉薄殼旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的輻射聲場。

5 總 結(jié)

本文主要研究了封閉薄壁球殼旋轉(zhuǎn)運(yùn)動時的輻射聲場問題。在封閉薄壁球殼的內(nèi)、外部散射聲場的基礎(chǔ)上，利用聲學(xué)互易定理和氣體動力學(xué)的基本理論，推導(dǎo)出了封閉薄壁球殼做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動時的輻射聲場計算公式，并用該公式對一具體的旋轉(zhuǎn)薄壁球殼進(jìn)行了實例計算，得出了旋轉(zhuǎn)薄壁球殼的一些聲場特性。在此基礎(chǔ)上，通過覆蓋域方法，給出了一種可計算任意復(fù)雜形狀旋轉(zhuǎn)封閉薄殼輻射聲場的思路和方法。這一研究為任意旋轉(zhuǎn)聲源輻射聲場的定量分析提供理論基礎(chǔ)，也為旋轉(zhuǎn)機(jī)械氣動噪聲內(nèi)在機(jī)理的研究提供了一種新的思路與方法。

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