負(fù)多項(xiàng)分布的性質(zhì)研究

王 慧

(淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000)

0 引言

伯努利試驗(yàn)是一種非常重要的概率模型，在歷史上，伯努利概型是概率論中最早研究的模型之一，不僅在理論上具有重要意義，而且在實(shí)際生活中也具有非常廣泛的應(yīng)用.

文獻(xiàn)[10]將伯努利試驗(yàn)中的試驗(yàn)結(jié)果由兩個(gè)推廣為n個(gè):A1,A2，…，An，若P(Aj)=pj，j=1,2,…，n，且p1+p2+…+pn=1，則稱這樣的試驗(yàn)為推廣的伯努利試驗(yàn).文獻(xiàn)[10]在這種推廣的伯努利試驗(yàn)以及負(fù)二項(xiàng)分布的基礎(chǔ)之上，提出了一種新的概率分布，即負(fù)多項(xiàng)分布，討論了負(fù)多項(xiàng)分布的概率分布和數(shù)字特征.目前，圍繞負(fù)多項(xiàng)分布的研究成果還比較少，理論體系還不夠完善，本文將對負(fù)多項(xiàng)分布的性質(zhì)作進(jìn)一步地探討，研究結(jié)果表明，負(fù)多項(xiàng)分布具有可加性以及取得概率的最大值點(diǎn)；從其特征函數(shù)出發(fā)，可以簡潔地計(jì)算出其數(shù)字特征.

1 預(yù)備知識

文獻(xiàn)[10]提出負(fù)多項(xiàng)分布的定義，并得出其概率分布.

定義1設(shè)在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)可能有n種結(jié)果：A1，A2，…，An，且P(Aj)=pj，j=1，2，…，n，p1+p2+…+pn=1，以Xj(j=1,2,…，n)表示Aj在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù)，以X表示在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中Aj出現(xiàn)rj(j=1,…，n-1)次時(shí)的試驗(yàn)次數(shù)，則稱X服從負(fù)多項(xiàng)分布，記為

X～NM(r1，…，rn-1;p1,…，pn-1).

設(shè)隨機(jī)變量X～NM(r1,…，rn-1;p1，…，pn-1)，則X的可能取值為r1+…+rn-1，r1+…+rn-1+1，…，r1+…+rn-1+l,…，其中l(wèi)≥0,rj≥1，j=1，…，n-1，其分布列為

(1)

下面給出特征函數(shù)的相關(guān)概念和性質(zhì)[1].

定義2設(shè)X是一個(gè)實(shí)值隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為F(x)，則稱eitX的數(shù)學(xué)期望E(eitX)為隨機(jī)變量X或其分布函數(shù)F(x)的特征函數(shù)，記為φX(x)或φ(x)，即.

如果X是離散型隨機(jī)變量，其分布列為

P(X=xj)=pj,j=1，2，…

(2)

則

(3)

性質(zhì)1如果隨機(jī)變量X有n階(原點(diǎn))矩，則它的特征函數(shù)可微分n次，并且有

E(Xk)=(-i)kφ(k)(0),k=1,2,…，n

(4)

成立.

性質(zhì)2如果隨機(jī)變量X1，X2，…，Xm相互獨(dú)立，則

(5)

2 負(fù)多項(xiàng)分布的性質(zhì)

2.1 特征函數(shù)

引理1[10]設(shè)隨機(jī)變量X服從負(fù)多項(xiàng)分布，即X～NM(r1,…，rn-1；p1，…，pn-1)，其中rj≥1，0

(6)

定理1設(shè)隨機(jī)變量X服從負(fù)多項(xiàng)分布，即X～NM(r1,…，rn-1，p1，…，pn-1)，其中rj≥1,0

(7)

證明已知負(fù)指數(shù)二項(xiàng)展開式

令x=q，得

(8)

由(3)、(6)、(8)式，得

={(P1+…+Pn-1)eit}r1+…+rn-1{1-(1-p1-…-pn-1)eit}-(r1+…+rn-1)

特征函數(shù)在概率論中是一個(gè)極其重要的分析工具，利用其定義和性質(zhì)可以簡化概率論中的許多定理證明過程，下面通過特征函數(shù)來研究負(fù)多項(xiàng)分布的數(shù)字特征和可加性.

2.2 數(shù)學(xué)期望

定理2設(shè)隨機(jī)變量X服從負(fù)多項(xiàng)分布，即X～NM(r1，…，rn-1;p1，…pn-1)，其中rj≥1，0

(9)

證明記r1+…+rn-1=r0,p1+…+pn-1=p0,1-p0=q0，由(7)式得

2.3 方差

定理3設(shè)隨機(jī)變量X服從負(fù)多項(xiàng)分布，即X～NM(r1，…，rn-1;p1，…，pn-1)，其中rj≥1，0

(10)

證明先求φ″(t)，記號r0，p0,q0同上，則

即(10)式成立.

注與文獻(xiàn)[10]中的證明過程相比，定理2和定理3的證明過程更加簡潔，計(jì)算量大大減少.

2.4 可加性

所謂隨機(jī)變量的可加性，又稱再生性，是指由有限個(gè)相互獨(dú)立的、同分布的隨機(jī)變量，其和也服從同類型的分布，且該分布中的參數(shù)是相應(yīng)參數(shù)之和.如，二項(xiàng)分布、負(fù)二項(xiàng)分布、χ2-分布等均具有可加性[1]，本文接下來給出負(fù)多項(xiàng)分布在同參數(shù)p1,p2，…，pn-1下也具有可加性.

引理2(唯一性定理)[1]分布函數(shù)F1(x)與F2(x)相等的充要條件是它們的特征函數(shù)φ1(x)與φ2(x)相等.

證明用數(shù)學(xué)歸納法.

當(dāng)m=2時(shí)，X=X1+X2，其中，X1～NM(s11，…，sn-1,1；p1，…，pn-1)，X2～NM(s12，…，sn-1,2;p1…，pn-1)，且相互獨(dú)立.記p1+…+pn-1=p0,1-p0=q0，s11+s12=s01,s21+s22=s02，…，sn-1,1+sn-1,2=s0,n-1，則

由(5)式得

由引理2知，X～NM(s01,…，s0,n-1;p1，…，pn-1)，即X～NM(s11+s12，…，sn-1,1+sn-1,2;p1，…，pn-1).

其中，s11+…+s1k+s1,k+1=s01″，…，sn-1,1+…+sn-1，k+sn-1,k+1+s0,n-1″.即

由歸納法證得，對一切正整數(shù)m，負(fù)多項(xiàng)分布具有可加性.

2.5 概率的最大值點(diǎn)

負(fù)多項(xiàng)分布的概率取值有何規(guī)律，是否單調(diào)地增加，有沒有最大值點(diǎn)出現(xiàn)，針對這些問題，通過分析得到以下結(jié)論.

定理6負(fù)多項(xiàng)分布的概率分布如(1)式所示，則

證明由

和

同時(shí)成立，解得

(11)

3 結(jié)論

本文主要討論了負(fù)多項(xiàng)分布的特征函數(shù)、數(shù)學(xué)期望、方差、可加性等方面的性質(zhì)，其中，特征函數(shù)是研究隨機(jī)變量的一個(gè)簡便而有效的工具[11，12]，本文以特征函數(shù)為工具改進(jìn)了文獻(xiàn)[10]中的定理證明過程；同時(shí)，還給出了該分布的概率最大值點(diǎn)，為實(shí)際應(yīng)用中使用負(fù)多項(xiàng)分布的概率最大值或最大值點(diǎn)時(shí)提供了方便.從而，更全面的分析了負(fù)多項(xiàng)分布的性質(zhì)，為研究基于伯努利試驗(yàn)的這一概率模型提供了理論依據(jù).

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