利用MSE-法求Whitham-Broer-Kaup方程組的行波解

董長紫

(隴東學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，甘肅 慶陽 745000)

0 引言

物理學(xué)中的很多現(xiàn)象都可以用非線性發(fā)展方程來描述.在研究非線性物理現(xiàn)象中，求其精確解是一項十分重要的任務(wù).為了尋求非線性發(fā)展方程(組)的精確解,已提出了一些行之有效的方法,例如,反散射方法[1],Darboux變換法[2],齊次平衡法[3-5],廣義函數(shù)法[6-7],混合指數(shù)法[8-9]，李群方法[10]等大量的求解方法.2010年Jawad AJM等在文獻(xiàn)[11-12]中，利用修正的簡單方程的方法(簡稱MSE)去構(gòu)造非線性發(fā)展方程的行波解，得到了比較理想的結(jié)果，并且省去了之前在求精確解中的一些復(fù)雜的計算過程.本文主要利用這一簡單有效的方法對于文獻(xiàn)[13]中提到Whitham-Broer-Kaup-方程組的行波解進行計算.

1 方法簡述

下面，我們列出這個方法的基本步驟：

第一步：對于給出的偏微分方程組：

(1)

利用行波變換：

u(x,y,t)=u(ζ)，v(x,y,t)=v(ζ)，ζ=x-λt+c0

(2)

把(2)代入(1)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于ζ的常微分方程組：

(3)

第二步：根據(jù)孤立子解理論，不妨假設(shè)u(ζ)，v(ζ)有以下的形式:

(4)

其中m0，…mi，n0…ni均為待定常數(shù)，φ(ζ)，φ(ζ)為連續(xù)可微函數(shù).

指數(shù)M，N的值則可以通過齊次平衡法平衡方程(3)中的最高次非線性項和最高次的偏微分項的次數(shù)而確定，即

(1)如果N，M是一個正整數(shù)到第三步；

(2)如果N，M是一個分?jǐn)?shù)或負(fù)整數(shù)，做變換u(ζ)=U(ζ)M,v(ζ)=V(ζ)N，再到第一步.

第四步：將mi,ni(i=0,1,2,……)的值和φ(ζ)與φ(ζ)代入(4)式，可得方程(1)的行波解.

注：如果方程沒有這類形式的行波解，則需考慮其它的方法.

2 主要結(jié)果

首先，對給定的Whitham-Broer-Kaup方程組：

(5)

其中α，β為常數(shù).

做行波變換：

(6)

其中ζ=x-λt+c0

將(6)式代入(5)式可的結(jié)果：

(7)

由(7)式的一式可得：

H′=λu′-uu′-βu″

(8)

(8)式兩邊關(guān)于ζ積分，且取積分常數(shù)為零可得：

(9)

將(8)(9)代入(7)的二式可得：

(10)

若(10)式兩邊關(guān)于ζ積分，且取積分常數(shù)為零可得：

(11)

利用齊次平衡法平衡(11)式中u3的次數(shù)與u″的階數(shù)可得M=1.

根據(jù)MSE-法設(shè)：

(12)

則：

(13)

將(12)(13)代入(11)，并令φ-i(ζ)，(i=0，1，2，3，4)的系數(shù)為零可得：

(14)

(15)

(16)

(17)

根據(jù)(15)(16)可得：

(18)

由(18)可得：

(19)

其中C1，C2為積分常數(shù).

根據(jù)(12)(9)可得可得方程組(5)的行波解：

由(18)可得：

(20)

根據(jù)(12)(9)可得方程組(5)的行波解：

文獻(xiàn)[13]在解的假設(shè)過程中，根據(jù)函數(shù)滿足Riccati方程的條件而得到方程的解，且整個計算過程非常復(fù)雜，需要借助于一些符號計算的軟件才能完成.更為重要的是，本文得到的結(jié)果在形式上比之前的結(jié)果更一般.

3 結(jié)論

利用MSE-法求非線性方程的行波解的關(guān)鍵是在構(gòu)造行波解的時候，對于假設(shè)的函數(shù)提前未作定義，而tanh函數(shù)法、雙曲函數(shù)法等均是對于給出的函數(shù)提前定義或滿足一定的約束條件.因此利用這中求非線性方程行波解的方法比之前的方法更為直接、有效，且整個計算過程比較簡單，無需一些復(fù)雜的計算軟件.但是對于一些方程如果沒有這類形式的解，則需重新考慮其它的方法.

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