應(yīng)用哈密頓原理推導(dǎo)拉格朗日陀螺的運(yùn)動(dòng)微分方程

楊遠(yuǎn)貴，陳 三

(淮北師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，安徽 淮北 235000)

0 引言

哈密頓原理在分析力學(xué)中占有重要地位，特別是在工程技術(shù)方面得到廣泛應(yīng)用．由于哈密頓變分原理是在基本定律基礎(chǔ)上采用變分法推得，其主要特征是將真實(shí)運(yùn)動(dòng)與在同樣條件下的可能運(yùn)動(dòng)區(qū)分出來(lái)的準(zhǔn)則，該原理作為有限元法和其他近似計(jì)算方法的理論基礎(chǔ)，因此它已成為理論物理中重要的研究工具之一．哈密頓正則變換是以廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量為變量而建立的系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程．由于正則方程結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、對(duì)稱(chēng)，為動(dòng)力學(xué)的變換理論創(chuàng)造了有利條件，為正則方程漸進(jìn)解法奠定了理論基礎(chǔ)[1-2]．如哈密頓動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的辛算法應(yīng)用于多體的穩(wěn)定性研究中[3]，最近有人提出基于哈密頓動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)新變分原理的保辛算法[4]．下面以拉格朗日陀螺為例來(lái)說(shuō)明哈密頓原理在經(jīng)典力學(xué)中的應(yīng)用．

拉格朗日陀螺是各種現(xiàn)代化陀螺的原始雛形，建立和研究它的動(dòng)力學(xué)模型具有重要意義．陀螺的主要特征是它的穩(wěn)定性和進(jìn)動(dòng)性，已被廣泛應(yīng)用于航空航天、航海與自動(dòng)化和現(xiàn)代化的國(guó)民經(jīng)濟(jì)建設(shè)中．我國(guó)在軌運(yùn)行的天宮一號(hào)航天器就是采用的控制力矩陀螺系統(tǒng)進(jìn)行導(dǎo)航[5]．拉格朗日陀螺是軸對(duì)稱(chēng)的重剛體(又稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)陀螺，即I1=I2≠I(mǎi)3)，其重心位于動(dòng)力對(duì)稱(chēng)軸上但不與固定點(diǎn)重合，它的運(yùn)動(dòng)微分方程的建立可以采用歐勒動(dòng)力學(xué)方程和保守力系的拉格朗日方程[6-7]．下面采用哈密頓變分原理和正則變換推導(dǎo)拉格朗日陀螺的運(yùn)動(dòng)微分方程．

1 拉格朗日函數(shù)和哈密頓函數(shù)

圖1是采用三個(gè)歐拉角θ，φ，ψ作為廣義坐標(biāo)來(lái)描述拉格朗日陀螺．在坐標(biāo)系O-ζηζ中，自轉(zhuǎn)軸OZ與Oζ之間的夾角為θ．重心G到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為l．

1.1 陀螺的拉格朗日函數(shù)

若選取O-ζη為零勢(shì)能面，則拉格朗日陀螺的勢(shì)能為：V=mglcosθ．

根據(jù)歐勒運(yùn)動(dòng)學(xué)方程:

(1)

考慮到對(duì)稱(chēng)陀螺的軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I1=I2，可以得到拉格朗日陀螺的動(dòng)能為：

因此，對(duì)稱(chēng)陀螺的拉格朗日函數(shù)為：

圖1 拉格朗日陀螺

(2)

1.2 陀螺的哈密頓函數(shù)

由(2)式可以得到廣義動(dòng)量為：

(3)

根據(jù)哈密頓函數(shù)的定義，有：

(4)

2 推導(dǎo)拉格朗日陀螺的運(yùn)動(dòng)微分方程

拉格朗日陀螺的運(yùn)動(dòng)方程采用歐勒動(dòng)力學(xué)方法較為復(fù)雜，而保守力系的拉格朗日方程較為簡(jiǎn)便，但它們都是二階常微分方程．下面采用哈密頓變分法和正則變換方法來(lái)推導(dǎo)其運(yùn)動(dòng)微分方程．

2.1 哈密頓變分法

(5)

對(duì)上式積分可以得到：

考慮等時(shí)積分，即有：δθ|t1=δθ|t2=0；δφ|t1+δφ|t2=0；δψ|t1=δψ|t2=0．又因?yàn)榉e分號(hào)內(nèi)的δθ，δφ及δψ是任意的且一般不為零，且是相互獨(dú)立的．因此有：

(6-1)

(6-2)

(6-3)

最后對(duì)(6-1)～(6-3)式的三個(gè)式子進(jìn)行積分并化簡(jiǎn)，得到拉格朗日陀螺的運(yùn)動(dòng)微分方程為：

(7-1)

(7-2)

(7-3)

其中E、J和c為積分常數(shù)．

2.2 哈密頓正則變換法

首先根據(jù)哈密頓正則方程，計(jì)算拉格朗日陀螺的三個(gè)廣義速度．

(8-1)

(8-2)

(8-3)

其次，計(jì)算三個(gè)廣義動(dòng)量．

正則變換的最后一個(gè)廣義動(dòng)量：

這就是(6-1)式，同樣的辦法積分即可以得到(7-1)式．

3 討論

通過(guò)前面的推導(dǎo)可以看出，采用哈密頓變分法推導(dǎo)拉格朗日陀螺的運(yùn)動(dòng)微分方程的計(jì)算過(guò)程較為麻煩，而利用正則變換計(jì)算簡(jiǎn)潔，考慮循環(huán)坐標(biāo)直接可以得到一階運(yùn)動(dòng)微分方程．這樣使得復(fù)雜的問(wèn)題得到大大簡(jiǎn)化．

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