B2到B4上的一族逆緊全純多項(xiàng)式映照

程曉亮

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,吉林 四平 136000)

0 引言

在Poincaré1907年工作的基礎(chǔ)上，S.Bochner，C.Fefferman，S.S.Chern-S.Ji，X.Huang-S.Ji 分別于1943年，1974年，1996年和1998年研究了Cn中域上的雙全純映照與其邊界上的CR映照的等價(jià)性[1-3].從而，建立了研究單位球上的逆緊全純映照問題與研究單位球面上的CR映照問題的橋梁.1977年,Alexander證明了多元復(fù)歐式空間Cn中的單位球Bn到Bn上的逆緊全純映照F是Bn上的自同構(gòu)，1979年，S.M.Webster證明了具有三次連續(xù)可微邊界的Bn到Bn+1(n>2)的逆緊全純映照一定是線性嵌入，1982年，J.Faran分類了具有連續(xù)可微邊界的B2到B3上的有理逆緊全純映照等價(jià)于Whitney映照或者另一簡(jiǎn)單映照[4-6].

20世紀(jì)90年代以來,X.Huang,S.Ji,J.P.D’Angelo等眾多學(xué)者研究了一般的單位球Bn到BN上的逆緊全純映照與單位球面上CR映照問題，對(duì)逆緊全純單項(xiàng)式、多項(xiàng)式和有理映照進(jìn)行了部分的分類，證明了B2到BN上的任意二次有理逆緊全純映照必然等價(jià)于B2到B5上的二次有理逆緊全純映照，證明了B2到BN上的二次有理逆緊全純映照必然等價(jià)于B2到B5上的二次多項(xiàng)式逆緊全純映照等一系列結(jié)果[7-15].在多元復(fù)分析中即使對(duì)較低維數(shù)的單位球間的逆緊全純映照，寫出其多項(xiàng)式映照的顯示表達(dá)式也不是平凡的事.

1 B2到B4的逆緊全純映照

設(shè)C為復(fù)數(shù)域，其n重笛卡爾積Cn={(z1,z2,…，zn)|zi∈C,i=1,2,…，n}在標(biāo)準(zhǔn)歐式度量下構(gòu)成n維復(fù)歐式空間.

又Bn={(z1,z2,…，zn)||z1|2+|z2|2+…+|zn|2<1，(z1,z2,…,zn)∈Cn}為Cn中單位球.下面我們討論的映照其定義域均為二維單位球B2={(z,w)||z|2+|w|2<1，(z,w)∈C2}，其目標(biāo)空間為四維單位球B4={(z1，z2，z3,z4||z1|2+|z2|2+|z3|2+|z4|2<1，(z1,z2,z3,z4)∈C4}.

相應(yīng)的單位球面記為

?B2={(z,w)||z|2+|w|2=1,(z,w)∈C2}，

?B4={(z1,z2,z3,z4)||z1|2+|z2|2+|z3|2+|z4|2=1，(z1,z2,z3,z4)∈C4}．

事實(shí)上，為了研究單位球間的逆緊全純映照，Whitney， D′Angelo，J.Faran等構(gòu)造了一些B2到B4上的逆緊全純單項(xiàng)式映照的實(shí)例.

證明根據(jù)逆緊全純映照的定義，只需驗(yàn)證該映照是?B2到?B4上的映照.

代入|z|2+|w|2=1，有

下面構(gòu)造一族B2到B4上的逆緊全純多項(xiàng)式映照，并加以證明.

2 定理及其證明

定理1設(shè)多項(xiàng)式族

f(z,w)=(g1,g2,g3,g4)，

則f(z,w)是B2到B4上的逆緊全純多項(xiàng)式映照.

證明

證畢.

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