PEEC在鐵磁板低頻磁場屏蔽效應(yīng)計(jì)算中的應(yīng)用

夏能弘，郭 杰，田孟林，周歧斌，姜恩宇

(1.上海電力學(xué)院，上海 200090;2.上海市防雷中心，上海 201615)

有關(guān)低頻磁場屏蔽問題的研究已經(jīng)有很多，［1-3］大部分研究工作的關(guān)注對(duì)象主要包括線結(jié)構(gòu)、板結(jié)構(gòu)以及圓柱形外殼結(jié)構(gòu).其中，平板結(jié)構(gòu)常用于建筑中，通過遮擋或屏蔽來構(gòu)筑電磁兼容的空間.屏蔽板的材料一般包括鐵磁性材料和非鐵磁性材料.

為了對(duì)金屬板的屏蔽效能進(jìn)行評(píng)估和比較，有效的數(shù)值計(jì)算工具十分必要.目前，已有多種成熟的數(shù)值計(jì)算方法可用于處理復(fù)雜幾何結(jié)構(gòu)的電磁問題.其中，部分元等效電路法(Partical Equivalent Electrical Circuit，PEEC)由于其對(duì)電氣互聯(lián)結(jié)構(gòu)的全波計(jì)算能力，受到了廣泛關(guān)注.［4-6］該數(shù)值方法可將電磁場問題轉(zhuǎn)換到電路領(lǐng)域進(jìn)行分析，使電磁場的場作用機(jī)理更容易理解.

對(duì)于3D電磁場數(shù)值分析，PEEC方法的一個(gè)重要制約因素是對(duì)象經(jīng)離散后會(huì)產(chǎn)生大量體積元或面元，且在多對(duì)象共存的情況下尤為顯著.因此，對(duì)PEEC模型進(jìn)行優(yōu)化、降低計(jì)算成本、減少求解時(shí)間是非常有意義的工作.其中，減少待求解未知數(shù)的數(shù)量是一種十分有效的途徑.

本文提出了一種基于PEEC的電磁場對(duì)稱建模方法，該方法只需對(duì)原始對(duì)象的一部分進(jìn)行計(jì)算.本文中假定對(duì)象金屬板由線性磁性材料制成.首先，根據(jù)經(jīng)典PEEC理論，對(duì)整塊鐵磁板結(jié)構(gòu)建立PEEC模型.然后，對(duì)分布于金屬板上的電磁物理量進(jìn)行分析，考察各對(duì)稱部分的電磁分量的分布規(guī)律，分析它們的對(duì)稱和反對(duì)稱關(guān)系.根據(jù)這些規(guī)律，對(duì)已建立的PEEC模型進(jìn)行改進(jìn)，即可得到對(duì)稱模型.隨著未知量的大幅減少，求解矩陣的尺寸也隨之大幅壓縮，對(duì)計(jì)算資源的需求顯著降低.這種改進(jìn)的3D電磁建模技術(shù)可用于求解更復(fù)雜的3D結(jié)構(gòu).

1 等效電路法

本文主要研究鐵磁金屬板對(duì)由外部載流線激發(fā)的低頻磁場的屏蔽作用.金屬板和電源線之間的互耦作用通過一組相互耦合的電路元件模擬.金屬板中的渦電流可通過PEEC法來求解.板周圍空間的磁場則可由外部電流源及板中次生的渦流疊加產(chǎn)生.模型結(jié)構(gòu)如圖1所示.

圖1 模型結(jié)構(gòu)的剖面示意

外部電流源是一個(gè)由細(xì)絲導(dǎo)體構(gòu)成的方形回路，交流電流在其上循環(huán)流動(dòng).薄金屬板放置于電流源上方，起磁場屏蔽作用.金屬板由線性磁性材料制成，其相對(duì)電導(dǎo)率為σ，相對(duì)磁導(dǎo)率為μr.由于該板的厚度比平面尺寸小得多，故可以認(rèn)為該板的渦流在厚度方向的分量可忽略不計(jì)，即該板中的渦流方向?yàn)榍芯€方向.

1.1 電場積分方程

PEEC方法源于電場積分方程，該方程表明了在空間r點(diǎn)處，矢量磁位A(r)與標(biāo)量電勢φ(r)的關(guān)系，即為:

式中:J(r)——渦流電流密度.

由于該屏蔽板為磁性材料，板本身磁化所產(chǎn)生的矢量磁位也需要加以考慮.因此，總的矢量磁位為 A(r)=Ac(r)+Am(r)+As(r).式中，Ac(r)由渦流電流產(chǎn)生，Am(r)由磁極化產(chǎn)生，As(r)則來自于外部電流源.

式中:r，r＇——考查點(diǎn)和作用源的位置矢量.

重寫式(1)，可得到一個(gè)新的電場積分方程為:

式中:ΔUl——沿著l線段的電勢差.

1.2 幾何離散

為了進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，首先必須進(jìn)行幾何離散，即將鐵磁板剖分成眾多微體積元，稱為勢單元.圖2給出了勢單元的平面排列圖.

圖2 勢單元的平面排列示意

在一個(gè)平面上有NX×NY個(gè)勢單元(NX和NY分別表示x軸和y軸方向上的勢單元數(shù)).由于渦流電流在相鄰的勢單元之間流動(dòng)，因此這里規(guī)定電流單元形成于相鄰兩個(gè)勢單元的中心點(diǎn)之間.對(duì)渦電流進(jìn)行正交分解，這些電流單元可分為兩類:X電流元和Y電流元，如圖3所示.它們的數(shù)量分別為Nx=(NX-1)NY和Ny=NX(NY-1).

圖3 離散后鐵磁板上的部分單元

假定每個(gè)單元中的渦流電流密度和磁化強(qiáng)度是恒定不變的，則支路電壓方程可重新定義為:

式中:Nc，Nm，Ns——電流單元、勢單元、電流源的數(shù)量.

此外，作為式(4)的補(bǔ)充條件，在任意節(jié)點(diǎn)均可建立電流平衡方程，即KCL方程，如圖4所示.圖4中節(jié)點(diǎn)的KCL方程為:

圖4 節(jié)點(diǎn)處的KCL

另外，由矢量磁位A(r)與磁通密度B的關(guān)系B(r)=▽(Ac(r)+As(r)+Am(r))，可得到磁化強(qiáng)度M的方程為:

渦流電流密度J和磁化強(qiáng)度M均可作正交分解，得到 Jx，Jy和 Mx，Mx，Mz.因此，式(4)和式(6)就可以分別分解成2個(gè)和3個(gè)方程.

1.3 PEEC 3D模型的建立

結(jié)合式(4)、式(5)和式(6)，可得到完全求解矩陣如下:

式中，Cu將節(jié)點(diǎn)電勢轉(zhuǎn)換為支路電壓，Ci反應(yīng)了在節(jié)點(diǎn)處各支路電流之間的關(guān)系.矩陣中其他參量的計(jì)算詳列如下:

去掉一個(gè)電勢參考點(diǎn)，各未知參量V，J，M的數(shù)量分別為NV=NXNY-1，NJ=NXNY-NX-NY，Nm=3NXNY.因此，總的未知量的數(shù)量為 Ntot=6NXNY-NX-NY-1.

借助數(shù)學(xué)工具可以很容易地求解式(7).然而當(dāng)研究對(duì)象比較復(fù)雜且未知量數(shù)量相當(dāng)龐大時(shí)，建立和求解該矩陣方程會(huì)非常困難.

1.4 屏蔽后磁場的計(jì)算

求得渦流電流密度和感應(yīng)磁場后，即可估算鐵磁板的屏蔽效能.鐵磁板周圍空間的磁場B的計(jì)算方法如下:

1.5 對(duì)稱結(jié)構(gòu)的建模

在對(duì)稱結(jié)構(gòu)中，各對(duì)稱部分的渦電流分量和磁化強(qiáng)度分量的分布具有對(duì)稱性或反對(duì)稱性，即:不同部分的電磁分量可能幅值相同，方向相反.另外，由于整個(gè)結(jié)構(gòu)被等效為互連的電路網(wǎng)絡(luò)，式(7)中的某些子矩陣可以被折疊和重新組合，這將大大減少未知量的數(shù)量.

圖5為鐵磁板上渦流和磁場分布的示意圖.其中，渦電流循環(huán)流動(dòng)形成閉合回路，磁場則有規(guī)律地穿透鐵磁板.

圖5 鐵磁板的渦流和電磁分布

鐵磁板上各對(duì)稱部分電磁分量之間的關(guān)系如圖6所示.

圖6 鐵磁板上各對(duì)稱部分電磁分量之間的關(guān)系

由圖6可知，鐵磁板被分成4個(gè)部分.各分量的具體關(guān)系如下:

只考慮分塊①中的電流密度Jx，則有:

將式(9)代入式(10)，可得:

式中:

同樣，式(7)中的其他參數(shù)被壓縮如下:

未知量V1，J1，M1的數(shù)量分別為因此，總的未知量數(shù)量為 Ntot=1．5NXNY．

2 數(shù)值驗(yàn)證

數(shù)值驗(yàn)證的結(jié)構(gòu)如圖1所示.其中，薄鐵磁板為線性鐵磁材料制成，其電導(dǎo)率σ=0.75×107S/m，相對(duì)磁導(dǎo)率μr=200.激勵(lì)電流源為交流1 A，50 Hz的細(xì)絲狀方形載流環(huán)路，其尺寸為:w=200 mm，d=2 mm，h=50 mm.采用非均勻網(wǎng)格剖分(Nx=54，Ny=54).表1列出了原始求解矩陣式(7)和改進(jìn)后的求解矩陣式(12)的計(jì)算信息.

表1 未知數(shù)個(gè)數(shù)及矩陣大小

在Matlab環(huán)境中開發(fā)相應(yīng)的計(jì)算程序.以基于邊界元法的商用軟件IES-FARADAY作為參考，對(duì)結(jié)果進(jìn)行比較，結(jié)果如圖7所示.大部分區(qū)域的計(jì)算結(jié)果與參考值較為符合，靠近邊緣的部分出現(xiàn)微小誤差，其中Jy和Mx的最大誤差分別為4.13%和3.37%.沿板上方對(duì)角線的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的2個(gè)分量如圖8所示，最大誤差僅為2.4%.

圖7 鐵磁板底部中線(y=0，z=49mm)處計(jì)算結(jié)果

圖8 對(duì)角線上磁感應(yīng)強(qiáng)度B的計(jì)算結(jié)果(z=100mm)

3 結(jié)語

本文建立了用于評(píng)估鐵磁板低頻磁場屏蔽效能的三維PEEC模型.由于涉及磁性材料，將經(jīng)典電場積分方程與磁場方程進(jìn)行整合，得到針對(duì)磁性結(jié)構(gòu)的完整方程組，可求解渦電流和磁化強(qiáng)度.針對(duì)對(duì)稱結(jié)構(gòu)，對(duì)原始模型進(jìn)行改進(jìn)，所得模型的未知量數(shù)量大幅減少.對(duì)該計(jì)算方法進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證，結(jié)果表明該方法在評(píng)估低頻磁場屏蔽方面具有較高的精度，效率較邊界元法提高了4倍.這種方法還可進(jìn)一步擴(kuò)展以求解更復(fù)雜的結(jié)構(gòu).

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