二次函數(shù)的圖象與系數(shù)之間的關(guān)系

孟凡敏

近幾年在各地的中考試卷中，頻繁出現(xiàn)有關(guān)二次函數(shù)的圖象與系數(shù)之間關(guān)系的試題.此類問題由于題設(shè)的部分條件蘊(yùn)含在函數(shù)的圖象之中，給我們的分析思考帶來一定難度，但它能較好地考查二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí).該類試題常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確分析二次函數(shù)解析式中有關(guān)的量與函數(shù)圖象的形狀、位置的關(guān)系，正確地進(jìn)行數(shù)與形的轉(zhuǎn)換.現(xiàn)以2013年中考試題為例加以說明.

一、拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與系數(shù)a、b、c之間的關(guān)系

1.a的作用

當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開口向上.當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開口向下，概括口訣為：“正上、負(fù)下”；反之，當(dāng)拋物線開口向上時(shí)，a>0.當(dāng)拋物線開口向下時(shí)，a<0.概括口訣為：“上正、下負(fù)”.

2.b的作用

（1）當(dāng)a、b符號(hào)相同時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸在y軸左側(cè)；當(dāng)a、b符號(hào)不同時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，概括口訣為：“同號(hào)在左、異號(hào)在右” ；反之根據(jù)拋物線對(duì)稱軸的位置判斷a、b符號(hào)的口訣3.c的作用

當(dāng)c>0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸正半軸；當(dāng)c<0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸，概括口訣為：“正上、負(fù)下” ；反之，由拋物線與y軸交點(diǎn)的位置，判斷c的符號(hào)的口訣為：“上正、下負(fù)” .

二、與字母系數(shù)有關(guān)的常見代數(shù)式符號(hào)的判定

1.b2-4ac的符號(hào)的判斷：當(dāng)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，b2-4ac>0；當(dāng)拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，b2-4ac=0；當(dāng)拋物線與x軸沒有交點(diǎn)時(shí)，b2-4ac<0.

三、試題解析

例1 （2013年山東菏澤）已知b<0時(shí)，二次函數(shù)y=ax2+bx+a2-1的圖象如下列四個(gè)圖象之一所示.根據(jù)圖象分析，a的值等于（ ）.

A.-2 B.-1 C.1 D.2

所以b>0，不符合題意.

綜上所述，a的值等于1.故選C.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象與系數(shù)的關(guān)系.a的符號(hào)由拋物線的開口方向確定，難點(diǎn)在于根據(jù)圖象的對(duì)稱軸、與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)判斷出b的正負(fù)情況，然后與題目的已知條件b<0作比較.此類問題通常的做法是根據(jù)已知條件觀察圖形，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，充分利用圖象進(jìn)行分析.

例2 （2013年山東煙臺(tái)）如圖1是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分，其對(duì)稱軸為x=-1，且過點(diǎn)（-3，0）.下列說法：①abc<0；

∴b=2a>0，

故①、②正確；

∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的對(duì)稱軸為x=-1，且過點(diǎn)（-3，0）.

∴與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，0）.

∴當(dāng)x=2時(shí)，y=4a+2b+c>0，

故③錯(cuò)誤；

∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的對(duì)稱軸為x=-1，

∴點(diǎn)（-5，y1）關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，y1）.

根據(jù)當(dāng)x>-1時(shí)，y隨x的增大而增大，

∴y2

故④正確；故選C.

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），a的符號(hào)由開口方向決定，c的符號(hào)由拋物線與y軸交點(diǎn)的位置確定，b的符號(hào)由a及對(duì)稱軸的位置共同確定，二次函數(shù)的增減性由開口方向和對(duì)稱軸共同決定.

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的圖象以及一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì).根據(jù)已知得出a，b，c的值是解題關(guān)鍵.解決這類問題時(shí)，要全面分析函數(shù)圖象的有關(guān)信息和函數(shù)解析式中有關(guān)量之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷.

總之，解決二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間關(guān)系的問題時(shí)，首先要仔細(xì)觀察圖象，從圖象中獲取一些有用的信息，然后再根據(jù)信息確定二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關(guān)系.對(duì)于不能直接得到的信息，應(yīng)對(duì)已有的信息進(jìn)行研究，而結(jié)論大都是通過恒等變形獲得的.