《幾何圖形初步》中蘊(yùn)含的思想方法例析

明師

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)的靈魂，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的武器.恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，不但能提高學(xué)生的解題效率，還能提高學(xué)生的思維能力.因此，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中同學(xué)們要學(xué)會(huì)提煉和總結(jié)數(shù)學(xué)思想方法.《幾何圖形初步》一章中蘊(yùn)含著許多的數(shù)學(xué)思想，同學(xué)們?cè)谛〗Y(jié)時(shí)除了要掌握基本的知識(shí)外，還要學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解題.為此下面對(duì)本章的數(shù)學(xué)思想歸納如下，供同學(xué)們參考和選用.

一、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化，能夠使同學(xué)們變抽象思維為形象思維，有助于同學(xué)們把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì).由于使用了數(shù)形結(jié)合思想，很多問(wèn)題便可以迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷.

例1 同學(xué)們?nèi)ス放灾矘洌扛?米植一棵樹，問(wèn)在21米長(zhǎng)的公路旁最多可植幾棵樹？

分析：你可能會(huì)脫口說(shuō)出：三七二十一，可植樹7棵，那就錯(cuò)了！如果結(jié)合圖形來(lái)解決問(wèn)題就很直觀了.

解：如圖1所示，可植樹8棵.

點(diǎn)評(píng)：解決本題要注意考慮線段的端點(diǎn)，否則容易出錯(cuò).

二、方程思想

所謂方程思想，就是通過(guò)列方程或方程組（下學(xué)期我們將學(xué)習(xí)方程組）來(lái)解決問(wèn)題的一種思想方法，特別是在解決某些幾何問(wèn)題時(shí)，運(yùn)用方程思想往往可使問(wèn)題的解決變得簡(jiǎn)便.

例2 如圖2，點(diǎn)D、E在線段AB上，且都在AB中點(diǎn)的同側(cè)，點(diǎn)D分AB為2：5兩部分，點(diǎn)E分AB為4：5兩部分，若DE=5cm，求AB的長(zhǎng).

例3 若兩個(gè)角的度數(shù)之比是3∶4，它們的差是25°，求這兩個(gè)角.

分析：根據(jù)題意可設(shè)每份角為x度，于是兩個(gè)角分別為3x度和4x度，從而由條件“差是25°”得到方程，解方程可求出兩個(gè)角的度數(shù).

解：設(shè)每份角為x度，可得兩個(gè)角分別為3x度和4x度，則列方程為4x-3x=25.

解得x=25.所以3x=75，4x=100.

所以這兩個(gè)角的度數(shù)分別為75°、100°.

點(diǎn)評(píng)：遇到比例問(wèn)題時(shí)可以通過(guò)設(shè)未知數(shù)，列方程解決問(wèn)題.

三、整體思想

整體思想就是根據(jù)問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)特征，從整體上去解決問(wèn)題的一種重要的思想方法.

例4 如圖3所示，線段AB=4，點(diǎn)O是線段AB上一點(diǎn)，C、D分別是線段OA、OB的中點(diǎn)，求線段CD的長(zhǎng).

分析：雖然通過(guò)已知條件不能求出線段OC、OD的具體長(zhǎng)度，但可以把OC+OD作為整體進(jìn)行求解.

四、分類思想

所謂分類思想，就是根據(jù)事物的共性和差異性的特點(diǎn)，分別歸類，然后逐一去研究解決.在運(yùn)用分類思想解決問(wèn)題時(shí)，應(yīng)明確分類的標(biāo)準(zhǔn)，做到不重不漏.

例6 已知線段AB=8cm，在直線AB上有一點(diǎn)C，且BC=3cm，求線段AC的長(zhǎng).

分析：題目的條件只是告訴我們A、B、C三點(diǎn)在一條直線上，但不能判斷點(diǎn)C是在線段AB的延長(zhǎng)線上，還是在線段AB上，所以要分類討論解決問(wèn)題.

解：有兩種情形：

（1）當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線時(shí)，如圖5，AC=AB+BC=8+3=11（cm）；

（2）當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，如圖6，AC=AB-BC=8-3=5（cm）.

所以線段AC的長(zhǎng)為11cm或5cm.

例7 OC平分∠AOB，OD是∠BOC內(nèi)的一條三等份線，試問(wèn)∠AOB是∠COD的幾倍？

分析：由于∠BOC的三等份線有兩條，因此要分類討論.

故∠AOB是∠COD的6倍或3倍.

點(diǎn)評(píng)：本題由于沒(méi)有明確∠BOC內(nèi)的一條三等份線OD是指靠近邊OC還是邊OB，因此要分類討論求解.