《概率論》教學(xué)中的四個重點

李華燦，李群芳，吳克晴

(1. 江西理工大學(xué) 理學(xué)院;2. 贛州師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)學(xué)系，江西 贛州 341000)

，求Y=sinX 的概率密度。

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》是一門研究隨機現(xiàn)象［1，2］統(tǒng)計規(guī)律性的學(xué)科，與《高等數(shù)學(xué)》、 《線性代數(shù)》一起構(gòu)成理工科學(xué)生大學(xué)數(shù)學(xué)［3］的三大塊，已廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟管理、工程技術(shù)、金融、生物、環(huán)境、國防等領(lǐng)域，是一門應(yīng)用性很強的學(xué)科。該課程以《概率論》為基礎(chǔ)，強調(diào)《數(shù)理統(tǒng)計》的應(yīng)用。下面就教師在《概率論》教學(xué)中需要突出的四個方面的知識點加以敘述，以便引起重視。

1 事件與事件獨立性的本質(zhì)

事件［4］的本質(zhì)是集合，概率的本質(zhì)是集合所對應(yīng)圖形的面積。事件是樣本空間的子集，故事件的本質(zhì)是集合。對于集合，學(xué)生們都知道，它有包含、相等、交、并、差、互不相容、互補七種運算，那么事件也相應(yīng)地有這么七種關(guān)系，只是集合的互補運算在《概率論》稱為事件的互逆或稱對立。同理，集合所包含的運算律如交換律、結(jié)合律、分配律以及對偶律也同樣適用于事件。一般來說，在中學(xué)的時候，對于一個復(fù)雜的集合，習(xí)慣用文氏圖來表示，圖形很顯然是有面積的，如果在這里規(guī)定樣本空間Ω 的面積為1，則事件的概率就是樣本空間所對應(yīng)子集的圖形面積(事件是樣本空間的子集)。因此，圖形的面積所具有的性質(zhì)和公式也可以搬到事件的概率上去，如可列可加性、兩事件和的概率與單調(diào)不減性等。

獨立的本質(zhì)是互不影響。獨立，顧名思義，互不影響，故兩事件A 與B 相互獨立，指的是兩事件A 與B 互不影響，用概率語言可表述為事件A 與B 的發(fā)生互不影響，于是就可得兩事件A 與B 互相獨立的五個充要條件:(1)事件B 的發(fā)生與否不影響事件A 發(fā)生的概率，即P(A| B)= P(A|)=P(A);(2)事件A 的發(fā)生與否不影響事件B 發(fā)生的概率，即P(B| A)= P(B| A)= P(B);(3)由乘法公式P(AB)=P(A)P(B| A)與事件A 的發(fā)生與否不影響事件B 發(fā)生的概率P(B| A)= P(B)聯(lián)立可得P(AB)= P(A)P(B);(4)因事件B 的發(fā)生與否不影響事件A 發(fā)生的概率，故事件B 的發(fā)生與否也不影響事件A 發(fā)生的概率，同理事件A 的發(fā)生與否不影響事件B 發(fā)生的概率，事件A 的發(fā)生與否不影響事件B 發(fā)生的概率，從而三對事件A 與、與B、與相互獨立;(5)P(A| B)+ P(A| B)= 1。以上是兩個事件獨立的五個充要條件，另外在講多個事件的獨立性的時候，注意提醒同學(xué)們:多個事件獨立，則對它的任意分組各種運算也獨立。如已知事件A1、A2、A3、A4相互獨立，則A1∪A2與A3∩A4獨立，以及A1、A2－A3、A4也獨立。

2 幾個重要的典型分布的來源背景

3 正態(tài)分布N(μ，σ2)的概率密度函數(shù)及應(yīng)用場合

正態(tài)分布［6］是《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》中最重要的分布，該課程的應(yīng)用部分《數(shù)理統(tǒng)計》說白了講的就是正態(tài)分布的應(yīng)用，其概率密度函數(shù)為在這里一定要注意提醒下中的σ 是在根號外面，而不是在里面。另外，對于正態(tài)分布的應(yīng)用場合，一定要向同學(xué)們講清楚，這在課程的難點——中心極限定理里面會用到，即凡是可以表示成許多相互獨立的隨機因素疊加(和)的隨機變量都可以看成正態(tài)分布，如各種測量的誤差、人的生理特征、工廠產(chǎn)品的尺寸、農(nóng)作物的收獲量、熱噪聲電流強度、學(xué)生們的考試成績等等都可以看成服從正態(tài)分布的隨機變量。掌握了這個知識點，那么看似復(fù)雜的中心極限定理就變得簡單。如在同分布的中心極限定理中，設(shè)由于可以看作n 個相互獨立的隨機變量Xk的和，當(dāng)n 充分大時，由正態(tài)分布可知可以視為服從正態(tài)分布的隨機變量，故可以近似地看成服從即N(nμ，nσ2)，再將其標準化，可得可近似看作服從N(0，1)，于是便可得同分布的中心極限定理的結(jié)論。

4 關(guān)于一維連續(xù)型隨機變量的分段單調(diào)函數(shù)的密度函數(shù)的求法

若已知一維連續(xù)型隨機變量X 的概率密度函數(shù)［7］為fX(x)，Y = g(X)，求fY(y)。在此主要有兩種方法: (1)分布函數(shù)法。先求出Y = g(X)的分布函數(shù)FY(y)= P(Y ≤y)，再通過求導(dǎo)得出fY(y)= (FY(y))'。(2)公式法。若Y = g(X)是嚴格單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，其反函數(shù)為X = h(Y)，則

其中Z 表示函數(shù)g(X)的值域。

由上面求隨機變量函數(shù)Y = g(X)的概率密度函數(shù)的方法可知，若Y = g(X)是分段單調(diào)函數(shù)，則只能根據(jù)方法1。但是，根據(jù)學(xué)生們的思維習(xí)慣，常采用方法2—公式法，由此就產(chǎn)生了公式法的濫用。在此，教師應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生，對于分段單調(diào)函數(shù)的概率密度函數(shù)的求解也可以采用公式法，只是應(yīng)該首先將Y = g(X)拆成若干個嚴格單調(diào)區(qū)間，再分別運用公式法求概率密度函數(shù)，最后相加。

，求Y=sinX 的概率密度。

解:解法一:分布函數(shù)法(略);

解法二:公式法當(dāng)時，Y = sinX 嚴格單調(diào)遞增，其反函數(shù)X= h(Y)= arcsinY，故由公式法可得

綜合(1)(2)，可得Y = sinX 的概率密度為

5 結(jié)束語

通過這幾年的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》教學(xué)實踐，表明以上四個方面的知識點是學(xué)生弱點所在，教師在一定程度上要給以重視。實踐證明，向?qū)W生強調(diào)了這幾點的班級，學(xué)生的解決問題的能力得到了增強，教學(xué)效果明顯提高。

［1］龍漫遠. 對隨機現(xiàn)象本質(zhì)的初步探討［J］. 四川農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報，1998，6(3):189－192

［2］李師煜，高武軍. 一類倒向隨機微分方程的比較定理［J］. 江西理工大學(xué)學(xué)報，2010，31(5):67－69

［3］魯祖亮，黃曉. 大學(xué)數(shù)學(xué)文化課的實踐與探索［J］. 宜春學(xué)院學(xué)報，2013，35(6):156－157

［4］熊德之. 隨機事件概率的遞推算法［J］. 統(tǒng)計與決策，2005，(12):21－22

［5］劉瑞元，張智霞. 二項分布與泊松分布判別的假設(shè)檢驗［J］. 青海大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2008，26(1):44－47

［6］王志福，蘇再興，管杰，等. 關(guān)于正態(tài)分布的重要結(jié)論及注記［J］. 渤海大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2011，32(2):97－99

［7］郭英，張宏禮，王苫社，等. 連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)和獨立性［J］. 大慶師范學(xué)院學(xué)報，2009，29(3):75－77