自回歸移動平均模型的電離層總電子含量短期預(yù)報

張小紅，任曉東，吳風(fēng)波，蘆 琪

武漢大學(xué) 測繪學(xué)院，湖北 武漢430079

1 引 言

電離層與人類生活息息相關(guān)，其變化對定位導(dǎo)航、遠程通信、航空航天、天氣預(yù)報等具有重要影響［1－4］。電離層的時空分布及變化與地球運動、太陽活動、地磁場變化等諸多因素密切相關(guān)，觀測并預(yù)報電離層中的總電子含量（TEC）及其時空分布已成為電離層研究中的一個重要課題，在單頻GPS實時導(dǎo)航定位、震前電離層擾動探測等研究中具有重要應(yīng)用。目前常用的電離層模型Klobuchar、Bent、IRI等經(jīng)驗?zāi)Ｐ鸵蚴褂梅奖闱矣嬎愫唵味粡V泛應(yīng)用，但這些模型都是基于統(tǒng)計經(jīng)驗，對電離層預(yù)報結(jié)果并不十分理想。常用單頻接收機采用的Klobuchar模型在一天內(nèi)只能預(yù)報出電子含量的50%～60%［5］，且對夜間的預(yù)報具有明顯的不合理性；IRI模型的預(yù)報精度也只有60%左右，并且由于探測資料在時間分布和地域跨度上的局限，使得結(jié)果在不同地區(qū)相差較大。因此，國內(nèi)外學(xué)者先后建立了精度較高的電離層預(yù)報模型，如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、時間序列模型［6－15］等，并取得了豐富的研究成果。其中，時間序列模型與其他模型相比具有樣本數(shù)據(jù)要求少、建模理論完善、計算過程相對簡單、外延性好以及短期電離層預(yù)報精度高等優(yōu)勢［12－16］。自文獻［10］提出了以IGS電離層資料為樣本利用時間序列方法預(yù)報全球電離層TEC以來，雖有少量學(xué)者也利用時間序列模型分析預(yù)報電離層TEC值并且取得了一定成果，但大多數(shù)研究都是基于電離層平靜期的TEC值，而對于包含有電離層活躍期TEC值的預(yù)報效果卻鮮有人提及。此外，已有研究在用時間序列模型分析電離層時，一般都只考慮到殘差項中周期性與短期相關(guān)性的相加性模型，而忽略了乘積性季節(jié)模型的可能性。TEC時間序列在很多情況下都更適合用乘積性季節(jié)模型來模擬。

基于此，本文利用CODE提供的高精度電離層TEC資料，采用時間序列模型的分析方法，考慮乘積性季節(jié)模型，對不同電離層環(huán)境下（電離層平靜期和活躍期）和不同緯度地區(qū)預(yù)報性能和精度，同時重點分析了影響該方法預(yù)報精度的因素，如TEC樣本數(shù)據(jù)長度對預(yù)報精度的影響以及相同TEC樣本數(shù)據(jù)預(yù)測不同天數(shù)對預(yù)測精度的影響。

2 時間序列法（ARIMA模型）預(yù)報電離層TEC

電離層TEC的變化與地理位置、季節(jié)、地方時以及太陽和地球的活動有密切關(guān)系。因此，其TEC值具有明顯的年周期變化、季周期變化、日周期變化和隨機波動。而時間序列分析可以對一組有序數(shù)據(jù)進行觀察、研究，找到它的變化發(fā)展規(guī)律，能夠較好地預(yù)測其走勢。

利用時間序列法預(yù)報電離層TEC值的基本流程是先獲得由CODE提供的TEC值作為樣本序列，然后判斷序列的平穩(wěn)性，如果序列不平穩(wěn)則先進行平穩(wěn)化處理；得到平穩(wěn)序列后通過自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)表現(xiàn)的性質(zhì)選定模型并定好階以完成建模過程；建模完成后進行顯著性檢驗，看所選模型是否顯著有效；最后，在所有通過檢驗的模型中按照一定準(zhǔn)則選擇相對最優(yōu)模型，進行序列的預(yù)測。根據(jù)TEC值序列明顯的周期性，對TEC序列進行以步長為周期長度S的差分運算，根據(jù)觀測時序圖、觀測序列的自相關(guān)函數(shù)等來判別其周期S，按式（1）進行季節(jié)差分

一般情況下，經(jīng)一次季節(jié)差分和一次正常差分后，原序列觀測值能夠轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)時間序列z（t）。若不能，則繼續(xù)差分直到平穩(wěn)。對差分平穩(wěn)序列可用ARIMA（求和自回歸移動平均）模型進行擬合［12］。ARIMA模型又可分為ARIMA（p，d，q）模型和 ARIMA（p，d，q）×（P，D，Q）S乘積季節(jié)模型。普通ARIMA（p，d，q）模型可表示為式（3）—式（6）

式中，xt為零均值平穩(wěn)序列；d表示d階差分；εt表示零均值白噪聲序列；Φ（B）為平穩(wěn)可逆ARMA（p，q）模型的自回歸系數(shù)多項式；Θ（B）為平穩(wěn)可逆ARMA（p，q）模型的移動平滑系數(shù)多項式；非負整數(shù)p稱為自回歸階數(shù)，非負整數(shù)q稱為滑動平均階數(shù)；實參φ1、φ2、…、φp稱為自回歸系數(shù)，實參θ1、θ2、…、θq稱為滑動平均系數(shù)［18－20］。

通常情況下，普通的ARIMA模型已經(jīng)能夠模擬出比較準(zhǔn)確的模型，但還是有部分序列不能理想模擬。對于有短期相關(guān)性和季節(jié)效應(yīng)之間具有復(fù)雜關(guān)聯(lián)性的情況，短期相關(guān)性和季節(jié)效應(yīng)不能簡單地、可加性地提取，此時須用乘積季節(jié)模型。其季節(jié)相關(guān)性可采用以周期步長為單位的ARIMA（p，d，q）模型提取，這樣的序列則適合采用 ARIMA（p，d，q）×（P，D，Q）S乘積季節(jié)模型進行擬合，其完整表達如式（7）—式（9）

在分析過程中，應(yīng)根據(jù)TEC值的時間序列具體表現(xiàn)出來的性質(zhì)挑選模型，然后進行模型的檢核，反復(fù)嘗試，直到找出最佳模型。通常情況下，同一個時間序列可以構(gòu)造多個顯著有效的擬合模型。為了解決這個問題，引入AIC準(zhǔn)則和SBC準(zhǔn)則作為判斷標(biāo)準(zhǔn)選擇相對最優(yōu)模型，即在通過檢驗的模型中使得AIC或SBC函數(shù)值達到最小的模型。

AIC準(zhǔn)則是擬合精度和參數(shù)個數(shù)的加權(quán)函數(shù)。其中，中心化ARMA（p，q）模型的AIC函數(shù)為

非中心化ARMA（p，q）模型的AIC函數(shù)為

SBC是AIC的改進，理論已經(jīng)證明，SBC準(zhǔn)則是最優(yōu)模型的真實階數(shù)的相合估計［14－15］。中心化ARMA（p，q）模型的SBC函數(shù)為

我們所做的思想政治教材也好，上的思想政治課也好，都不是針對某一個學(xué)生或者某一種學(xué)生的，而是針對絕大部分學(xué)生進行的。這是課堂教育的弊端，在短時間內(nèi)我們也無法進行改正。這樣的廣泛性的思想政治教育，往往不能夠達到最好的效果。每個學(xué)生的思想問題以及所需要接受的思想政治教育都不一樣，所以說我們需要的是有針對性的教育。校園文化是一個立體化的環(huán)境，它包括的方面很多，學(xué)生完全可以根據(jù)自身的需求，去融入其中，并且在不知不覺中完成自我的教育，這是課堂教育所無法比擬的。

非中心化ARMA（p，q）模型的SBC函數(shù)為

3 試驗分析

本文利用CODE提供的高精度全球電離層TEC數(shù)據(jù)作為樣本序列，選取電離層平靜期、活躍期不同地理緯度的TEC數(shù)據(jù)采用ARIMA模型進行短期預(yù)報，其預(yù)報結(jié)果與CODE所提供TEC值（作為真實值）進行比較，得到預(yù)報精度。為了考察預(yù)報結(jié)果的精度，筆者采用相對精度Prel和絕對精度Pabs｛Iave，σ｝

式中，Δave為預(yù)報值與真值的平均殘差；σ為預(yù)報殘差的中誤差；Ipre為預(yù)報的電離層TEC值；Iigs為IGS發(fā)布的TEC值；n為預(yù)報的數(shù)據(jù)量。

3.1 不同環(huán)境下的預(yù)報精度分析

在利用時間序列分析進行電離層TEC預(yù)測時，對于包含電離層處于活躍時期數(shù)據(jù)的預(yù)報結(jié)果鮮有人提及，因此筆者對電離層活躍程度如何影響預(yù)報結(jié)果進行了分析探討，得出一些具有參考價值的結(jié)果。

對電離層活躍期的預(yù)報分析，筆者選取2010年 年 積 日 為 47—60 日（2010－02－16—2010－03－01）、227—240日（2010－08－15—2010－08－25）兩個時 段 內(nèi) 高 緯 度（70°N，115°E）、中 緯 度（40°N，115°E）和低緯度（10°N，115°E）電離層格網(wǎng)TEC數(shù)據(jù)；對電離層平靜期的電離層預(yù)報分析，筆者選取2012－03－06—2012－03－14、2011－09－09—2011－09－22、2010－08－01—2010－08－14、2008－02－01—2008－02－14 這 4 個 時 段 IGS 提 供 的 高 緯度（75°N，125°E）、中緯度（45°N，125°E）和低緯度（5°N，125°E）的格網(wǎng) TEC數(shù)據(jù)，4段數(shù)據(jù)包含了春夏秋冬的情況，且電離層活躍期持續(xù)較長。然后，用前8d的TEC值預(yù)報后6d的TEC值，并與發(fā)布的真實值作比較，其結(jié)果如圖1和圖2所示。

圖1為2010－02－24—2010－03－01不同緯度的預(yù)測結(jié)果與實際觀測結(jié)果的對比圖，圖中橫坐標(biāo)軸表示預(yù)測歷元，其中每2h一個歷元；縱坐標(biāo)軸表示TEC值，單位為TECU；紅色（TEC－PRE）代表預(yù)測值，黑色（TEC－IGS）表示IGS提供的實際觀測值。圖2為預(yù)測結(jié)果與實際觀測結(jié)果之差的散點圖，即殘差散點圖，其中橫坐標(biāo)軸表示預(yù)測歷元；縱坐標(biāo)軸為預(yù)測值與真實值之差，單位為TECU。其中，圖2中的藍色三角形、紅色圓形、黑色正方形分別代表高、中、低緯度每個歷元的預(yù)報殘差。

由圖1和圖2可以看出，在電離層平靜期與活躍期，利用基于ARIMA模型的時間序列分析法預(yù)測得到的TEC值與實際觀測值在高、中、低緯度均符合的較好，并且在大多數(shù)情況下，預(yù)報殘差在3TECU以內(nèi)，與IGS本身提供TEC值精度相當(dāng)。且預(yù)報殘差會隨緯度的增加而減小。對比電離層平靜期和電離層活躍期，電離層活躍期預(yù)報精度要稍差一些，特別是在低緯度地區(qū)，其殘差值明顯要差于平靜期。

由表1的殘差統(tǒng)計結(jié)果可以看出，電離層平靜期的預(yù)報結(jié)果將近50%的數(shù)據(jù)預(yù)報殘差在1TECU內(nèi)，90%的預(yù)報殘差在3TECU內(nèi)；而電離層活躍期預(yù)報殘差小于1TECU的占44.0%，與電離層平靜期相差不大，而預(yù)報殘差大于3TECu的則為20%，比平靜期的10%大兩倍，說明在電離層活躍期由于電離層的不穩(wěn)定性導(dǎo)致時間序列法對其建模存在一定偏差，從而使得預(yù)報結(jié)果相對較差。但總體來說，時間序列方法具有較高預(yù)報精度，是一種比較理想的預(yù)測方法。

由表2給出的電離層平靜期精度統(tǒng)計表可知，不同緯度預(yù)報值的相對精度有著較大差異，低緯度最高，中緯度、高緯度次之；而對于絕對精度（即平均殘差值和中誤差），高緯度地區(qū)明顯要優(yōu)于中、低緯度。造成不同緯度相對精度和絕對精度恰好相反是由于在低緯度地區(qū)受太陽影響，其本身電離層TEC值較大，從而導(dǎo)致即使預(yù)報殘差較大，其相對精度也會比較高，而高緯度地區(qū)則恰好相反。

表2 電離層平靜期預(yù)測值的絕對精度和相對精度統(tǒng)計表Tab.2 The predicted values’absolute accuracy and relative accuracy in ionospheric quiet period

結(jié)合表3電離層活躍期的預(yù)報精度統(tǒng)計表，采用包含活躍期的數(shù)據(jù)作為樣本序列來進行預(yù)測時，其相對精度比平靜期雖然略高，但預(yù)報殘差要比平靜期預(yù)報大。這是由于相對精度的計算結(jié)果在一定程度取決于基值相的太大，相同或相近的預(yù)報殘差，若基值不同，相對精度會有較大差異；而活躍期的基值一般都比平靜期的基值要大，所以即使殘差較大，仍可保持略高的相對精度。由此可以判斷，殘差項的比較比相對精度的比較更有說服力。因此，可以認為，包含活躍期的數(shù)據(jù)做樣本序列來預(yù)報電離層TEC值序列預(yù)報精度不如完全采用平靜期數(shù)據(jù)做樣本序列進行預(yù)報的精度，但差異并不是太大。

表3 電離層活躍期預(yù)測絕對精度與相對精度統(tǒng)計表Tab.4 The predicted values’absolute accuracy and relative accuracy in ionospheric active period

3.2 預(yù)測精度的影響因素分析

以往研究中雖然介紹了相關(guān)基于ARIMA模型的電離層預(yù)報方法，但是卻沒有較為全面的分析預(yù)測結(jié)果精度的影響因素，使得無法使用最佳的預(yù)報方式得到最好預(yù)報結(jié)果。因此，筆者對影響該方法預(yù)報精度的影響因素做了重點分析。其包括兩方面：一方面是所采用樣本數(shù)據(jù)的長短對預(yù)報結(jié)果的影響（即多少天的樣本數(shù)據(jù)才是最佳樣本數(shù)據(jù)），而另一方面，筆者分析了該方法利用同樣的樣本數(shù)據(jù)預(yù)報數(shù)天，分析其最大預(yù)測長度。以便后續(xù)為運用該方法提供重要參考。

首先，筆者取2009年年積日70—126CODE提供的高緯度（75°N，125°E）、中緯度（45°N，125°E）和低緯度（5°N，125°E）的格網(wǎng) TEC數(shù)據(jù)作為序列樣本進行時間序列分析，采用7－7（即利用7d的數(shù)據(jù)來預(yù)測之后7d的 TEC結(jié)果）、10－7、20－7、30－7、40－7、50－7 6種模式來研究預(yù)報所采用天數(shù)對預(yù)報結(jié)果的影響，圖3給出了6種方式預(yù)測的相對精度對比圖。

由圖3可以看出，樣本序列的長度對預(yù)測精度有一定影響，在最初，樣本序列的增長能夠很明顯地提高預(yù)測相對精度；但隨著樣本繼續(xù)增長，到一定長度后變化不再明顯；超過一定長度后，隨著樣本序列的增長，預(yù)報精度開始下降。由圖可以看出，30d左右為最佳樣本序列長度，如果再增加樣本長度對相對精度不會有明顯的提高。

然后，筆者利用2010年年積日為227—240日（10°N，115°E）的TEC樣本序列向后預(yù)報50d，分析了該方法預(yù)測精度隨著預(yù)報天數(shù)增加的變化規(guī)律，圖4給出了預(yù)報精度隨時間的變化圖（給出的為每天12個時段的平均相對精度），其結(jié)果如圖4所示，其中橫坐標(biāo)軸表示預(yù)報的預(yù)報天數(shù)；縱坐標(biāo)軸為預(yù)報的相對精度。

由圖4可以看出，隨著預(yù)報時間的增加，預(yù)報精度大致呈現(xiàn)下降的趨勢。但是預(yù)測長度在前30d左右平均相對精度差不多都在80%以上，且在前10d平均相對精度在90%左右，而超過30d預(yù)報的相對精度明顯下降，隨時間增加相對精度衰減越快。預(yù)報初期之所以出現(xiàn)精度逐漸增加的現(xiàn)象，跟其電離層異常有一定關(guān)系，導(dǎo)致預(yù)報初期的3～5d精度較低，而后來逐漸恢復(fù)正常。

4 結(jié) 論

基于ARIMA模型的方法是基于數(shù)學(xué)方法的預(yù)報，使用較簡單且預(yù)測結(jié)果較為理想，以分析該方法在不同電離層狀況下的預(yù)測性能和影響該方法精度的因素分析。經(jīng)大量試驗，分析得到如下結(jié)論：

（1）該方法在預(yù)報電離層TEC中是可行的而且有較大的應(yīng)用價值。其預(yù)測的平均相對精度可達83%；而平均絕對精度（即殘差）為0.18 TECU，其中殘差值小于3TECU的占到90%以上。

（2）無論是在電離層活躍期還是平靜期，該方法均能得到較好的預(yù)測結(jié)果。兩者預(yù)報的相對精度基本相當(dāng)，而電離層活躍期相對于平靜期的預(yù)報絕對精度要稍差，但也屬于較為理想的精度范圍。

（3）該方法預(yù)測時所采用的樣本數(shù)據(jù)長度和預(yù)報時間長度，都會造成預(yù)報精度的差異。其規(guī)律是：預(yù)報所采用的天數(shù)（即TEC樣本數(shù)據(jù)長短）對結(jié)果有較明顯的影響。在一定范圍內(nèi)，當(dāng)預(yù)報所采用的天數(shù)較多時，結(jié)果的可靠性也就較強，達到的精度更高；但隨著樣本序列增加到一定值（約30d左右）后，其相對精度提高不大。而同樣的TEC樣本數(shù)據(jù)，一般預(yù)測時間越長精度越低，而前30d其精度波動幅度不大，但是超過30d，則精度會隨時間出現(xiàn)明顯的衰減。

圖1 電離層平靜期（左圖）與活躍期（右圖）在不同緯度的TEC預(yù)報結(jié)果Fig.1 TEC forecast result comparison at different latitudes in ionospheric quiet period

圖2 電離層平靜期（左圖）與活躍期（右圖）在不同緯度的預(yù)報殘差Fig.2 Predicted residual value at different latitudes in ionospheric quiet period

圖3 6種預(yù)測模式的相對精度對比圖Fig.3 Comparison figure of the six predicting patterns’relative accuracy

圖4 預(yù)報50d每天的平均相對精度統(tǒng)計圖Fig.4 Everyday’s average relative accuracy statistical figure of predictions in 50days

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