廣義延拓插值法在衛(wèi)星精密星歷中的應(yīng)用

申俊飛，鄭 沖，陳金春

（北京衛(wèi)星導航中心，北京 100094）

1 引言

在衛(wèi)星導航定位中需要不斷地計算出導航衛(wèi)星的瞬時坐標和速度，而衛(wèi)星坐標和速度是根據(jù)接收到的廣播星歷來計算的，而每次計算都需要占用大量內(nèi)存，影響計算速度。衛(wèi)星在軌道上的位置和速度用星歷表示，具體形式可以是衛(wèi)星位置和速度的時間列表，也可以是一組以時間為引數(shù)的軌道參數(shù)。衛(wèi)星通過發(fā)布星歷參數(shù)為用戶提供實時定位、精確導航以及授時等服務(wù)；用戶根據(jù)提供的星歷參數(shù)由用戶終端設(shè)備按固定公式計算出的衛(wèi)星位置和速度稱之為導航衛(wèi)星廣播星歷。當然廣播星歷還包括其他一些如衛(wèi)星鐘等參數(shù)，這里只討論星歷中發(fā)播的軌道參數(shù)［1］。

廣播星歷是通過衛(wèi)星導航系統(tǒng)的測軌分系統(tǒng)外推軌道得到，隨著時間的推移，預(yù)報軌道會偏離實際軌道，導航和定位的精度降低，所以只能保證一定時間段內(nèi)的精度要求。隨著衛(wèi)星導航系統(tǒng)的不斷發(fā)展，對廣播星歷的精度和實時性提出了更高的要求，因此，如何快速、精確、方便地為用戶提供導航衛(wèi)星的位置和速度信息是衛(wèi)星導航定位應(yīng)用中的一個極其重要的問題［2］。

2 新插值方法

考慮到提供給用戶的廣播星歷的精確性和實時性要求，廣播星歷應(yīng)是盡可能精確的提供衛(wèi)星軌道預(yù)報值，即考慮了衛(wèi)星所受的地心引力和各種攝動力；廣播星歷參數(shù)能很好的擬合這些值，計算誤差應(yīng)盡量小，用戶利用廣播星歷參數(shù)計算衛(wèi)星位置的過程應(yīng)盡量簡單。

為此，將導航衛(wèi)星星歷表示為某種特定的多項式（即將一定時間段內(nèi)的衛(wèi)星星歷擬合于選定的多項式），然后將多項式系數(shù)作為星歷參數(shù)廣播給用戶是一種可行的方式。目前在精密星歷數(shù)據(jù)處理中，應(yīng)用較多的是拉格朗日多項式插值，切比雪夫多項式在軌道擬合標準化中也由于其良好的插值精度有著廣泛的應(yīng)用［3－8］。

文獻 ［9］提出了廣義延拓插值法的基本原理與方法，并對其精度進行評價，但沒有探討3個參數(shù)的取值對插值結(jié)果的影響。本文采用廣義延拓插值法進行導航衛(wèi)星廣播星歷的插值，探討了3個參數(shù)的取值與插值精度之間的關(guān)系。

3 廣義延拓插值原理

廣義延拓插值是在插值法和擬合法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種插值方法。它一方面在分片邊界點上滿足插值條件，使得分片之間的變化具有一定的協(xié)調(diào)性；另一方面又利用分片插值區(qū)域的周圍節(jié)點的信息，實現(xiàn)分片區(qū)域內(nèi)部的最佳擬合。

設(shè)函數(shù)u有一組離散數(shù)據(jù)

欲在區(qū)域Ω上構(gòu)造一個近似函數(shù)U滿足

將Ω劃分為m個互不重疊的子區(qū)域（e＝1，2，…，m），稱作單元域Ωe，單元域共有r個節(jié)點，其相應(yīng)的節(jié)點坐標為xi（i＝1，2，…，r），節(jié)點函數(shù)值為ui（i＝1，2，…，r）。將單元域拓展，得單元延拓域Ω′e。

設(shè)Ω′e內(nèi)有s個節(jié)點，其中屬于Ωe的有r個節(jié)點（r＜s）。利用延拓域內(nèi)信息來構(gòu)造單元域內(nèi)逼近函數(shù)。

式（3）中，g1（x），g2（x），…，gt（x）為Ω′e上的一組基函數(shù)；ak（k＝1，2，…，t）為待定系數(shù)；t為逼近函數(shù)項數(shù)，且r＜t＜s。

利用最佳平方逼近，求a1，a2，…，at，使

同時，使Ue（x）滿足Ωe上的插值條件：

將兩式合并寫成為

由式（6）解出逼近函數(shù)式（3）中的待定系數(shù)，便可確定Ωe上的插值函數(shù)。式（6）稱為廣義延拓逼近方法的數(shù)學模型。

4 結(jié)果分析及應(yīng)用

本文中用美國國家大地測量機構(gòu)（national geodetic survey，NGS）提供的精密星歷來進行廣義延拓插值計算，然后對結(jié)果進行分析。軌道擬合的效果受到多項式階數(shù)、擬合時段長度等參數(shù)的影響，分析這些參數(shù)的影響以及參數(shù)間的關(guān)系對于更好地使用廣播星歷有一定的意義。

目前NGS精密星歷采樣間隔為15min 本文采用 NGS跟蹤站提供的2002－01－01PRN1衛(wèi)星15min等間隔的GPS精密星歷，利用廣義延拓插值法將15min間隔的數(shù)據(jù)插值到5min間隔，依次改變單元域節(jié)點數(shù)r、延拓域節(jié)點數(shù)s和逼近函數(shù)的項數(shù)t等3個參數(shù)的取值，組成多種組合，比較在取不同參數(shù)時插值的精度，分析參數(shù)和精度之間的關(guān)系，并與GPS精密星歷中的衛(wèi)星坐標值進行比較，計算結(jié)果見表1。

表1 插值結(jié)果與GPS精密坐標比較

表1中給出了3個參數(shù)取得不同值時，廣義延拓插值結(jié)果與精密星歷坐標的最大差值?？梢钥闯?，3個參數(shù)的取值和插值精度之間存在著一定的規(guī)律，當3個參數(shù)取值較小時，插值誤差較大，r＝3，s＝5，t＝4時最大誤差可達到90m以上。隨著r，s，t等3個參數(shù)的增大，插值的精度不斷提高，在一定的范圍內(nèi)，精度保持穩(wěn)定，具有較高的精度。從表中數(shù)據(jù)可以看出，插值精度與參數(shù)s的關(guān)系最為密切，可以看到當s大于10時才能得到較高的插值精度；而當s的取值固定時，插值精度隨著t的變化而改變，t和s越接近，插值精度就越高，當時，精度最高。一般地，當s大于10后，再增加3個參數(shù)的值，插值精度基本保持穩(wěn)定，不會有明顯的變化，可以認為r＝7，s＝11，t＝10即滿足需要。X、Y、Z的最大誤差為2.7mm2.1mm1.8mm 具有很高的精 度，達到毫米級。參數(shù)繼續(xù)增加時，計算量增加，插值精度反而不斷降低。

由以上可見用廣義延拓插值法是可以滿足導航定位精度的要求。對于精密廣播星歷來說，如果采用r、s、t三個參數(shù)分別為7、11、10時，在廣播星歷播送時，只需要知道X、Y、Z三個方向上的系數(shù)，即t＝10時共計30個參數(shù)即可。

并且這30個參數(shù)可由主控站將衛(wèi)星在在地球協(xié)議坐標系中的軌道直接擬合得到。用戶收到這30個精密廣播星歷參數(shù)后，應(yīng)用廣義延拓逼近多項式，可直接計算衛(wèi)星在地球協(xié)議坐標系中對應(yīng)時刻的位置和速度，無需進行坐標轉(zhuǎn)換，物理意義明確，計算簡單，速度快。

5 結(jié)論

通過以上數(shù)據(jù)計算統(tǒng)計的結(jié)果和分析，可以初步得出以下結(jié)論：

（1）用項數(shù)為10的廣義延拓逼近多項式逼近擬合衛(wèi)星軌道，將多項式系數(shù)作為導航衛(wèi)星精密星歷參數(shù)廣播，這是一種新的廣播星歷形式，導航定位終端利用這組星歷參數(shù)解算實時導航定位時的所需衛(wèi)星軌道，方法簡單、快捷。

（2）利用這組星歷參數(shù)解算衛(wèi)星軌道，計算過程簡潔，計算速度快，占用計算機內(nèi)存空間少、能滿足精度要求等優(yōu)點，但同時可能造成廣播星歷中信息的損失，還需要進一步研究；同時對廣義延拓逼近多項式系數(shù)可根據(jù)實際精度需要進行合理選擇。該方法在GPS定位測量中為實現(xiàn)衛(wèi)星軌道標準化提供了一種較好的、行之有效的方法。

（3）這種方法是否適用于具有多種軌道類型的導航衛(wèi)星系統(tǒng)還待研究，這對于我國具有多種軌道類型共存的北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)具有一定的參考價值。

［1］ 朱俊，文援蘭，廖瑛.一類適用于各種軌道類型的導航衛(wèi)星廣播星歷研究［J］.航天控制，2005（6）：9－11.

［2］ 陳春花，高成發(fā).衛(wèi)星軌道標準化及其算法實現(xiàn)［J］.現(xiàn)代測繪，2008，31（3）：12－15.

［3］ 嚴麗，李萌.切比雪夫多項式擬合衛(wèi)星軌道與鐘差的精度分析［J］.測繪科學，2013，38（3）：59－62.

［4］ 王義峰，文鴻雁，劉立龍.用切比雪夫多項式標準化 GPS衛(wèi)星軌道［J］.測繪與空間地理信息，2008，31（1）：21－22.

［5］ 李明峰，江國焰，張凱.IGS精密星歷內(nèi)插與擬合法精度的比較［J］.大地測量與地球動力學，2008，28（2）：77－80.

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［8］ 劉偉平，郝金明.一種新的IGS精密星歷插值算法［J］.武漢大學學報：信息科學版，2011，36（11）：1320－1324.

［9］ 施滸立，顏毅華，徐國華.工程科學中的廣義延拓逼近法［M］.北京：科學出版社，2005.