折合質(zhì)量在兩體問題中的應(yīng)用

殷正徐

（江蘇省沭陽高級中學(xué)，江蘇 沭陽 223600）

“兩體問題”在物理競賽中是一個重要的考查點，也是自主招生的重要考點.通過折合質(zhì)量可以把“兩體問題”降維為“單體問題”，使運動情景更加清晰，數(shù)學(xué)運算大大簡化.

1 兩體問題中的折合質(zhì)量

二質(zhì)點系統(tǒng)是最簡單的質(zhì)點系統(tǒng)，通常把二質(zhì)點孤立系統(tǒng)問題稱為二體問題.二體問題中系統(tǒng)動量守恒，質(zhì)心保持勻速直線運動或保持靜止.

圖1

如圖1所示，設(shè)質(zhì)點1和質(zhì)點2的質(zhì)量分別為m1和m2，它們的位矢分別為r1和r2，質(zhì)點1受到質(zhì)點2的作用力為f12，質(zhì)點2受到質(zhì)點為1的作用力為f21，由牛頓第三定律，有

兩質(zhì)點動力學(xué)方程分別為

聯(lián)立求得

令a12＝a1－a2，a12是質(zhì)點1相對質(zhì)點2的加速度.方程改寫為

方程（1）就是質(zhì)點1相對質(zhì)點2的相對動力學(xué)方程，這樣我們就把兩質(zhì)點的動力問題轉(zhuǎn)化為一個質(zhì)點相對于另一質(zhì)點的動力學(xué)問題.二體問題的這種處理稱為等效單體問題.

2 等效單體問題的動力學(xué)方程和動能定理

2.1 動力學(xué)方程

方程μa12＝f12，說明質(zhì)點1在質(zhì)點2參考系中運動時所遵守的動力學(xué)方程仍滿足質(zhì)點1（稱動質(zhì)點）受到的力與質(zhì)點1相對于質(zhì)點2的加速度成正比，折合質(zhì)量被視為單體的質(zhì)量.

2.2 動能定理

2.2.1 相對動能表達式

設(shè)兩質(zhì)點相對于參考系O的速度為v1，v2，相對于平動質(zhì)心參考系O′的速度分別為v1′，v2′，設(shè)質(zhì)點1相對于質(zhì)點2的相對速度為

在質(zhì)心系O′中質(zhì)點系的總動量為0，有

聯(lián)立以上兩式可得

由此寫出二質(zhì)點系統(tǒng)相對質(zhì)心系O′的動能Ek′和相對速度u＝12的關(guān)系式為

二質(zhì)點系統(tǒng)對質(zhì)心系的動能可用相對速度表示，故稱為相對動能（又稱為資用能），記作Ekr.特別注意，相對動能表達式中折合質(zhì)量被視為單體的質(zhì)量.

2.2.2 動能定理

其中A1內(nèi)是內(nèi)力相對于質(zhì)點2對質(zhì)點1做的功，證明如下.

由質(zhì)點系動能定理得

由柯尼希定理得

由于二體系統(tǒng)是孤立系統(tǒng)，故f外≡0，則質(zhì)點系質(zhì)心速度不變，質(zhì)心系的質(zhì)心動能EkC不變.同樣由于f外≡0，外力所做的總功也為0，即A外≡0.所以兩體系統(tǒng)的質(zhì)點系動能定理可寫成

上式參考系為慣性參考系O，其中A內(nèi)為內(nèi)力對質(zhì)點1和質(zhì)點2做功之和，即

而A1內(nèi)＝f12·Δr12是內(nèi)力相對于質(zhì)點2對質(zhì)點1做的功，得證.

3 質(zhì)點與等效單體的比較（見表1）

表1

4 折合質(zhì)量在自主招生題中的應(yīng)用

例1.（2006年清華大學(xué)）如圖2所示，質(zhì)量分別為m1和m2的木塊用勁度系數(shù)為k的輕彈簧連接起來，用繩子拉緊兩物體，使彈簧壓縮.某時刻將繩子燒斷，試求兩木塊的振動周期.（不計兩木塊與地面間摩擦力）

圖3

解析：本題是典型的二體運動問題，兩個物體都在運動使每個物體的位移與彈簧的形變都不同.下面通過應(yīng)用常規(guī)解法與應(yīng)用折合質(zhì)量解法的對比，感受應(yīng)用折合質(zhì)量方法解決二體問題的優(yōu)越性.

解法1（常規(guī)解法）：設(shè)m1、m2兩物體的質(zhì)心在點O，因兩物體在水平方向不受外力，故點O保持不動.以點O為原點沿彈簧方向建立x軸，如圖3所示，物體m1、m2對應(yīng)的速度為v1、v2，對應(yīng)的坐標(biāo)變化為Δx1、Δx2.由動量守恒得

在某段時間Δt內(nèi)

將彈簧看成由兩部分組成，設(shè)m1到點O段的彈簧的勁度系數(shù)為k1，m2到點O段的彈簧的勁度系數(shù)為k2，由彈簧的串聯(lián)關(guān)系得

兩物體受到彈簧的彈力大小相等、方向相反，得

由簡諧運動的周期公式得

由（3）～（6）式得

由對稱性可知，木塊m1____、m2的振動周期相等，即

解法2（折合質(zhì)量解法）：兩木塊運動可以等效為單體運動問題，其折合質(zhì)量為

其由簡諧運動的周期公式得

通過上述兩種解法可以看出，用折合質(zhì)量解決兩體問題簡潔明了、直擊要點.

例2.（2009年復(fù)旦大學(xué)）質(zhì)量為M，長為L的小船在無阻力的水面上靜止漂浮，有一質(zhì)量為m的人以相對于船為a的

加速度開始在船板上步行，此時船相對于水面的加速度是

解析：人與小船分別組成系統(tǒng)在水面上不受外力，人與小船間相互作用力為

其中

以地面參考系中，小船受力仍為f，由牛頓第二定律得

由（7）～（9）式得

本題（C）選項正確.

本題直接告之人相對船的加速度，根據(jù)等效單體的動力學(xué)方程可以求出人與船的內(nèi)力，再巧妙利用等效前后其作用力相同，從而避免了復(fù)雜的相對運動轉(zhuǎn)化.

例3.（2012年卓越）一質(zhì)量為m＝40kg的孩童，站在質(zhì)量為M＝20kg的長木板的一端，孩童與木板在水平光滑冰面上以v0＝2m/s的速度一起向右運動.若孩童以a＝2m/s2相對木板的勻加速度跑向另一端，并從端點水平跑離木板時，木板恰好靜止.

（1）判斷孩童跑動的方向；

（2）求出木板的長度l.

解析：（1）木板由運動做減速運動變?yōu)殪o止，則其受力方向應(yīng)與運動方向相反，要求孩童應(yīng)沿著木板運動的方向跑動，即孩童開始時應(yīng)站在木板的左端，向右跑.

（2）設(shè)孩童相對木板的速度為u，初始時刻兩者速度相同均為v0，則

由于冰面光滑，孩童和木板組成的系統(tǒng)在水平方向上不受外力，所以動量守恒，即

最終木板恰好靜止，即要求木板相對冰面的速度v＝0，由此可得

此時，孩童相對木板的速度為

將兩體轉(zhuǎn)化為單體問題，內(nèi)力為F＝μa，內(nèi)力的功為A1內(nèi)＝μal.

由單體問題的動能定理式（2）得

其中

聯(lián)立（9）～（13）式解得

將已知數(shù)據(jù)代入上式得l＝2.25m.

本題與例2雖然求解物理量不同，但兩體運動情景卻驚人的相似，這種“不謀而合”說明高校非常重視兩體問題的考察.

圖4

解析：兩質(zhì)點間的相對速度為

折合質(zhì)量為

質(zhì)點系的資用能（相對質(zhì)心的動能）為

兩質(zhì)點在逐漸遠離的過程中，質(zhì)點系的資用能轉(zhuǎn)化為萬有引力勢能（質(zhì)點系的質(zhì)心動能不變）.欲使兩質(zhì)點能夠相距無窮遠，初始時體系的折合機械能（資用能與萬有引力勢能之和）必須大于等于0，即

聯(lián)立（14）～（17）式解得

1 程稼夫.中學(xué)奧林匹克競賽物理教程（力學(xué)篇）［M］.合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2012.