高考中的數(shù)列推理及其應(yīng)用

王朝璇

高考對(duì)合情推理的考查多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，主要考查利用歸納推理、類比推理去尋求新的結(jié)論. 而數(shù)列的內(nèi)容豐富，應(yīng)用廣泛，其中的推理及其應(yīng)用問(wèn)題成為高考中的熱點(diǎn)問(wèn)題.

1. 數(shù)列推理在平面幾何中的應(yīng)用

例1 如圖，互不相同的點(diǎn)[A1，A2，…，An，…]和[B1，B2，…Bn，…]分別在角[O]的兩條邊上，所有[AnBn]相互平行，且所有梯形[AnBnBn+1An+1]的面積均相等.設(shè)[OAn=an.]若[a1=1，a2=2，]則數(shù)列[an]的通項(xiàng)公式是 .

解析 [設(shè)△A1B1O的面積為S，] 由所有[AnBn]相互平行，且[a1=1，a2=2，]有[梯形A1B1B2A2的面積為3S].

又所有梯形[AnBnBn+1An+1]的面積均相等，所以[梯形AnBnBn+1An+1][的面積為3S].

由平面幾何的性質(zhì)知，當(dāng)[n≥2]時(shí)，[anan-1=OAnOAn-1][=m+3mn-1m+3mn-2=3n-23n-5]，

所以[anan-12=3n-23n-5]，遞推有[an-1an-22=3n-53n-8，][an-2an-32=3n-83n-11，…，][a2a12=4.]

將上述各式左右兩邊分別累乘后有[ana12=3n-2，]

又[a1=1]，所以[an=3n-2（n∈N*）.]

點(diǎn)撥 由平面幾何的性質(zhì)導(dǎo)出[an]和[an+1]之間的相互關(guān)系，然后進(jìn)行遞推，在運(yùn)算的過(guò)程中，要注意整體消元的思想.

2. 數(shù)列推理在解析幾何中的應(yīng)用

例2 如圖，在區(qū)域[{（x，y）|x≥0，y≥0}]內(nèi)植樹(shù)，第一棵樹(shù)在[A1（0，1）]點(diǎn)，第二棵樹(shù)在[A2（1，1）]點(diǎn)，第三棵樹(shù)在[A3（1，0）]點(diǎn)，第四棵樹(shù)在[A4（2，0）]點(diǎn)，接著按圖中箭頭方向，每隔一個(gè)單位種一棵樹(shù)，第2013棵樹(shù)所在的點(diǎn)的坐標(biāo)是 .

解析 抓住特殊點(diǎn)的性質(zhì)，考查區(qū)域內(nèi)的第一象限的角平分線上的整點(diǎn).

點(diǎn)[A2]的坐標(biāo)為[（1，1）]，點(diǎn)[A6]的坐標(biāo)為[（2，2）]，點(diǎn)[A12]的坐標(biāo)為[（3，3）]，…

又[A2=A1×2]，[A6=A2×3]，[A12=A3×4]，…

而不大于2013且能表示為相鄰兩個(gè)數(shù)的積的最大整數(shù)為[44×45=1980]，[A1980=A44×45]，即點(diǎn)[A1980]的坐標(biāo)為[（44，44）].

依圖中的規(guī)律，應(yīng)該左移33到達(dá)點(diǎn)[A2013]，第2013棵樹(shù)所在的點(diǎn)的坐標(biāo)是[（11，44）].

點(diǎn)撥 數(shù)列推理在解析幾何中的應(yīng)用往往是考查點(diǎn)的位置問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是抓住特殊點(diǎn)的共性尋找規(guī)律，再進(jìn)行推理.

3. 數(shù)列推理在立體幾何中的應(yīng)用

例3 已知經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)的[n（n∈N*，][n≥3）]個(gè)平面，任意三個(gè)平面不經(jīng)過(guò)同一條直線.若這[n]個(gè)平面將空間分成[fn]個(gè)部分，則[f3=] ，[fn=] .

解析 題目中是經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)的[n（n∈N*，][n≥3）]個(gè)平面，我們從廣義上考慮，不妨由[n=1]時(shí)開(kāi)始觀察，顯然[f1=2，f2=4].

構(gòu)造正方體[MN]，[O]是正方體[MN]的中心，平面[ABCD]，平面[EFGH]，平面[IJKL]交于一點(diǎn)[O]，如圖1，顯然將空間分為8個(gè)部分，故[f3=8].

此時(shí)，我們?nèi)菀壮霈F(xiàn)這樣的錯(cuò)誤，認(rèn)為[f1=2，f2=22，]，[f3=23]，繼而猜測(cè)[fn=2n].

我們來(lái)考查[n=4]時(shí)的情形，如圖2，連結(jié)[AE，EL，LC，CG，GJ，JA]，顯然[AELCGJ]共面，而且和圖1中的三個(gè)平面交于一點(diǎn)[O]，這樣，平面[AELCGJ]和正方體[MN]有6條交線，即在原來(lái)的8個(gè)空間的基礎(chǔ)上增加了6個(gè)空間，故[f4=14].

觀察相鄰兩項(xiàng)之差，[f2-f1=2，][f3-f2=4，][f4-f3=6，]注意到它們相鄰兩項(xiàng)之間的差均為2，故[fn-fn-1=2n-1].

利用疊加法，容易求出[fn=n2-n+2].（對(duì)于一般性的證明比較繁瑣，這里從略.）

點(diǎn)撥 在立體幾何中，往往考查線分面，面分體的個(gè)數(shù)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是抓住圖形的特點(diǎn)找規(guī)律，進(jìn)行推理.

4. 數(shù)列推理在解三角形中的應(yīng)用

例4 設(shè)[△AnBnCn]的三邊長(zhǎng)分別為[an，bn，cn]，[△AnBnCn]的面積為[Sn，n=1，2，3，…，]若[b1>c1]，[b1+c1=2a1]，[an+1=an]，[bn+1=cn+an2]，[cn+1=bn+an2]，則（ ）

A.[Sn]為遞減數(shù)列

B.[Sn]為遞增數(shù)列

C.[S2n-1]為遞增數(shù)列，[S2n]為遞減數(shù)列

D.[S2n-1]為遞減數(shù)列，[S2n]為遞增數(shù)列

解析 因?yàn)閇an+1=an]，所以[an=a1].

而[bn+1=cn+an2]，[cn+1=bn+an2]，

從而[b2+c2=c1+a12+b1+a12=c1+b12+a1=2a1]，

[b3+c3=c2+a22+b2+a22=c2+b22+a2=2a1]，

…

[bn+1+cn+1=2a1]，

即對(duì)所有[n]，有[bn+cn=2a1]，

不妨設(shè)[BnCn=an]，[AnCn=bn]，[AnBn=cn]，

則有[AnCn+AnBn=2a1]，且[BnCn=B1C1=a1]（定值）.

故點(diǎn)[An]的軌跡是以[Bn]，[Cn]為焦點(diǎn)的橢圓，如圖.