基于函數(shù)變換的GM(1,1)模型及其應(yīng)用

楊躍東，馮倩妮

(1.上海師范大學 數(shù)理學院，上海 200234；2.華東理工大學 理學院，上海 200237)

基于函數(shù)變換的GM(1,1)模型及其應(yīng)用

楊躍東1*，馮倩妮2

(1.上海師范大學 數(shù)理學院，上海 200234；2.華東理工大學 理學院，上海 200237)

基于函數(shù)變換理論，本文嘗試使用復合函數(shù)變換來提高原始數(shù)據(jù)序列的光滑性，從而提高模型的擬合精度．并將此方法應(yīng)用于全國人均主要工農(nóng)業(yè)產(chǎn)品產(chǎn)量 (發(fā)電量)的建模中．應(yīng)用結(jié)果表明，該方法所建模型的擬合精度高于傳統(tǒng)的GM(1，1)模型和對數(shù)函數(shù)變換GM(1,1)模型的精度．建模結(jié)果表明本文提出的改進方法的有效性．

函數(shù)變換；光滑度；GM(1,1)模型；精度

0 引言

GM(1,1)模型因其要求“信息量小”，“樣本數(shù)據(jù)少”的研究特性和實用簡單且易于檢驗等優(yōu)點，被廣泛應(yīng)用于工農(nóng)業(yè)、經(jīng)濟等各領(lǐng)域[1-3]．大量研究表明，原始數(shù)據(jù)序列的光滑性是影響GM(1,1)模型預(yù)測精度的重要因素之一．文獻[4]提出了對原始數(shù)據(jù)序列進行指數(shù)函數(shù)變換來提高數(shù)據(jù)序列光滑性的方法，文獻[5]使用冪函數(shù)變換，文獻[6]提出了使用三角函數(shù)對原始數(shù)據(jù)序列做變換，使得模型預(yù)測精度得到了提高．本文在文獻[4-10]的基礎(chǔ)上，嘗試使用復合函數(shù)變換來提高原始數(shù)據(jù)序列的光滑性，同時在理論上證明了此方法的有效性，并且將此方法應(yīng)用于全國人均主要工農(nóng)業(yè)產(chǎn)品產(chǎn)量(發(fā)電量)的建模中，應(yīng)用結(jié)果表明，本文所提出的方法是有效的．

1 GM(1,1)模型改進的數(shù)據(jù)變換函數(shù)方法

1.1 等間距GM(1,1)模型的建模步驟

設(shè)x(0)={x(0)(1),x(0)(2),…，x(0)(n)},x(0)(i)>0，i=1,2,…n，為原始數(shù)據(jù)序列．

步驟2:對一次累加生成序列(1-AGO)x(1)建立等間距GM(1,1)模型，對應(yīng)的微分方程為：

其差分形式(灰色微分方程)為：

x(0)(k)+az(1)(k)=b，k=2,3,…n

(1)

其中z(1)(k)=0.5x(1)(k)+0.5x(1)(k-1)k=2,3,…n為一次累加生成序列(1-AGO)的均值生成序列．

步驟4:若規(guī)定x(1)(1)=x(0)(1)則灰色微分方程(1)的時間響應(yīng)函數(shù)(離散解)：

還原得到擬合后的數(shù)據(jù)為：

1.2 數(shù)據(jù)變換函數(shù)方法提高GM(1,1)模型擬合精度

定義1.2設(shè)f(·)和g(·)為兩個非負數(shù)據(jù)變換函數(shù)，如果滿足

對任意非負單調(diào)遞增序列{x(0)(k)},(k=1,2,…，n)均有

則稱序列{f(x0(k))}的光滑性優(yōu)于序列{g(x0(k))}的光滑性．即，在提高序列光滑性上f(·)比g(·)強．

定理1.2{x(0)(k)}(x(0)(k)>eT，k=1,2,…，n)(T>1，a>1)為非負遞增序列，對任意k=1，2，…,n，有若

證明：先證明第一個不等式，因為{a-lnx(0)(k)}為遞減序列，{lnx(0)(k)}為遞增序列，所以有

a-lnx(0)(k)≤a-lnx(0)(1)(t=1,2,…k-1)

(2)

lnx(0)(t)≤lnx(0)(k)(t=1,2,…k-1)

(3)

式(2)與式(3)相乘我們有

a-lnx(0)(k)lnx(0)(1)≤a-lnx(0)(1)lnx(0)(k)

a-lnx(0)(k)lnx(0)(2)≤a-lnx(0)(2)lnx(0)(k)

?

a-lnx(0)(k)lnx(0)(k-1)≤a-lnx(0)(1)lnx(0)(k-1)

將以上k-1個式子相加得

即

再證明第二個不等式

定理1.2當原始序列為一些數(shù)量級較大的數(shù)據(jù)時在提高原始數(shù)據(jù)序列光滑性上，線性對數(shù)-指數(shù)函數(shù)比單純的對數(shù)函數(shù)的效果要好，對數(shù)函數(shù)要比傳統(tǒng)GM(1,1)模型效果要好．

2 應(yīng)用實例

人均發(fā)電量它是一個國家或地區(qū)的工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和經(jīng)濟運行狀況的重要衡量指標之一．因此建立GM(1,1)模型研究人均發(fā)電量的發(fā)展趨勢有重要意義．現(xiàn)通過傳統(tǒng)GM(1,1)模型、和本文提出的經(jīng)對數(shù)函數(shù)變換及線性對數(shù)-指數(shù)函數(shù)變換改進的GM(1,1)模型對我國1998—2012年的人均發(fā)電量(數(shù)據(jù)見表1)進行建模，并將這幾種不同模型的擬合精度加以比較，結(jié)果見表1．

表1 不同模型擬合結(jié)果和相對誤差比較

數(shù)據(jù)來源：中華人民共和國國家統(tǒng)計局《中國統(tǒng)計年鑒一2013》

從表1我們可以看出，通過應(yīng)用本文所提出的經(jīng)線性對數(shù)-指數(shù)函數(shù)變換改進的GM(1,1)模型對我國人均主要工農(nóng)業(yè)產(chǎn)品產(chǎn)量(發(fā)電量)所建模型的擬合精度最高，平均相對誤差為3.26%，經(jīng)對數(shù)函數(shù)變換改進的GM(1,1)模型的平均相對誤差為3.71%，傳統(tǒng)的GM(1,1)模型的平均相對誤差為3.75%．可見改進模型結(jié)果可以較好的反應(yīng)我國人均主要工農(nóng)業(yè)產(chǎn)品產(chǎn)量(發(fā)電量)的真實值．

3 結(jié)語

基于復合函數(shù)變換，本文提出了一種提高原始數(shù)據(jù)序列光滑性的方法，并且在理論上證明了經(jīng)過這種變換后原始數(shù)據(jù)序列光滑性可以得到提高．同時應(yīng)用實例的運算結(jié)果說明了通過應(yīng)用本文所提出的經(jīng)線性對數(shù)-指數(shù)函數(shù)變換改進的GM(1,1)模型的擬合精度高于傳統(tǒng)的GM(1,1)模型以及對數(shù)函數(shù)變換GM(1,1)模型．從而為研究我國其他地區(qū)人均發(fā)電量的發(fā)展趨勢在方法上提供一些參考．

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GM(1,1)modelbasedonFunctionTransformationanditsApplication

YANGYue-dong1*，F(xiàn)ENGQian-ni2

(1.College of Mathematics and Physics,Shanghai Normal University，Shanghai 200234,China；2.School of Science,East China University of Science and Technology,Shanghai 200237,China)

Based on function transformation theory,this paper attempts to improve the smoothness of the original data sequence using a composite function transformation,thus improving the accuracy of the model.The method has been applied to the modeling of the national percapital output of major industrial and agricultural products

(electricity).The results show that the fitting precision of the improved model is higher than that of the traditional GM(1,1)model and logarithmic function transform of the GM(1,1) model.The modeling results show the effectiveness of this improved model.

function transformation;smoothness;model;accuracy

梁懷學)

2014-06-01

上海市教委重點項目(14ZZ122)

楊躍東(1979-)，滿族，男，河北省承德市人，上海師范大學數(shù)理學院碩士研究生．研究方向：常微分方程與動力系統(tǒng)．

N941.5

A

1674-3873-(2014)03-0079-03