百慕大可轉(zhuǎn)債的最優(yōu)轉(zhuǎn)換策略

宋麗平

(莆田學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,福建 莆田 351100)

百慕大可轉(zhuǎn)債的最優(yōu)轉(zhuǎn)換策略

宋麗平

(莆田學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,福建 莆田 351100)

本文研究一個可以在n個離散時點上進(jìn)行轉(zhuǎn)換的百慕大可轉(zhuǎn)換公司債券(簡稱可轉(zhuǎn)債)模型.采用基于公司價值的可轉(zhuǎn)債定價模型,在公司風(fēng)險資產(chǎn)的價值遵循幾何Brown運動,且股價具有稀釋效應(yīng)的情形下,對百慕大可轉(zhuǎn)債的最優(yōu)轉(zhuǎn)換策略進(jìn)行分析.研究結(jié)果表明,存在一個非負(fù)的常數(shù)臨界值,當(dāng)公司風(fēng)險資產(chǎn)價值高于這個臨界值時,可轉(zhuǎn)債應(yīng)轉(zhuǎn)換；否則,不轉(zhuǎn)換.

百慕大可轉(zhuǎn)債；最優(yōu)轉(zhuǎn)換策略；稀釋效應(yīng)；幾何Brown運動；無套利定價理論

0 引言

可轉(zhuǎn)換公司債券(簡稱可轉(zhuǎn)債)的持有者可以選擇在規(guī)定的期間內(nèi)按事先約定的價格轉(zhuǎn)換成發(fā)行公司的股票,也可以選擇持有至到期日,要求公司還本付息.因此可轉(zhuǎn)債是一種具有債權(quán)性和期權(quán)性雙重性質(zhì)的混合型金融工具.

按可轉(zhuǎn)債持有者執(zhí)行的時限劃分,可轉(zhuǎn)債可分為歐式可轉(zhuǎn)債、百慕大可轉(zhuǎn)債和美式可轉(zhuǎn)債.對于歐式可轉(zhuǎn)債,主要采用Black和Scholes[1]和Merton(1973,1974)[2-3]關(guān)于期權(quán)及公司債券的定價模型.Ingersoll[4]和Brennan & Schwartz[5]最早采用基于公司價值的可轉(zhuǎn)債定價模型,他們假設(shè)公司價值遵循幾何Brown運動,可轉(zhuǎn)債的價值只與公司價值有關(guān),并在Black & Scholes的框架下對可轉(zhuǎn)債進(jìn)行定價.最早建立了以股票價格為變量的可轉(zhuǎn)債定價模型的是Mc Connell & Schwartz[6],即在股票價格遵循幾何Brown運動的情形下,假設(shè)可轉(zhuǎn)債的價值只與股票價格有關(guān),由此利用Black & Scholes模型對可轉(zhuǎn)債進(jìn)行定價.百慕大可轉(zhuǎn)債的持有者可以在到期日之前的若干時點上進(jìn)行實施,它介于歐式可轉(zhuǎn)債和美式可轉(zhuǎn)債之間.目前,對于百慕大可轉(zhuǎn)債的定價問題,以二叉樹和蒙特卡羅模擬方法為主,相關(guān)的理論研究還比較少.化宏宇和程希駿[7]對二期百慕大權(quán)證進(jìn)行定價,即存在2個可行權(quán)日：事先規(guī)定好的某一特定日期和到期日,首先在Black和Scholes模型的基礎(chǔ)上,分析了敲定價格為K、到期日為T的標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)在0時刻的價格,再進(jìn)一步推導(dǎo)其在0時刻的價格.

此外,可轉(zhuǎn)債與看漲股票期權(quán)不同,主要體現(xiàn)為實施后股價是否稀釋了.因為看漲股票期權(quán)實施時的股票已經(jīng)在金融市場上流通了,所以看漲股票期權(quán)的實施不會引起股票數(shù)量的增加,從而股價不會被稀釋.因為公司不能持有自己的股票,所以可轉(zhuǎn)債實施時,公司必須發(fā)行新的股票,股票數(shù)量增加,引起股價的變化,即稀釋效應(yīng).因而,在研究可轉(zhuǎn)債的最優(yōu)實施策略及其定價問題,必須考慮股票的稀釋效應(yīng),否則,定價就會與實際的金融市場產(chǎn)生較大偏差.

本文將在一個任意給定的有限個離散時間點上均可以實施的百慕大可轉(zhuǎn)債模型下,采用基于公司價值的定價模型,并考慮股價的稀釋效應(yīng),對百慕大可轉(zhuǎn)債的最優(yōu)轉(zhuǎn)換策略進(jìn)行研究.

1 模型

設(shè)市場是完備的(如無交易費等等)和無套利的,(Ω，G，=(Gt)0≤t≤T，P)為帶σ-代數(shù)流的完備的概率空間,滿足通常的條件,其中Gt表示直到時刻t為止所獲得的信息,Gt=σ(Zs,0≤s≤t)．

假設(shè)公司通過發(fā)行股票和可轉(zhuǎn)債來融資,在時刻0發(fā)行M份可轉(zhuǎn)債和N份股票.公司資產(chǎn)結(jié)構(gòu)如下：

公司總資產(chǎn)=公司風(fēng)險資產(chǎn)+公司無風(fēng)險資產(chǎn)=股票+可轉(zhuǎn)債

(1.1)

可轉(zhuǎn)債持有者根據(jù)股票價值和可轉(zhuǎn)債價值的大小關(guān)系選擇轉(zhuǎn)換策略,若股票價值大于可轉(zhuǎn)債價值,則轉(zhuǎn)換成股票；否則不轉(zhuǎn)換.若在到期日T可轉(zhuǎn)債沒有被轉(zhuǎn)換,則在時刻T每份可轉(zhuǎn)債可獲得R的支付.考慮一個可以在n個時點上實施的百慕大可轉(zhuǎn)債模型,其可實施時刻為tn,tn-1，…，t2,t1,其中0=tn+1

圖1 n期百慕大可轉(zhuǎn)債(圓點“·”表示可實施時刻)

由(1.1),有

Vt+L0ert=NSt+MDt,0=tn+1≤t

(1.2)

(1.3)

其中mti表示時刻ti的轉(zhuǎn)換量,mti=0，M(i=1，2，…，n),Vt、Dt和St分別表示時刻t公司風(fēng)險資產(chǎn)的價值、可轉(zhuǎn)債的價值和股票的價值,L0為公司無風(fēng)險資產(chǎn)的初始價值,r為無風(fēng)險利率.

由于可轉(zhuǎn)債轉(zhuǎn)換時,會使市面上流通的上市公司的股票數(shù)量增加,引起股票價格的變化(稀釋效應(yīng)),即股價變化不再遵循幾何Brown運動.本文采用基于公司價值的可轉(zhuǎn)債定價模型,并假設(shè)公司風(fēng)險資產(chǎn)的價值遵循幾何Brown運動,可轉(zhuǎn)債的價值只與公司價值有關(guān).此外,不考慮違約情形,即假設(shè)公司價值足以支付在到期日T沒有被轉(zhuǎn)換的可轉(zhuǎn)債的面值.設(shè)Q為與P等價的鞅測度(風(fēng)險中性測度),在Q下,公司風(fēng)險資產(chǎn)價值遵循如下過程：

dVt=Vt(r-δ)dt+VtσdZt,0≤t≤T．

(1.4)

其中δ為分紅率,σ為波動率,Zt為標(biāo)準(zhǔn)Brown運動,且r，δ,σ均為正常數(shù).

2 最優(yōu)轉(zhuǎn)換策略

本節(jié)研究百慕大可轉(zhuǎn)債的最優(yōu)轉(zhuǎn)換策略,考慮股價的稀釋效應(yīng),即可轉(zhuǎn)債轉(zhuǎn)換為公司股票后,會使公司股票的數(shù)量增加,引起股價下跌.

對k=1,2,…，n,設(shè)可轉(zhuǎn)債在時刻tk之前沒有轉(zhuǎn)換,即mti=0(i=1，2，…，k-1)，以Stk表示時刻tk轉(zhuǎn)換之后(即mtk=M)對應(yīng)的股票價格.設(shè)在時刻tk可轉(zhuǎn)債還沒有轉(zhuǎn)換(即可轉(zhuǎn)債還存在,這時mtk=0),用Dtk表示時刻tk的可轉(zhuǎn)債價格,其中Dt1≡R.

由(1.3)知,

Vtk+L0ertk=(N+M)Stk(Vtk)，k=1，2，…，n．

(2.1)

為了研究最優(yōu)轉(zhuǎn)換策略,需要比較在可轉(zhuǎn)換時刻tk(k=1，2，…，n)的股票價格(須是轉(zhuǎn)換之后的價格)Stk與Dtk的大小關(guān)系,為此令

fk(Vtk)≡(N+M)(Stk(Vtk)-Dtk(Vtk))，k=1，2，…，n．

(2.2)

則由(2.2)知,當(dāng)fk(Vtk)>0(k=1,2,…,n)時,在可轉(zhuǎn)換時刻tk(k=1,2,…，n)應(yīng)實施轉(zhuǎn)換；否則不轉(zhuǎn)換.又由(2.1)-(2.2),有

fk(Vtk)≡Vtk+L0ertk-(N+M)Dtk(Vtk)，k=1，2，…，n．

(2.3)

引理2.1fj(Vtj)，Dtj(Vtj)(j=1，2，…，n)具有如下性質(zhì)：

fj(Vtj)∈C1(0,+∞)

(2.4)

(2.5)

(2.6)

(2.7)

(2.8)

Dtj(Vtj)∈C1(0，+∞)

(2.9)

(2.10)

其中導(dǎo)數(shù)除了個別點外均存在,Cj(j=1，2，…，n)表示不同的正常數(shù).

證明(利用數(shù)學(xué)歸納法)當(dāng)j=1時,由(2.3)和Dt1≡R,(2.4)-(2.10)顯然成立. 假設(shè)當(dāng)j=k時,(2.4)-(2.10)成立,下證當(dāng)j=k+1時,(2.4)-(2.10)也成立.

由無套利定價理論[8],

Dtk+1(Vtk+1)=e-r(tk-tk+1)Etk+1[max(Stk，Dtk)]

將(2.2)代入上式,

(2.11)

由于(2.4)和(2.8)-(2.10)對j=k成立,因而由(2.11),知(2.9)-(2.10)對j=k+1成立.結(jié)合(2.3)和(2.10),易知(2.8)對j=k+1成立.下證(2.4)-(2.7)對j=k+1成立,分為兩種情形來證明.

10當(dāng)L0ert1-(N+M)R<0時,由于(2.4)-(2.7)對j=k成立,因此,存在唯一的正常數(shù)λk,使得

(2.12)

由(2.11)及(2.8)和(2.10)對j=k成立,有

(2.13)

又由(2.12),

(2.14)

由(2.3),

(2.15)

由(1.4)知,e-(r-δ)tVt是Q-鞅,因此

Etk+1[Vtk]=e(r-δ)(tk-tk+1)·Vtk+1

(2.16)

將(2.16)代入(2.15)得,

(2.17)

由(2.17)、(2.5)和(2.16),

(2.18)

再由(2.3)和(2.18),

(2.19)

即(2.4)-(2.5)對j=k+1成立.

類似于(2.17)的證明,由(2.3)和(2.11),可得

(2.20)

從而(2.6)-(2.7)對j=k+1成立.

20當(dāng)L0ert1-(N+M)R≥0時,λk=0.

由(2.20),

fk+1(Vtk)=Vtk+1(1-e-δ(tk-tk+1))

(2.21)

由(2.21),易知(2.4)-(2.7)對j=k+1成立.

定理2.1在可轉(zhuǎn)換時刻tk(k=1,2,…，n),百慕大可轉(zhuǎn)債的最優(yōu)轉(zhuǎn)換策略為

其中常數(shù)λk滿足：

證明當(dāng)L0ert1-(N+M)R<0時,由引理2.1中的(2.5)-(2.7)知,對k=1，2，…，n,存在唯一的正常數(shù)λk,滿足

即λk>0,且λk是方程fk(Vtk)=0的唯一解.

再由可轉(zhuǎn)債的定義,可得其最優(yōu)轉(zhuǎn)換策略為

3 結(jié)論

本文研究百慕大可轉(zhuǎn)換公司債券(可轉(zhuǎn)債)的最優(yōu)轉(zhuǎn)換策略問題.按照可轉(zhuǎn)債的定義知,在可轉(zhuǎn)換時刻tk(k=1，2，…，n),若Stk>Dtk(Dt1≡R),則轉(zhuǎn)換；否則不轉(zhuǎn)換. 本文的研究結(jié)果表明,在可轉(zhuǎn)換時刻tk(k=1，2，…，n),若Vtk>λk(λk為某一非負(fù)常數(shù)),則轉(zhuǎn)換；否則不轉(zhuǎn)換. 也就是,下述等價關(guān)系成立：

Stk>Dtk(Dt1≡R)??常數(shù)λk≥0，s.t.Vtk>λk,(k=1，2，…，n)

(3.1)

[1]F.Black,M.Scholes.The Pricing of Options and Corporate Liabilities[J].Journal of Political Economy,1973,81(3):637～654.

[2]R.Merton.Theory of Rational Options Pricing[J].Bell Journal of Economics and Management Science,1973,4(1):141～183.

[3]R.Merton.On the Pricion of Corporate Debt:The Risk Structure of Interest Rate[J].The Journal of Finance,1974,29(2):449～470.

[4]J.Ingersoll.A Contingent-claims Valuation of Convertible Securities[J].Journal of Financial Economics,1977,4(3):289～321.

[5]M.J.Brennan,E.Schwartz.Convertible Bonds: Valuation and Optimal Strategies for Call and Conversion[J].The Journal of Finance,1977,32(5):1699～1715.

[6]J.Mc Connell,E.Schwartz.LYON Taming[J].The Journal of Finance,1986,41(3):561～576.

[7]化宏宇和程希駿.分離交易可轉(zhuǎn)債研究[J].中國科學(xué)院研究生院學(xué)報,2008,25(4)：439～444.

[8]T.Bjork.Arbitrage Theory in Continuous time,Second Edition[M].Oxford university press,Oxford,2003.

TheOptimalConversionStrategiesforBermudaConvertibleBonds

SONGLi-ping

(School of Mathematics,Putian College,Putian 351100,China)

This paper is concerned with the model of Bermuda convertible corporate bonds (convertible bonds for short) with n discrete conversion times.By use of the pricing model of convertible bonds based on the company's value,the optimal conversion strategies for Bermudian convertible bonds are analyzed in the case when the value of the company's risk asset follows a geometric Brownian motion and the stocks have dilution effect.Results confirm that there is a non-negative constant threshold.Moreover,when the company's risk asset value is higher than this threshold,convertible bonds should be converted;otherwise,they should not be converted.

Bermuda convertible bonds;optimal conversion strategies;dilution effect;geometric Brownian motion;arbitrage-free pricing theory

梁懷學(xué))

2014-03-25

國家自然科學(xué)基金項目(1001142);福建省教育廳資助項目(JB12171);莆田學(xué)院教學(xué)改革項目(JG201316)

宋麗平(1979-)，女，福建省莆田市人，現(xiàn)為莆田學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院講師，博士．研究方向：金融數(shù)學(xué)．

O211.6；F830.9

A

1674-3873-(2014)03-0075-04