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    離散廣義系統(tǒng)的因果性

    2014-01-06 09:04:10李莉莉崔利宏
    關(guān)鍵詞:因果性廣義閉環(huán)

    李莉莉,逄 博,崔利宏

    (遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,遼寧 大連 116029)

    離散廣義系統(tǒng)的因果性

    李莉莉,逄 博,崔利宏

    (遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,遼寧 大連 116029)

    通常具有非因果性的離散廣義系統(tǒng)在物理上是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的,但實(shí)際系統(tǒng)中往往存在這種情況.本文首先討論離散廣義系統(tǒng)具有因果性的充要條件.然后針對(duì)不具有因果性的離散廣義系統(tǒng),證明存在狀態(tài)反饋控制器和輸出反饋控制器使閉環(huán)離散廣義系統(tǒng)具有因果性的充要條件,并采用構(gòu)造性方法分別針對(duì)rank(B)=r和不限制矩陣B秩的兩種情況,給出狀態(tài)反饋控制器和輸出反饋控制器的設(shè)計(jì)方案,確保閉環(huán)離散廣義系統(tǒng)具有因果性.

    離散廣義系統(tǒng);因果性;Y-能控;Y-能觀;受限等價(jià)形式;

    0 引言

    近年來(lái),離散廣義系統(tǒng)的研究已經(jīng)取得了很大的進(jìn)展,特別是針對(duì)線性時(shí)不變系統(tǒng).但相對(duì)于連續(xù)廣義系統(tǒng),離散廣義系統(tǒng)的研究還有很多方面未被涉及,且現(xiàn)有結(jié)果多數(shù)是建立在系統(tǒng)具有因果性的前提下.因果性是離散廣義系統(tǒng)區(qū)別于正常系統(tǒng)的一個(gè)重要屬性[1-4].離散的正常系統(tǒng)都具有因果性,但離散的廣義系統(tǒng)并不總是因果的[5-7].通常不具有因果性的離散廣義系統(tǒng)在物理上是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的,這啟發(fā)我們?nèi)ふ夷軌蛳x散廣義系統(tǒng)非因果性的方法,這在理論上和應(yīng)用中都具有重要意義.文獻(xiàn)[5]給出了當(dāng)rank(B)=r時(shí)利用狀態(tài)反饋控制器進(jìn)行脈沖消除方法,但消除離散廣義系統(tǒng)非因果性的方法還不多見(jiàn),并且實(shí)際上B的秩并不總為r.本文分別通過(guò)設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器和輸出反饋控制器,在rank(B)=r和不限制矩陣B秩的兩種情況下,確保閉環(huán)離散廣義系統(tǒng)具有因果性.

    1 預(yù)備知識(shí)

    考慮線性時(shí)不變離散廣義系統(tǒng)

    Ex(k+1)=Ax(k)+Bu(k),
    y(k)=Cx(k),

    (1)

    其中x(k)∈Rn,u(k)∈Rr和y(k)∈Rl分別為狀態(tài)、輸入和輸出向量,E,A∈Rn×n,B∈Rn×r,C∈Rl×n皆為定常矩陣;E為奇異矩陣,且滿足rank(E)=n0

    (2)

    其中

    2 狀態(tài)反饋控制器下的非因果性消除

    文獻(xiàn)[6]指出離散廣義系統(tǒng)(1)是因果的等價(jià)于連續(xù)廣義系統(tǒng)(E,A)無(wú)脈沖,因此可根據(jù)連續(xù)系統(tǒng)(E,A)無(wú)脈沖的相關(guān)判據(jù)判別系統(tǒng)(1)的因果性.對(duì)非因果的離散廣義系統(tǒng),本節(jié)首先給出了存在狀態(tài)反饋控制器使閉環(huán)離散廣義系統(tǒng)具有因果性的充要條件.作為[5]中方法的延拓,當(dāng)rank(B)=r時(shí)討論消除系統(tǒng)非因果的狀態(tài)反饋控制器方法.進(jìn)一步在不限制矩陣B秩的情況下給出消除系統(tǒng)非因果性的條件和狀態(tài)反饋控制設(shè)計(jì)方案.

    2.1 問(wèn)題描述

    給定非因果離散廣義系統(tǒng)(1),若該系統(tǒng)Y-能控,找出狀態(tài)反饋控制器u(K)=Kx(k)使得閉環(huán)離散廣義系統(tǒng)

    Ex(k+1)=(A+BK)x(k)

    (3)

    具有因果性.

    定理1存在狀態(tài)反饋控制器使閉環(huán)離散廣義系統(tǒng)(3)具有因果性的充要條件是離散廣義系統(tǒng)(1)是Y-能控的.

    2.2 設(shè)計(jì)方法

    首先考慮rank(B)=r的情況.由于離散廣義系統(tǒng)具有因果性等價(jià)于連續(xù)廣義系統(tǒng)無(wú)脈沖,因此尋找狀態(tài)反饋控制器消除離散廣義系統(tǒng)非因果性的方法與文獻(xiàn)[5]類似.

    例1考慮不具有因果性的離散廣義系統(tǒng)(1),其中

    上述方法雖然易于計(jì)算,但當(dāng)rank(B)≠r時(shí)不再適用.下面考慮不限制B秩的情況.

    定理2設(shè)可逆矩陣H1∈Rr×r,正交矩陣T1∈Rn×n,T2∈Rn×n,P∈R(n-n0)×(n-n0)和Q∈R(n-n0)×(n-n0)滿足

    T1ET2=diag{∑,0},∑=diag{σ1,σ2,…,σn0},

    (4)

    PA22Q=diag{∑A,0},∑A=diag{τ1,τ2,…,τm},

    (5)

    并記

    若系統(tǒng)(1)Y-能控,則使閉環(huán)離散廣義系統(tǒng)(3)具有因果性的狀態(tài)反饋控制器增益為

    證明:系統(tǒng)(1)存在使得(4)成立的正交矩陣T1和T2[7],從而有

    由系統(tǒng)(1)不具有因果性可知detA22=0.由(5)有

    rank(A22B2)=rank(PA22PB2)=rank(A22)+rank(B22).

    從而det(A22+B2K2)≠0,故可通過(guò)狀態(tài)反饋控制器消除系統(tǒng)(1)的非因果性.

    例2將例1中的矩陣B修改為

    從而rank(B)=r不再滿足,利用定理2可得

    使得閉環(huán)離散廣義系統(tǒng)具有因果性.

    3 輸出反饋控制器下的非因果性消除

    本節(jié)首先給出了存在輸出反饋控制器使閉環(huán)離散廣義系統(tǒng)具有因果性的充要條件,再針對(duì)rank(B)=r和不限制矩陣B秩的兩種情況,分別給出能夠消除系統(tǒng)的非因果性的輸出反饋控制器設(shè)計(jì)方案.

    定理3存在輸出反饋使閉環(huán)離散廣義系統(tǒng)具有因果性的充要條件是離散廣義系統(tǒng)(1)是Y-能控能觀的.

    3.1 問(wèn)題描述

    給定非因果離散廣義系統(tǒng)(1),若該系統(tǒng)Y-能控能觀且快子系統(tǒng)能觀,找出輸出反饋控制器u(k)=Fy(k)使得閉環(huán)離散廣義系統(tǒng)

    Ex(k+1)=(A+BFC)x(k)

    (6)

    具有因果性.

    3.2 設(shè)計(jì)方法

    定理4設(shè)非奇異矩陣Q1∈Rn×n,正交矩陣P1∈Rn×n和U1∈Rr×r滿足

    (7)

    (8)

    證明:系統(tǒng)(1)存在使得(7)成立的Q1,P1和U1[5].設(shè)FC=K.系統(tǒng)(1)Y-能控,故由定理2可知存在FC=K使系統(tǒng)(6)具有因果性.由系統(tǒng)(1)Y-能觀可知

    例3在例2中的增加C=diag{1,1,1,0}的條件.利用定理3取

    可使得閉環(huán)離散廣義系統(tǒng)具有因果性.

    下面考慮不限制B秩的情況.

    定理5設(shè)可逆矩陣H1∈Rr×r,H2∈Rl×l,正交矩陣T1∈Rn×n,T2∈Rn×n,P∈R(n-n0)×(n-n0)和Q∈R(n-n0)×(n-n0)滿足(4)和(5),并記

    證明:與定理2類似,有

    例4在例2中的增加C=diag{1,1,0,0}的條件.利用定理5取

    使得閉環(huán)離散廣義系統(tǒng)具有因果性.

    4 結(jié)論

    本文為非因果離散廣義系統(tǒng)設(shè)計(jì)了狀態(tài)反饋控制器和輸出反饋控制器,先利用連續(xù)廣義系統(tǒng)消除脈沖的相關(guān)結(jié)論,給出rank(B)=r情況下,狀態(tài)反饋控制器和輸出反饋控制器的設(shè)計(jì)方法,然后又推廣到矩陣B的秩不再受到限制的情況.相對(duì)于對(duì)已有結(jié)果使用范圍更廣,為消除離散廣義系統(tǒng)非因果性帶來(lái)極大方便.

    [1]程文彬,馮毅夫.新的量化反饋網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2009,30(3):85~87.

    [2]楊曉光,張 強(qiáng),劉公望.T-S離散模糊控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2003,4: 5~9.

    [3]李筱魁.智能變結(jié)構(gòu)控制設(shè)計(jì)方法[J]. 吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2013,34(3):140~142.

    [4]戴立意.離散廣義系統(tǒng)的求解和能控、能觀性[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),1989,9(2):129~138.

    [5]吳愛(ài)國(guó).廣義線性系統(tǒng)的脈沖消除與觀測(cè)器設(shè)計(jì)[D].哈爾濱工業(yè)大學(xué)大學(xué)博士論文,2008.

    [6]楊冬梅,張慶靈,姚 波.廣義系統(tǒng)[M].北京:科學(xué)出版社,2004,16-29,166-171.

    [7]段廣仁.廣義線性系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)[M].北京:科學(xué)出版社,2012,238~254.

    CausalityofDiscrete-timeSingularSystems

    LILi-li,PANGBo,CUILi-hong

    (School of Mathematics,Liaoning Normal University,Dalian 116029,China)

    In generally,discrete-time singular systems with non-causality are considered impossible in physics,which often exist in the practical systems.First,this paper discusses a necessary and sufficient condition of discrete-time singular systems with causality.Then for discrete-time singular systems with non-causality,the necessary and sufficient conditions for existences of state feedback controller and output feedback controller are proved to guarantee causality of the closed-loop systems.And state feedback controller and output feedback controller are designed respectively by constructive method for two cases of rank(B)=r and no requirement for the rank of matrix B which ensure the causality of the closed-loop discrete-time singular systems.

    discrete-time singular systems;causality;Y-causal controllability;Y-causal observability;restricted equivalent form

    梁懷學(xué))

    2014-05-24

    國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61304056);遼寧省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(L2013409)

    李莉莉(1982-),女,遼寧省大連市人,現(xiàn)為遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院副教授,博士.研究方向:控制理論.

    O231.1

    A

    1674-3873-(2014)03-0060-04

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