組合數(shù)學(xué)基本原理與微分學(xué)鏈?zhǔn)椒▌t共性探討

摘 要：通過對(duì)組合數(shù)學(xué)中的基本原理（加法原理、乘法原理）與微分學(xué)中的求導(dǎo)鏈?zhǔn)椒▌t進(jìn)行分析，得出二者的共同特性.可以得出：不同數(shù)學(xué)分支的不同原理具有相同的特性。

關(guān)鍵詞：加法原理；乘法原理；鏈?zhǔn)椒▌t

中圖分類號(hào)：TP309-4；G642.4

加法原理和乘法原理是組合數(shù)學(xué)中的基本原理（以下簡(jiǎn)稱組合學(xué)基本原理），而鏈?zhǔn)椒▌t在微分學(xué)中一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)與多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)所依據(jù)的基本原理（以下簡(jiǎn)稱求導(dǎo)基本原理）。組合數(shù)學(xué)基本原理與求導(dǎo)基本原理是數(shù)學(xué)兩個(gè)不同分支最基本又最重要的原理，初步看來似乎毫不相關(guān)，仔細(xì)分析，不難發(fā)現(xiàn)，二者具有相同的特性。下面就這一點(diǎn)做一分析和探究。

1 組合學(xué)基本原理

1.1 加法原理

加法原理：記所要實(shí)現(xiàn)的“目標(biāo)”為A，實(shí)現(xiàn)“目標(biāo)”A需要經(jīng)過m個(gè)途徑，第1個(gè)途徑有n1種方法，第2個(gè)途徑有n2種方法，…，第m個(gè)途徑有nm種方法，則實(shí)現(xiàn)“目標(biāo)”A共需要的方法總數(shù)N為

（1）

例1 從B地到達(dá)A地，有三種交通工具，第一種途徑是乘汽車到A地，共有5個(gè)車次；第二途徑是乘火車到A地，共有6次列車；第三途徑是乘輪船到A地，共有4趟輪船，問從B到達(dá)A地共有多少種走法？

這一問題可用圖1形象地表達(dá)。顯然，n1=5，n2=6，n3=4，N=n1+n2+n3=15，即從B地到達(dá)A地共有15種走法。

圖1

1.2 乘法原理

乘法原理：記所要實(shí)現(xiàn)的“目標(biāo)”為A，實(shí)現(xiàn)“目標(biāo)”A需要經(jīng)過m個(gè)步驟，第1步有n1種方法，第2個(gè)步n2種方法，…，第m步有nm種方法，則實(shí)現(xiàn)“目標(biāo)”A共需要的方法總數(shù)N為：

（2）

例2 從B地到達(dá)A地，需要三步實(shí)現(xiàn)，第一步是先乘汽車從B地到達(dá)C地，共有5個(gè)車次；第二步轉(zhuǎn)乘火車從C地到達(dá)D地，共有6次列車；第三步轉(zhuǎn)乘輪船從D地到A地，共有4趟輪船。問從B到達(dá)A地共有多少種走法。

B→C→D→A，顯然，n1=5，n2=6，n3=4，N=n1+n2+n3=120，即從B到達(dá)A地共有120種走法。

綜上所述，不難看出，欲實(shí)現(xiàn)“目標(biāo)”A，若分不同途徑實(shí)現(xiàn)，則采用加法原理；若分步驟實(shí)現(xiàn)，則使用乘法原理。

2 求導(dǎo)基本原理

2.1 一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)鏈?zhǔn)椒▌t

一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)鏈?zhǔn)椒▌t：假設(shè)u=f1（v1）在v1點(diǎn)可導(dǎo)，v1=f2（v2）在v2點(diǎn)可導(dǎo)，…，vm-1=fm-1（x）在x點(diǎn)可導(dǎo)。因變量u與中間變量v1，v2，…，vm-1及自變量x的關(guān)系可用u→v1→v2→…→vm-1→x表示。則u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)為：

（3）

如果將自變量x看做“目標(biāo)”，則要實(shí)現(xiàn)因變量u對(duì)“目標(biāo)”求導(dǎo)，u到x經(jīng)過m個(gè)步驟，比較（2）式和（3）式，不難發(fā)現(xiàn)，一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)鏈?zhǔn)椒▌t與加法原理有共同之處：欲實(shí)現(xiàn)“目標(biāo)”，若分步驟進(jìn)行，應(yīng)采用乘法。

例3 設(shè)，求。

記u=arctanv1，v1=ev2，v2=3x2，顯然，要實(shí)現(xiàn)“目標(biāo)”。需要三步，即u→v1→v2→x。由于，，，由（3）式有

2.2 多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)鏈?zhǔn)椒▌t

多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)鏈?zhǔn)椒▌t：設(shè)n元函數(shù)y=f1（u1，u2，…，un）對(duì)于變量u1，u2，…，un的偏導(dǎo)存在，u1=f11（u11，u12，…，u1n1），u2=f21（u21，u22，…，u2n2），…，un=fn1（un1，un2，…，unnm）對(duì)各自的變量偏導(dǎo)均存在，u11，u12，…，u1n1；u21，u22，…，u2n2）；…，un1，un2，…，unnm均為x1，x2，…，xk的函數(shù)，且各偏導(dǎo)存在。

例4 設(shè)z=uv，u=excosy，v=3x+siny，求。

各變量關(guān)系如圖2所示：

圖2

顯然，要實(shí)現(xiàn)“目標(biāo)”，從z到x需要2個(gè)途徑，每個(gè)途徑分別有2個(gè)步驟，所以有：

3 結(jié)論

通過上面的分析和討論，本文得出這樣的結(jié)論，無(wú)論是組合數(shù)學(xué)中的組合學(xué)基本原理，還是微分學(xué)中的求導(dǎo)基本原理，均具有如下共同特性：為實(shí)現(xiàn)“目標(biāo)”，若需要若干個(gè)途徑時(shí)，采用加法準(zhǔn)則；若需要若干個(gè)步驟時(shí)，采用乘法準(zhǔn)則；若既有分途徑，又有分步驟時(shí)，將加法準(zhǔn)則與乘法準(zhǔn)則結(jié)合起來。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡(jiǎn)介：李宗學(xué)（1963.01-），男，內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市人，副教授，研究方向：數(shù)理統(tǒng)計(jì)，應(yīng)用數(shù)學(xué)。