數(shù)學(xué)分析中求極限的幾種重要方法

摘 要：極限是數(shù)學(xué)分析的重要內(nèi)容，是高等數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)和研究工具，學(xué)習(xí)極限相關(guān)理論對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析和掌握高等數(shù)學(xué)眾多理論有著極其關(guān)鍵的作用。由于極限的計算題目類型多變，而極限的求取方法也種類繁多，因此，針對不同問題找到正確且最簡潔的方法意義重大。本文通過總結(jié)歸納數(shù)學(xué)分析中求極限的幾種重要方法，并且通過例子進行具體的說明，為高等數(shù)學(xué)初學(xué)者提供了一定的指導(dǎo)和幫助。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)分析 極限 高等數(shù)學(xué)

中圖分類號：G4 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-9795（2013）04（b）-0022-02

極限是高等數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)分析部分的重要基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)分析中的許多重要概念如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分和級數(shù)收斂等均要通過極限概念來描述。在數(shù)學(xué)分析與微積分學(xué)中，極限的概念占有主要的地位并以各種形式出現(xiàn)而貫穿于數(shù)學(xué)分析的全部內(nèi)容，因此，掌握好極限的求解方法是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析和微積分的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。數(shù)學(xué)分析中求極限的方法繁多，不拘一格，但并不集中。本文在綜合了大量文獻(xiàn)和資料的基礎(chǔ)上，以數(shù)學(xué)分析中的理論為基礎(chǔ)，參考已有的方法和概念，通過典型例題進行歸納和總結(jié)，進行了簡單的歸類，從利用定義求極限、利用法則求極限、利用公式求極限、利用性質(zhì)求極限以及其他方法幾個方面著手，具體介紹了包括四則運算法、洛必則法則法等幾種重要的求極限方法。希望在求極限方法的正確和靈活運用上，對讀者有所助益。

1 利用定義求極限

極限的概念可細(xì)分為函數(shù)的極限和數(shù)列的極限。

2 利用法則求極限

2.1 四則運算法則法

2.2 兩個準(zhǔn)則法

本文簡單介紹兩個準(zhǔn)則，分別為夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界準(zhǔn)則，常用于數(shù)列極限的求解。

（2）單調(diào)有界準(zhǔn)則：單調(diào)有界數(shù)列必有極限，且極限唯一。

利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限過程中，首先需要證明數(shù)列的單調(diào)性和有界性，然后要證明數(shù)列極限的存在，最后根據(jù)數(shù)列的通項遞推公式以及極限的唯一性來求極限。

2.3 洛比達(dá)法則法

3 利用公式求極限

3.1 兩個重要極限公式法

（1）極限及其變換，常用于包含三角函數(shù)的“”型未定式。

利用這兩個重要極限公式來求極限時要仔細(xì)觀察函數(shù)形式是否符合。

3.2 泰勒公式法

泰勒公式法是指在求極限時，利用泰勒公式將函數(shù)進行展開后再通過一般求極限的方法進行計算的方法。

泰勒公式法對一些比較復(fù)雜的求極限過程可以起到簡化作用。

4 利用性質(zhì)求極限

4.1 無窮小量性質(zhì)法

利用下列幾點無窮小量的性質(zhì)可解決相關(guān)的極限問題。

性質(zhì)1：有限無窮小量的代數(shù)和為無窮小。

性質(zhì)2：無窮小量與有界函數(shù)的乘積為無窮小。

性質(zhì)3：有限無窮小量的乘積為無窮小。

4.2 函數(shù)連續(xù)性法

函數(shù)的連續(xù)性：

5 其他方法

5.1 中值定理法

中值定理法包括利用微分或積分中值定理求極限，通過微分或積分中值定理將函數(shù)進行變換，再求極限。

5.2 定積分法

則可知定積分可化為和式極限的形式，同樣，在求和式極限時，可轉(zhuǎn)為定積分的形式來求解。具體步驟：

（1）首先選擇恰當(dāng)?shù)目煞e函數(shù)f（x）。

（2）然后將所求和式極限表示成為f（x）在某區(qū)間[a，b]上的等分的積分和式的極限。

（3）最后利用求f（x）在區(qū)間[a，b]上的定積分就可得到和式的極限。

6 結(jié)語

數(shù)學(xué)分析中求極限的方法眾多，但每種方法都局限性，在使用時一定要注意其使用前提，只有滿足要求，各種方法才能被正確應(yīng)用。本文主要歸納了數(shù)學(xué)分析中求極限的幾種重要的方法，只是眾多方法的一小部分，不全面之處還望感興趣的讀者繼續(xù)探索和研究。在求極限的過程最重要的就是在綜合運用各種方法的過程，真正理解其本質(zhì)及需滿足的條件，掌握各方法間的內(nèi)在聯(lián)系，才能靈活運用。

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