關(guān)于可導(dǎo)與連續(xù)的幾個(gè)結(jié)論

摘 要：結(jié)合實(shí)例，深入研究可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系，并得到了幾個(gè)有用的結(jié)論。

關(guān)鍵詞：可導(dǎo) 連續(xù) 不可導(dǎo) 不連續(xù)

中圖分類(lèi)號(hào)：O172.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-9795（2013）04（a）-0070-02

可導(dǎo)與連續(xù)是微積分中兩個(gè)重要的概念，大多現(xiàn)有教材中，對(duì)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系都只是一帶而過(guò)，并沒(méi)有深層地去理解和思考，這很容易使學(xué)生判斷函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性時(shí)產(chǎn)生混亂，為了更好地幫助學(xué)生理解可導(dǎo)與連續(xù)，本文深入討論了可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系，并給出了幾個(gè)有用的結(jié)論。

定理1：如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則它在點(diǎn)處連續(xù)。

證明參看文獻(xiàn)[1]。

根據(jù)定理1，很容易得到下面的結(jié)論。

結(jié)論1：若與都存在，則函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)。

證明：因?yàn)榇嬖?，于是?/p>

，

即：函數(shù)在點(diǎn)處左連續(xù)，

同理，由存在，可推知函數(shù)在點(diǎn)處右連續(xù)，

因此，函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)。

對(duì)于定理1來(lái)說(shuō)，其逆命題不成立。

結(jié)論2：函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，但在點(diǎn)處不一定可導(dǎo)。

例1：證明函數(shù)在處連續(xù)，但不可導(dǎo)。

證明：，

，故函數(shù)在處連續(xù)。

而，

所以函數(shù)在處不可導(dǎo)。

1872年，著名數(shù)學(xué)家Karl Weierstrass利用函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第一個(gè)構(gòu)造出了一個(gè)處處連續(xù)而處處不可導(dǎo)的函數(shù)：

，，。

1930年，Van der Waerden給出的例子是：

。

在數(shù)學(xué)分析課程中，這是兩個(gè)非常著名的處處連續(xù)但處處不可導(dǎo)的函數(shù)，參見(jiàn)文獻(xiàn)[4]。

在連續(xù)的基礎(chǔ)上，適當(dāng)強(qiáng)化結(jié)論2的條件，能夠得到如下結(jié)果。

例2：若函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，且，而函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則函數(shù)在點(diǎn)處也可導(dǎo)。

證明：因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)處連續(xù)，所以有，

又因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，即存在，可設(shè)：

，

于是有：

，

即：函數(shù)在點(diǎn)處也可導(dǎo)。

例3：若函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，則函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)。

證明：已知函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，即，于是有：

，

即：函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)。

將例3推廣：

若函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，則函數(shù)：

在點(diǎn)處可導(dǎo)。

證明：時(shí)，見(jiàn)例3，

時(shí)，

，

故函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)。

例4：若函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，則函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)。

證明：，

，

故函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)。

推廣：若函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，則函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)。

證明可參看例3、例4，這里不再贅述。

顯然，定理1的否命題不成立。

結(jié)論3：若函數(shù)在點(diǎn)處不可導(dǎo)，那么函數(shù)在點(diǎn)處不一定連續(xù)。

例5：證明函數(shù)在點(diǎn)處不可導(dǎo)，但在點(diǎn)連續(xù)。

證明：，

，

，故函數(shù)在點(diǎn)處不可導(dǎo)。

而，故函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)。

例6：設(shè)函數(shù)，判斷其在處的連續(xù)性和可導(dǎo)性。

解：，故函數(shù)在處不可導(dǎo)。

，，

故函數(shù)在處不連續(xù)。

由于原命題與逆否命題同真，所以定理1的逆否命題成立。

結(jié)論4：若函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)，則函數(shù)在點(diǎn)處不可導(dǎo)。

證明：假設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，根據(jù)定理1可推知函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，這與已知條件矛盾，假設(shè)不成立，因此，當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)處必不可導(dǎo)。

例7：討論函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性和可導(dǎo)性。

解：，，

因?yàn)?，

所以函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)，由此推知函數(shù)在處也不可導(dǎo)。

結(jié)論5：若函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上可導(dǎo)，則其導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間上不一定連續(xù)。

例8：考察函數(shù)，在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)

，

所以函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)。

而當(dāng)時(shí)，，

因?yàn)椴淮嬖冢栽邳c(diǎn)處不連續(xù)。

例9：考察函數(shù)，顯然

，

因?yàn)椋?/p>

所以，即在點(diǎn)處連續(xù)。

參考文獻(xiàn)

[1]吳贛昌.高等數(shù)學(xué)（理工類(lèi)）（上冊(cè)）[M].3版.北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2009.

[2]復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].上海：上?？萍汲霭嫔纾?978.

[3]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2002.

[4]陳紀(jì)修，邱維元.數(shù)學(xué)分析課程中的一個(gè)反例[J].高等數(shù)學(xué)研究，2006，9（1）：2-5.