“說題”例說

例（習(xí)）題教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中占據(jù)重要地位，教師在進(jìn)行例（習(xí)）題教學(xué)時(shí)，通過引領(lǐng)學(xué)生分析解題思路、反思解題過程、拓展習(xí)題的內(nèi)容與形式等來加深學(xué)生對基本概念的理解，使學(xué)生對概念的理解完整化、具體化，進(jìn)而形成完善、合理的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。為了加強(qiáng)教師對例（習(xí)）題教學(xué)的研究，我們決定以賽促研、以賽促教，使說題研究成為教師的一種重要的集體教研方式。

一、為什么要做“說題”研究

我們在一線調(diào)研時(shí)發(fā)現(xiàn)，目前各校例（習(xí)）題教學(xué)中普遍存在以下問題：輕視教材例題，盲目選題；教法單一，缺乏創(chuàng)新；就題講題，外加“題海戰(zhàn)術(shù)”；欠缺做題后的深刻反思；不考慮學(xué)生實(shí)際，偏重解題技巧和解題模式的歸納。一位資深研究員曾感慨地說：“許多老師講完例1，便是‘下面開始講例2’，卻不知道為什么要講例1和例2?！痹掚m簡短，卻深刻揭示了我們教師在課堂例（習(xí)）題教學(xué)中存在的核心問題。

為了促進(jìn)和優(yōu)化教師對例（習(xí)）題教學(xué)的研究，說題教研迫切需要提上教研日程。我們設(shè)想，在沒有學(xué)生參與的情況下，引導(dǎo)教師向同行講述自己的教學(xué)設(shè)想、解題經(jīng)驗(yàn)和理論依據(jù)，強(qiáng)化教師對數(shù)學(xué)問題、教法學(xué)法的深入研究，營造更為務(wù)實(shí)的教研風(fēng)氣，促使教師探求新型的教學(xué)方式，改變傳統(tǒng)的例（習(xí)）題教學(xué)模式。

二、“說題”的內(nèi)容

“說題”，簡言之就是“說”數(shù)學(xué)題，即教師在例（習(xí)）題教學(xué)中能夠說清楚該題的出處和解題路徑，主要從題目的背景、解法及其對思維培養(yǎng)方面的作用等幾個(gè)方面去分析、說明。

課本中的例題多數(shù)具有很強(qiáng)的典型性、示范性，蘊(yùn)含一種數(shù)學(xué)思想，示范一種解題方法，甚至包含豐富的數(shù)學(xué)背景知識。教師對教材例（習(xí)）題編寫意圖的理解，直接反映了教師對教材的理解。因此，如何充分挖掘這些例（習(xí)）題的潛在功能，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，激活學(xué)生的學(xué)科思維，值得每一位數(shù)學(xué)老師深入思考和認(rèn)真研究。

我們以教材中的一道例（習(xí)）題為題，要求教師主要從題目的背景、意思、解法、變化、教法與學(xué)法、反思等幾個(gè)環(huán)節(jié)去展開“說題”。從表面上看，教師“說”的是數(shù)學(xué)知識間的前后聯(lián)系、解決問題的方法和策略，但從本質(zhì)上說，這些內(nèi)容卻反映了教師自身的學(xué)科理論功底、對數(shù)學(xué)知識的掌握程度、對數(shù)學(xué)方法的理解能力以及數(shù)學(xué)教學(xué)的理念前瞻性。

三、怎樣“說題”

（一）“說”題目的背景

題目的背景，包括題目的題材背景、知識背景、方法背景、思想背景。對題目的背景進(jìn)行分析，要求教師對題目在教材中的地位及作用有一個(gè)全面而深刻的理解。我們以南寧市外國語學(xué)校趙秀杰老師針對九年級下冊第9頁例3“畫出函數(shù)y=-（x+1）2-1的圖象，指出它的開口方向、對稱軸及頂點(diǎn)。怎樣移動(dòng)拋物線y=-x2就可以得到拋物線y=-（x+1）2-1？”一題的說題為例，加以說明。下面是趙老師“說”背景：

1.題材背景。該題目出自人教版九年級下冊26.1.3二次函數(shù)y=a（x-h）2+k的圖象第3課時(shí)的例3。

2.知識背景。該題目涉及的知識點(diǎn)有：①描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象的步驟；②二次函數(shù)y=ax2，y=ax2+k，y=a（x-h）2的圖象、性質(zhì)以及圖象間的相互關(guān)系。

3.方法背景。根據(jù)學(xué)生已有知識與經(jīng)驗(yàn)間的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生大膽猜想后畫圖驗(yàn)證，從函數(shù)對應(yīng)值表、圖象、解析式中觀察拋物線的平移規(guī)律。

4.思想背景。數(shù)形結(jié)合思想、平移變換思想、化歸思想、坐標(biāo)思想、從特殊到一般的思想等。

趙老師的以上分析，是比較到位、透徹的?！罢f”題目背景的目的，就是要教師們明確以下問題：教材設(shè)置該道例（習(xí)）題的目的和意義、該例（習(xí)）題與數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系、該例（習(xí)）題與其他例題之間的關(guān)系、該例（習(xí)）題與習(xí)題之間的關(guān)系等。這些處于不同地位的例（習(xí)）題，其在課堂教學(xué)中的作用是不盡相同的。對例（習(xí)）題進(jìn)行深入研究，而不是就題論題，才能確保我們的教學(xué)不致偏離目標(biāo)，出現(xiàn)小題大做或大題小做的情況。

（二）“說”學(xué)情

“教是為了不教”，“教是為了學(xué)”。“說”學(xué)情，就是要從學(xué)生的認(rèn)知水平、認(rèn)知起點(diǎn)、認(rèn)知障礙以及教師的應(yīng)對策略等方面，去逐一闡釋。我們還是以上面的例題為例，看看趙老師如何來“說”學(xué)情。

1.學(xué)生特點(diǎn)。本題的學(xué)習(xí)主體是畢業(yè)班學(xué)生，他們的觀察能力已有所發(fā)展，邏輯思維能力開始占據(jù)一定的優(yōu)勢，并具備了從一定問題中抽象概括出一般規(guī)律的能力。

2.估計(jì)學(xué)生可能會出現(xiàn)的學(xué)習(xí)困難。當(dāng)知識點(diǎn)一個(gè)一個(gè)呈現(xiàn)時(shí)，學(xué)生比較容易掌握。但將知識點(diǎn)綜合到一起，以題目的形式呈現(xiàn)，學(xué)生就不太容易理解，難以歸納、概括出一般規(guī)律了。

3.教學(xué)策略。學(xué)生已經(jīng)掌握了利用描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象的知識，能夠從圖象上認(rèn)識函數(shù)的性質(zhì)。本題的教學(xué)可以從分析教材的編寫意圖出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的整體性，豐富解決問題的策略，提高解決問題的能力，而這也充分體現(xiàn)了課程標(biāo)準(zhǔn)的要求。

趙老師對學(xué)情的分析，反映出他的以下教育教學(xué)理念：充分地理解學(xué)生，思考幫助學(xué)生理解教材內(nèi)容的策略，以使后續(xù)的教學(xué)過程能夠真正講到點(diǎn)子上，避開無關(guān)的問題，確保提高課堂教學(xué)的實(shí)效。

在這個(gè)環(huán)節(jié)中，教師要認(rèn)真分析學(xué)生的認(rèn)識能力和知識水平，預(yù)測學(xué)生可能會遭遇的思維障礙，并努力借助自身的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，去把握學(xué)生思維障礙形成的原因及解決的策略，不斷優(yōu)化教學(xué)活動(dòng)，做到精講精練、教學(xué)相長。了解學(xué)情有助于教師把握好教學(xué)的度，優(yōu)化教學(xué)的方法，進(jìn)而指導(dǎo)學(xué)生在探究學(xué)習(xí)的進(jìn)程中，少一點(diǎn)害怕和逃避，多一點(diǎn)自信和勇氣。在這個(gè)環(huán)節(jié)，希望老師們不要一味地強(qiáng)調(diào)自己的學(xué)生在學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)基礎(chǔ)方面有著怎樣怎樣的問題；了解學(xué)生真實(shí)的學(xué)習(xí)狀況，思考幫助學(xué)生解決各種問題的有效策略，這才是教師的天職。

（三）“說”題目的意思

“說”題目的意思，就是運(yùn)用數(shù)學(xué)語言說清題目所給出的信息：題目屬于哪一種類型，是否熟悉，已知條件（包括隱含條件）有哪些，待求結(jié)論是什么，等等。特別要說明題目中的已知條件，挖掘題目中的隱含條件，說明難點(diǎn)所在的位置、程度和成因。我們以南寧市明秀學(xué)校孫皝愻老師執(zhí)教的七年級上冊第104頁探究3“電話計(jì)費(fèi)問題”為例，加以說明。原題如下：

下表中有兩種移動(dòng)電話計(jì)費(fèi)方式。

考慮下列問題：

（1）設(shè)一個(gè)月內(nèi)用移動(dòng)電話主叫為t min（t是正整數(shù)）。根據(jù)上表，列表說明：當(dāng)t在不同時(shí)間范圍內(nèi)取值時(shí)，按方式一和方式二如何計(jì)費(fèi)。

（2）觀察你的列表，你能從中發(fā)現(xiàn)如何根據(jù)主叫時(shí)間選擇省錢的計(jì)費(fèi)方式嗎？通過計(jì)算驗(yàn)證你的看法。

針對這道題目，孫老師如此去“說”題目的意思：

1.題目的條件

直接條件：以表格的形式呈現(xiàn)兩種計(jì)費(fèi)方式的月使用費(fèi)、主叫限定時(shí)間、主叫超時(shí)費(fèi)的單價(jià)。注意“被叫免費(fèi)”。

隱含條件：月使用費(fèi)包含了主叫限定時(shí)間的通話費(fèi)。

待解決的問題：①列表說明當(dāng)t在不同時(shí)間范圍內(nèi)取值時(shí)，兩種方式如何計(jì)費(fèi)；②根據(jù)列表發(fā)現(xiàn)省錢的計(jì)費(fèi)方式。

2.題目的重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：根據(jù)題目條件獲取信息，建立電話計(jì)費(fèi)的方程模型。

難點(diǎn)：①如何劃分主叫時(shí)間的范圍；②比較兩種方式的計(jì)費(fèi)。

從例子中可以看出，在引導(dǎo)學(xué)生解題之前，孫老師對題目的條件進(jìn)行了深入細(xì)致的分析，說清了此題的重點(diǎn)、難點(diǎn)。教師只有“心中有題”，才能在引導(dǎo)學(xué)生解題時(shí)做到有的放矢，使用適切的教學(xué)和解題策略，找準(zhǔn)解決問題的切入點(diǎn)。教師的引導(dǎo)，對學(xué)生解題有著關(guān)鍵的作用。如果教師對題目的條件特別是對隱含條件分析得不夠充分，容易導(dǎo)致學(xué)生理解問題出現(xiàn)偏差，不能抓住要點(diǎn)。

（四）“說”題目的解法

“說”題目的解法，就是說題目的解題步驟和結(jié)論。我們要求教師在“說”題目的解法時(shí)，必須分析解題的基本思路和解題策略，總結(jié)出一般規(guī)律；對于一題多解的問題，還應(yīng)說明解法的優(yōu)化、變化和結(jié)論的一般推廣。我們以南寧市第十四中學(xué)張杏華老師執(zhí)教九年級上冊第47頁探究3的說題為例。

該題原題如下：

如圖22.3.1，要設(shè)計(jì)一本書的封面，封面長27cm，寬21cm，正中央是一個(gè)與整個(gè)封面長寬比例相同的長方形。如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應(yīng)如何設(shè)計(jì)四周邊襯的寬度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）？

張老師這樣“說”題目的解法：

解法一：設(shè)正中央的長方形兩邊分別為9xcm，7xcm，可得方程

21（27-9x）+27（21-7x）-（27-9x）（21-7x）=×21×27.

解法二：設(shè)上下邊襯的寬為9xcm，左右邊襯寬為7xcm，可得方程

9x·21×2+7x·27×2-9x·7x·4=×21×27.

解法三：設(shè)正中央的長方形兩邊分別為9xcm，7xcm，可得方程

9x·7x=×21×27.

解法四：設(shè)上下邊襯的寬為9xcm，左右邊襯寬為7xcm，可得方程

（21-14x）（27-18x）=×21×27.

（注：張老師還具體分析了以上四種解法的思路及思路來源，對不同的方法進(jìn)行了分類和規(guī)律總結(jié)，因篇幅所限，我們不再詳解。）

通過引導(dǎo)學(xué)生充分討論，激活并呈現(xiàn)學(xué)生的各種思維方式，得出多種不同的解題方法，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使學(xué)生體會到解題方法的多樣性。此題的解法多樣，而課本給出的恰恰是比較復(fù)雜的一種，且其設(shè)元用到的數(shù)量關(guān)系也不是例題直接給出的。為什么課本會選擇這樣的解題方法呢？這就需要我們在備課時(shí)認(rèn)真地思考。我想，這里邊有兩個(gè)原因：一是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會挖掘題目中的隱含條件；二是此法的答案出現(xiàn)的是兩個(gè)正解，可以引起學(xué)生對解的取舍的關(guān)注。

張老師對題目的解法除了有一題多解的分析，還提出了一個(gè)值得我們思考的問題：“為什么課本會選擇比較復(fù)雜的解題方法呢？”這說明，張老師在對比該題的不同解法時(shí)，進(jìn)一步理解了教材的編寫意圖。這是一個(gè)值得提倡的做法。以往老師們關(guān)注解題法中的一題多解，只是停留在技巧的運(yùn)用層面，而往往忽視了不同方法的優(yōu)選，特別是教材方法的選編意圖。

（五）“說”題目的變化

“說”題目的變化，就是從條件或者結(jié)論出發(fā)，或利用類比思想進(jìn)行延伸，“說”解法的優(yōu)化、變化和結(jié)論的一般變式、推廣、拓展等。我們還是用上面的設(shè)計(jì)書封的例題為例，看看張老師如何來“說”題目的變化。

變式一：數(shù)量關(guān)系改變

要為一幅長29cm，寬22cm的照片配一個(gè)鏡框，要求鏡框的四條邊寬度相等，且鏡框所占面積為照片面積的四分之一，鏡框邊的寬度應(yīng)是多少厘米（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）？（新人教版九上習(xí)題22.3綜合運(yùn)用）

相同點(diǎn)：圖形相同，等量關(guān)系相同，解題方法相同。

不同點(diǎn)：原題已知大長方形的長與寬，此題知道的是小長方形的長與寬；此題的邊襯全部等寬。

變式二：圖形改變

如圖，要設(shè)計(jì)一幅寬20cm，長30cm的圖案，其中有兩橫兩豎的彩條，橫、豎彩條的寬度比為3：2，如果要使彩條所占面積是圖案面積的四分之一，應(yīng)如何設(shè)計(jì)彩條的寬度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）？（新人教版九上習(xí)題22.3拓廣探索）

相同點(diǎn)：數(shù)量條件相同，等量關(guān)系相同。

不同點(diǎn)：圖形不同。

兩個(gè)變式與原題相同，都是通過兩個(gè)矩形的面積關(guān)系列出方程。

設(shè)計(jì)意圖：①進(jìn)一步熟練掌握用面積關(guān)系列一元二次方程解應(yīng)用題；②加強(qiáng)學(xué)生對文字信息與圖形信息的理解與分析。

數(shù)學(xué)變式訓(xùn)練是一種常見的教學(xué)設(shè)計(jì)方法，通常是在數(shù)學(xué)例（習(xí)）題教學(xué)過程中對概念、性質(zhì)、定理、公式或問題等從不同角度、不同層次、不同情形、不同背景作出一定的變化，使其條件或結(jié)論的形式或內(nèi)容發(fā)生改變，而本質(zhì)特征不變，意在揭示不同知識點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系。但需要提請教師注意的是，變式不是變相的“題海戰(zhàn)術(shù)”。對例（習(xí)）題進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪胶屯卣故抢?xí)）題教學(xué)的必經(jīng)過程，但過多偏離例題的目的和作用的變式訓(xùn)練，必將滑向“應(yīng)試”的泥潭。教師要認(rèn)真研究教材中例（習(xí)）題設(shè)置的初衷。從上例中我們可以看出，張老師對變式問題的選擇是有明確目的的，兩個(gè)變式題都源于教材，她將題目中的數(shù)量、圖形進(jìn)行適當(dāng)變化，與原題保持緊密關(guān)聯(lián)，可見她對教材有著整體的把握，既使學(xué)生及時(shí)鞏固了剛剛習(xí)得的知識與方法，又使他們解決問題的能力得到了及時(shí)的延展訓(xùn)練。

（六）“說”教法與學(xué)法

“說”教法與學(xué)法，即簡明扼要地說明如何進(jìn)行題目的教學(xué)的方法。以南寧市第十四中學(xué)黃芳老師執(zhí)教八年級上冊（舊版教材）第124頁“一次函數(shù)與一元一次方程”中的例1為例。原題如下：

一個(gè)物體現(xiàn)在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再過幾秒它的速度為17米/秒？

教師“說”教法與學(xué)法如下：

八年級的學(xué)生已經(jīng)初步具備了探究問題的能力，但是對知識的主動(dòng)遷移能力較弱，為使學(xué)生更好地構(gòu)建新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，我將在教學(xué)中采用啟發(fā)式教學(xué)與小組討論、探究相結(jié)合的方法。

1.學(xué)生審題，獨(dú)立思考完成。

2.引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)觀點(diǎn)分析問題。

3.自主探究用函數(shù)的方法解決問題。

4.討論一次函數(shù)與一元一次方程的聯(lián)系。

因?yàn)樵擃}的難度不大，黃老師基于學(xué)情，把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)交給了學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生從適合角度去分析問題、自主探究，然后展開討論。我們在平時(shí)的例（習(xí)）題教學(xué)中，常?？吹絾我坏闹v授式，教師在出示例（習(xí)）題后便沿著自己的思路，一個(gè)條件一個(gè)條件地分析，直至講出解題的結(jié)果。這樣的講授式，看似流暢，但學(xué)生聽得乏味，往往是“會做的地方不想聽，想聽的地方?jīng)]聽到”。這就反映出，我們的老師對教法與學(xué)法的研究有待加強(qiáng)。

目前，我們一線教師的教學(xué)現(xiàn)狀不容樂觀：教法單一、照本宣科、講解刻板，缺乏變通與創(chuàng)新，教學(xué)效果不盡人意。例題簡單時(shí)，老師將解題過程直接板書出來，讓學(xué)生自己看解題過程，或者逐字逐句念給學(xué)生聽；例題有一定難度時(shí)，老師把自己的解題方法一股腦兒地“灌”給學(xué)生，學(xué)生缺乏思考，逐漸便養(yǎng)成了“你講我聽”的接受式學(xué)習(xí)方式，思維不能得到有效的訓(xùn)練，遇到類似問題只能勉強(qiáng)應(yīng)付，條件稍有變化便難以作出獨(dú)立的決斷。所以，教師在教學(xué)中一定要把握好教師主導(dǎo)與學(xué)生主體的關(guān)系，在引導(dǎo)方法上多下些功夫，真正做到“授人以漁”。

（七）“說”反思

反思的內(nèi)容很多，比如：反思解題過程是否正確，反思有無其他解法，反思結(jié)論或性質(zhì)在解題中的作用，反思解決問題的思維方法能否遷移，等等。還是以書封的設(shè)計(jì)一題為例，我們看看江南區(qū)江西中學(xué)的蘇江華老師是怎樣“說”反思的。

1.審題是基礎(chǔ)。教學(xué)中應(yīng)讓學(xué)生結(jié)合圖形，理解題意；列方程解決實(shí)際問題，最重要的是能從實(shí)際問題中抽象出數(shù)量關(guān)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。

2.找等量關(guān)系是關(guān)鍵，體驗(yàn)方程思想。等量關(guān)系一般是題目中的某一句話或幾句話的綜合。

3.要根據(jù)具體問題，直接或間接地設(shè)未知數(shù)。未知數(shù)的假設(shè)直接影響到列方程與解方程的難易，要具體問題具體分析。此題涉及的數(shù)量關(guān)系很多，在此我們主要應(yīng)討論利用面積間的數(shù)量關(guān)系列一元二次方程解題。其實(shí)在學(xué)生學(xué)習(xí)了相似的性質(zhì)后，還可以利用相似比來列方程解題。

說題反思屬教學(xué)之前的“預(yù)設(shè)反思”，其特點(diǎn)是根據(jù)特定的理論假說和教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)以及學(xué)生的實(shí)際狀況，為教學(xué)作出縝密的計(jì)劃與安排。當(dāng)問題得到解決，卻不能就此止步：如何將抽象、枯燥的數(shù)學(xué)解題過程與思路通過老師的精心提煉，把精髓展示在學(xué)生面前；如何使學(xué)生通過對一個(gè)數(shù)學(xué)問題的解決，能夠擁有解決一類數(shù)學(xué)問題的能力；如何讓學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題的過程中體會數(shù)學(xué)的思想方法……這些都是教師在例（習(xí)）題教學(xué)中應(yīng)當(dāng)及時(shí)總結(jié)與歸納的內(nèi)容。

我們數(shù)學(xué)老師都知道，數(shù)學(xué)學(xué)科其實(shí)并不枯燥乏味，數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含著簡潔之美、和諧之美、奇異之美，數(shù)學(xué)問題中包含著豐富的數(shù)學(xué)文化，如果我們在進(jìn)行例（習(xí)）題教學(xué)時(shí)插入這些美學(xué)和文化的元素，必定有助于學(xué)生從枯燥的習(xí)題訓(xùn)練中得到學(xué)習(xí)的樂趣。

對“說題”進(jìn)行深入研究，把它上升到日常教研的層面，我們的工作才剛剛開始。盡管存在著諸多不足，但是我們有信心勇于進(jìn)取，不斷探索，并通過以賽促練、以賽促研，引領(lǐng)我們的老師切實(shí)提高例（習(xí)）題教學(xué)的水平，為學(xué)生減負(fù)盡到自己的責(zé)任。