高等數(shù)學(xué)函數(shù)一致性連續(xù)性問題研究

摘 要：本文首先對(duì)函數(shù)的一致性和連續(xù)性進(jìn)行了理論分析同時(shí)舉例應(yīng)用，然后理論分析函數(shù)連續(xù)一致性的條件，和幾個(gè)函數(shù)一致性等價(jià)的命題。使得我們能夠全面理解和認(rèn)識(shí)函數(shù)的一致性與連續(xù)性。

關(guān)鍵詞：一致性 高數(shù) 函數(shù) 連續(xù)性

中圖分類號(hào)：O1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-9795（2013）09（b）-0052-01

1 高等數(shù)學(xué)分析中函數(shù)一致連續(xù)的概念的理解

函數(shù)的一致連續(xù)性體現(xiàn)了一個(gè)連續(xù)函數(shù)的變化速度有無“突變”。它要求函數(shù)連續(xù)性不僅僅只體現(xiàn)在區(qū)間上的每一點(diǎn)上，還要求在區(qū)間上所有點(diǎn)鄰近的函數(shù)有大致變化趨勢要均勻，這就是函數(shù)的一致連續(xù)。

定義1：（函數(shù)區(qū)間上連續(xù)）區(qū)間為上的函數(shù)，若對(duì)，對(duì)于每一點(diǎn)，都存在相應(yīng)，只要，且，就有，則稱函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)。

例1：考慮函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性。

解：對(duì)，存在領(lǐng)域，使得時(shí)，有。對(duì)，取，該，就有。

定義2：（一致連續(xù)的定義）在區(qū)間上定義的函數(shù)，若對(duì)，存在，使得任意，，只要，就有，則區(qū)間上，一致連續(xù)。

一致連續(xù)概念與連續(xù)概念中的δ不同，可以通過具體的例子來說明。函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)的概念，可以通過這樣的1個(gè)例子引出。這樣我們對(duì)于一致連續(xù)中δ的就有一種非常直觀的感受。這樣對(duì)δ的取法就相對(duì)的清楚，同樣的，我們也可以加快對(duì)一致連續(xù)的理解。

2 函數(shù)一致連續(xù)通過采利用函數(shù)一致連續(xù)的概念來證明

對(duì)，為了證明存在。為此，把這個(gè)式子不失真發(fā)大，同時(shí)要求在放大后的式子中，除了因子之外，其余部分中不含有和，然后使所得式子，從中解出。

例1：驗(yàn)證函數(shù)在區(qū)間（0

證明因?yàn)?/p>

所以對(duì)于，取，使得對(duì)任何，，只要，就有。

3 函數(shù)連續(xù)一致性的條件

函數(shù)連續(xù)是函數(shù)一致連續(xù)的必要條件，但不是充分條件，是自然而然就得到的結(jié)論。為了使函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)，那么連續(xù)函數(shù)在區(qū)間還應(yīng)滿足什么條件？通過G·康托定理我們知道：閉區(qū)間上函數(shù)一致連續(xù)的充分必要條件，是在上是連續(xù)。因此，在閉區(qū)間連續(xù)的函數(shù)也一定一致連續(xù)，我們也可以在無界的區(qū)間和有界的開區(qū)間應(yīng)用G·康托定理。在兩種情況下，區(qū)間連續(xù)性可以轉(zhuǎn)變?yōu)閰^(qū)間一致連續(xù)性：（1）區(qū)間有界但非閉，一致連續(xù)性的點(diǎn)可能被開的端點(diǎn)所破壞；（2）區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)或者一個(gè)端點(diǎn)為無窮時(shí)，函數(shù)的一致連續(xù)性也可能被函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處所破壞。我們只要附加上一定的限制條件在一致連續(xù)性的開的端點(diǎn)或無窮遠(yuǎn)點(diǎn)破壞點(diǎn)處，函數(shù)就可以一致連續(xù)了。

定理1：函數(shù)在內(nèi)一致連續(xù)的充分必要條件是在連續(xù)，且與都存在。

證明：（必要性）若在內(nèi)一致連續(xù)，則對(duì)，，，且時(shí)，有，此時(shí)對(duì)端點(diǎn)，當(dāng)，，，滿足，時(shí)，就有，于是，由柯西準(zhǔn)則知，存在，同理可知也存在，從而在連續(xù)，且與都存在。

（充分性）若在內(nèi)連續(xù)，且與都存在，補(bǔ)充定義，，這樣在閉區(qū)間上連續(xù)，從而在內(nèi)一致連續(xù)。

根據(jù)定理1容易得出以下結(jié)論：

推論1：函數(shù)在內(nèi)一致連續(xù)在連續(xù)且存在。

推論2：函數(shù)在內(nèi)一致連續(xù)在連續(xù)且存在。

定理2：若在內(nèi)連續(xù)，且與都存在，則在上一致連續(xù)。

由定理2容易得到以下推論：

推論1：函數(shù)在內(nèi)一致連續(xù)的充分條件是在內(nèi)連續(xù)，且與都存在。

推論2：函數(shù)在內(nèi)一致連續(xù)的充分條件是在內(nèi)連續(xù)，且與都存在。

我們可以通過以上的定理及推論判斷函數(shù)一致連續(xù)性。

例：下列函數(shù)在指定的區(qū)間是否一致連續(xù)？

（1）。

解：顯然在內(nèi)連續(xù)，且，，即與都存在。故在內(nèi)一致連續(xù)。

（2）。

解：，，因此在內(nèi)一致連續(xù)。

4 結(jié)語

本文從函數(shù)一致連續(xù)的概念出發(fā)，進(jìn)行了實(shí)例驗(yàn)證，同時(shí)詳細(xì)敘述了函數(shù)的一致性條件進(jìn)行了證明。

參考文獻(xiàn)

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