淺析泛函分析的基本概念

摘 要：在教科書(shū)中“泛函分析”具有高度抽象以及概括性的特性，是當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)課程之一。雖然泛函分析具有很抽象的特性，這并不說(shuō)明其是由抽象的數(shù)學(xué)構(gòu)思組成。在泛函分析中，需要對(duì)相關(guān)的概念進(jìn)行高度概括，這樣間接的導(dǎo)致了學(xué)者們丟棄了很多直觀的表達(dá)，而為了保障數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性，造成了其概念的抽象性。及時(shí)如此其還在很多學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用，例如微、積分方程等。由此，對(duì)“泛函分析”的基本概念進(jìn)行了解和掌握時(shí)非常有必要的。本文就算子及其收斂性以及共軛與相伴算子等泛函分析中的幾個(gè)基本的概念展開(kāi)分析和探討，以期能提升讀者對(duì)泛函分析概念的認(rèn)知。

關(guān)鍵詞：泛函分析 算子 共軛算子 相伴算子。

中圖分類(lèi)號(hào)：G420 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-9795（2013）09（b）-0041-01

1 空間與算子

在空間y中，以距離的定義為起始。假定輸入值x∈X，就能夠按照既定的模型（算子T）來(lái)計(jì)算出輸出y=Tx，進(jìn)一步的通過(guò)實(shí)際的測(cè)量就能夠得到真實(shí)的輸出通過(guò)實(shí)測(cè)得到的真實(shí)輸出y*，這個(gè)過(guò)程中就涉及到一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，即怎樣明確的得到預(yù)測(cè)的偏差以及對(duì)模型結(jié)論的好壞的評(píng)價(jià)。

當(dāng)距離設(shè)定好后，就要面對(duì)其所在的空間是否滿(mǎn)足所需的要求。在實(shí)空間中對(duì)一個(gè)筆的尺寸進(jìn)行測(cè)量，其測(cè)量結(jié)果可以精確至無(wú)窮數(shù)。而在數(shù)學(xué)的理念中，測(cè)試的精度是程“無(wú)限”的概念。這就意味著在實(shí)際的過(guò)程中需要采用無(wú)理數(shù)進(jìn)行表示該空間中的極限狀況。所以我們對(duì)筆尺寸的測(cè)量既有測(cè)量結(jié)果無(wú)限符合其實(shí)際尺寸，又有無(wú)法測(cè)量其真實(shí)尺寸。從認(rèn)知論出發(fā)，這是一個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)果，但在空間中，從元素的立場(chǎng)看其是非?？茖W(xué)的。在實(shí)際的應(yīng)用中還需要對(duì)算子的有界和連續(xù)進(jìn)行掌握。算子的有界性是指其所在的空間模型對(duì)初始的偏差和錯(cuò)誤數(shù)據(jù)做無(wú)限處理；算子的連續(xù)性是指測(cè)量數(shù)據(jù)近似于實(shí)際值時(shí)，模型的輸出數(shù)據(jù)也與實(shí)際值想接近。

在算子中，需要對(duì)于泛函分析中的“逆算子定理”需要進(jìn)行了解和掌握?！澳嫠阕佣ɡ怼睍r(shí)指在Banach空間X、Y上的有界的線(xiàn)性算子T∈L，而其逆算子T-1∈L同樣屬于有界的線(xiàn)性算子。在“逆算子定理”中， Banach空間中有界線(xiàn)性算子T若為雙射，就一定會(huì)有相應(yīng)的逆算子T-1，而且算子的連續(xù)性具有一致性。逆算子T-1的連續(xù)性在實(shí)際的應(yīng)用中非常的關(guān)鍵，當(dāng)T-1不是連續(xù)的算子時(shí)，依據(jù)設(shè)定的y值沒(méi)有辦法找出這種錯(cuò)誤的因素x。甚至可以將其視為連個(gè)不一樣的輸入值x1以及x2都會(huì)產(chǎn)生基本上一致的輸出值y1和y2，這就會(huì)對(duì)最終的判斷造成誤導(dǎo)或影響。

2 算子的收斂性

在算子收斂性的探析中，把分析的目標(biāo)置于準(zhǔn)確模型T*以及經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蚑中。那在這個(gè)過(guò)程中，對(duì)于經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ团c準(zhǔn)確模型間的差距具體的差異性，通常是以算子的收斂性進(jìn)行分析和理解的。在準(zhǔn)確模型T*不確定的情況下，利用經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蚑把輸入值x計(jì)算Tx，通過(guò)對(duì)比就可以得出那個(gè)更接近與真實(shí)T*x，也就可以達(dá)到評(píng)價(jià)那個(gè)模型好壞的目的。

在強(qiáng)收斂算子的檢驗(yàn)中有一個(gè)關(guān)鍵的設(shè)定，即方法有重要的前提，即Tx和T*x兩者間可以進(jìn)行對(duì)比分析。在真實(shí)的世界中，有很多的事物人們還無(wú)法認(rèn)知，以對(duì)固定器具中的氮?dú)饧訜釣槔Ｎ覀冎赖獨(dú)庥泻芏嗟姆肿?，我們無(wú)法對(duì)任何一個(gè)氮?dú)夥肿舆M(jìn)行了解，但將其轉(zhuǎn)化為宏觀表達(dá)后就可以以全部的氣體分子為一個(gè)整體進(jìn)行其平均分子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的研究。在研究的過(guò)程中，不同的壓強(qiáng)以及溫度是算子中的弱收斂特性。弱收斂就是指將抽象的以及不能直接認(rèn)知的事物通過(guò)轉(zhuǎn)化變?yōu)榭蓽?zhǔn)確測(cè)定并可以進(jìn)行對(duì)比的數(shù)據(jù)。

在算子的強(qiáng)收斂以及弱收斂的檢驗(yàn)?zāi)Ｐ椭?，都是以?zhǔn)確模型中T*不確定的情況下進(jìn)行的。這是由于準(zhǔn)確模型T*確定的情況下，對(duì)于經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蚑的檢驗(yàn)直接用T*進(jìn)行即可，其對(duì)于經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)沒(méi)有任何的依附性。

3 共軛算子與相伴算子

在“泛函分析”中，還有兩個(gè)非常重要的基本概念，他們分別是Banach空間的共軛算子，以及Hilbert空間中相伴算子。這兩個(gè)基本的概念在其定義上很抽象，基本上無(wú)法對(duì)其進(jìn)行直觀的理解。

首先我們結(jié)合企業(yè)的生產(chǎn)過(guò)程對(duì)Banach空間的共軛算子為例進(jìn)行分析和闡述。假定企業(yè)所采用的原料有n種，而生產(chǎn)的產(chǎn)品有m種，則該企業(yè)的原料的使用量對(duì)應(yīng)的是x，而生產(chǎn)的產(chǎn)品對(duì)應(yīng)的是y，于是該企業(yè)的生產(chǎn)就能夠用y=Tx來(lái)表述。于是T又同時(shí)是n×m的矩陣，其代表了企業(yè)生產(chǎn)過(guò)程中原料投入以及產(chǎn)品產(chǎn)出間的聯(lián)系。對(duì)于企業(yè)來(lái)說(shuō)，獲得利益是其最終的目的，所以在原料的處理中，就有以原料制備產(chǎn)品進(jìn)而進(jìn)行出售以及倒賣(mài)原料的兩種方法可以獲得利潤(rùn)。在企業(yè)制造產(chǎn)品并進(jìn)行出售而獲利的整個(gè)過(guò)程，可以視為共軛算子概念中的f（Tx）。f的定義是很確定的，即m種產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中屬于m維向量。而直接倒賣(mài)原材料也可以獲得利潤(rùn)，計(jì)為f*（x）。當(dāng)f（Tx）=f*（x）時(shí)，也就是說(shuō)制造產(chǎn)品進(jìn)行銷(xiāo)售和倒賣(mài)原料所獲得利潤(rùn)相等。其可作為沒(méi)有新的企業(yè)進(jìn)入到該領(lǐng)域的生產(chǎn)中，也不不存在原企業(yè)退出該生產(chǎn)領(lǐng)域的一種平衡。f（Tx）f*（x）時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)企業(yè)進(jìn)入產(chǎn)品的制造領(lǐng)域，這樣就會(huì)造成最終產(chǎn)品價(jià)格的下降以及原料價(jià)格的上升，最終也會(huì)使得f（Tx）和f*（x）相互靠近。這樣就會(huì)對(duì)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中原料價(jià)格以及產(chǎn)品價(jià)格間相互影響和相互制約的關(guān)系。當(dāng)市場(chǎng)的調(diào)價(jià)機(jī)制發(fā)揮其功能時(shí)就會(huì)使得f（Tx）=f*（x）。

4 結(jié)語(yǔ)

綜上所述，相信通過(guò)“泛函分析”基本概念的介紹，可以讓讀者對(duì)其有了最直接的了解，也使其本身固有的抽象性有了明確的意義。在“泛函分析”基本概念的分析中，有些內(nèi)容沒(méi)有了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋磉_(dá)方式，但其卻有著促進(jìn)概念理解的優(yōu)點(diǎn)。在學(xué)習(xí)中，學(xué)生應(yīng)以正確的態(tài)度去對(duì)待和學(xué)習(xí)“泛函分析”。雖然泛函分析具有很抽象的特性，這并不說(shuō)明其是由抽象的數(shù)學(xué)構(gòu)思組成。在泛函分析中，需要對(duì)相關(guān)的概念進(jìn)行高度概括，這樣間接的導(dǎo)致了學(xué)者們丟棄了很多直觀的表達(dá)，而為了保障數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性，造成了其概念的抽象性。所以，在泛函分析的學(xué)習(xí)中，需要將這種抽象的概念放到現(xiàn)實(shí)生活中進(jìn)行認(rèn)知。同時(shí)，“泛函分析”在教學(xué)中是數(shù)學(xué)課程中的基礎(chǔ)之一，其自身有著很多優(yōu)勢(shì)。這就要求我們對(duì)“泛函分析”從內(nèi)心中去體會(huì)，從生活中去認(rèn)知。唯有如此，才能掌握“泛函分析”中基本概念。

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