從極限的概念談定性向定量描述的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想

摘 要：極限是微積分中重要概念，也是研究函數(shù)各種性質(zhì)的重要工具。本文從最簡單的數(shù)列極限的定性定義入手，分析了此定義的缺點，進(jìn)行分析，最終導(dǎo)出了極限的定量定義，解決了這一教學(xué)難點，進(jìn)而將這種分析方法推廣到函數(shù)的極限。

關(guān)鍵詞：極限 定性定義 定量定義

中圖分類號：O1 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-9795（2013）09（b）-0018-01

極限是微積分中要學(xué)習(xí)的第一個重要概念，同時也是一個非常難以理解的概念。同學(xué)們往往只接觸過數(shù)列極限的定性定義，到了大學(xué)接觸到的是極限的定量定義很不適應(yīng)，也不理解。因此，本文先從定性定義出發(fā)，逐漸地導(dǎo)出極限的定量定義，使學(xué)生即能較容易的理解概念，又能讓他們體會到數(shù)學(xué)中定量思想建立的整個過程，提高其數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

1 數(shù)列極限的定性定義及缺點

下面寫出數(shù)列極限的定性定義。

定義1：設(shè)為一數(shù)列，為常數(shù)，若當(dāng)無限增大時，無限接近于，則稱常數(shù)為數(shù)列的極限，同時稱數(shù)列收斂于，記為，或，否則，稱數(shù)列發(fā)散。

由此定義可看出，此概念的核心為“若當(dāng)無限增大時，無限接近于”。但是，很明顯，“無限增大”，“無限接近于”都是模糊不清的描述，只是對數(shù)列趨向方式的一種性質(zhì)上的描述。

2 數(shù)列極限的定量定義的導(dǎo)出

有了上述分析，就提出了下一步工作的目標(biāo)為：用定量的描述來解釋“若當(dāng)無限增大時，無限接近于”，即要給出數(shù)列極限的定量定義，這也是數(shù)學(xué)工作者要研究的一個重要方面。

我們先來看“無限接近于”。目的是用量化的數(shù)學(xué)語言（即等式或不等式之類的形式）去描述它。經(jīng)過分析我們發(fā)現(xiàn)，這句話可以變成“與的距離無限的小”，即“無限的小”。而如何描述某個數(shù)“無限的小”呢？一般數(shù)學(xué)上這樣來解決這個問題：任意給一個整數(shù)（一般說來可以任意?。?，。這樣，對于“無限接近于”，我們總結(jié)出的量化的數(shù)學(xué)語言為：。

再來看“無限增大”。這句話的轉(zhuǎn)化要難一些。即我們的目標(biāo)是要將用數(shù)學(xué)語言來描述它。由教材上的實例分析我們發(fā)現(xiàn)有如下規(guī)律：

（1）當(dāng)越來越小時，滿足的越來越大。

（2）當(dāng)任意的小時，任意的大，即。

（3）當(dāng)取定某個數(shù)值時，的范圍也就隨之確定。

基于以上三點，我們將“無限增大”描述為“”。

這樣，“若當(dāng)無限增大時，無限接近于”這樣的一句話我們就可以翻譯成量化的數(shù)學(xué)語言了，即當(dāng)時，有成立。

下面只需將定義1中的“若當(dāng)無限增大時，無限接近于”改成上述描述（其它部分不變）就可以得到數(shù)列極限的定量定義如下：

定義2：設(shè)為一數(shù)列，為常數(shù)，若對任意的（不論多么?。?，總存在正整數(shù)，使得當(dāng)時，恒成立，則稱常數(shù)為數(shù)列的極限，同時稱數(shù)列收斂于，記為，或，否則，稱數(shù)列發(fā)散。

在此定義中，較難理解的一點是的出現(xiàn)。要注意理解要想得到量化的描述，僅對進(jìn)行討論分析是不夠的，必須要構(gòu)造。還需指出，若用極限定義證明極限，關(guān)鍵是找到相應(yīng)的。

3 函數(shù)極限的定量定義的分析

有了上述對數(shù)列極限定量定義的導(dǎo)出，可以類似的討論分析函數(shù)極限的定量定義。

先給出當(dāng)時，的定性定義。

定義3：設(shè)函數(shù)在點的附近有定義，如果存在常數(shù)，當(dāng)無限接近于時，無限接近于，則稱常數(shù)為函數(shù)當(dāng)時的極限，記為或（）。

顯然，此定義中的“當(dāng)無限接近于時，無限接近于”需要進(jìn)行改進(jìn)。

同前文進(jìn)行類似討論可得，“無限接近于”可寫成“”。

對于“無限接近于”，通過分析我們發(fā)現(xiàn)有如下規(guī)律：

（1）當(dāng)越來越小時，滿足的越來越接近于，即只有在的某個小去心鄰域（半徑設(shè)為）內(nèi)的才滿足不等式；

（2）當(dāng)任意的小時，“無限接近”于，即。

（3）當(dāng)取定某個數(shù)值時，也就隨之確定下來，即只要滿足在去心鄰域內(nèi)，就可以使得小于給定的。

經(jīng)過上述討論，可以給出“無限接近于”的定量描述為：

“”。

綜上所述，我們可以將定義3進(jìn)行修改，得到量化定義如下：

定義4：設(shè)函數(shù)在點的附近有定義，如果存在常數(shù)，對于任意給定的正數(shù)（不論多么?。?，總存在正整數(shù)，使得當(dāng)時，恒成立，則稱常數(shù)為函數(shù)當(dāng)時的極限，記為或（）。

4 結(jié)語

本文由數(shù)列、函數(shù)極限的定性定義出發(fā)，分析了定性定義的缺點，采用數(shù)學(xué)中常用的量化的思想，逐步分析，仔細(xì)論證，最后將上述定義轉(zhuǎn)化成了教材中的精確定義，在教學(xué)中使用這種方法過渡，不但可以使學(xué)生更容易的接受極限的量化定義，更重要的是能夠讓學(xué)生體會了從定性到定量的轉(zhuǎn)化方法，對于提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有重要意義。

參考文獻(xiàn)

[1]谷銀山，張玉芬.微積分學(xué)教程[M].北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2011.

[2]雷會榮.淺談數(shù)學(xué)思想在極限教學(xué)中的滲透[J].教育探索，2011，246（12）：58-59.