多層網(wǎng)絡(luò)和含時(shí)網(wǎng)絡(luò)的相關(guān)問(wèn)題研究

辜　姣，郭　龍，江　健，池麗平，李　煒

(1.江南大學(xué)理學(xué)院，江蘇 無(wú)錫214122； 2.華中師范大學(xué)蓋爾曼復(fù)雜性科學(xué)研究所，武漢 430079；3.中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(武漢)數(shù)學(xué)與物理學(xué)院，武漢 430074；4.武漢紡織大學(xué)非線性研究所，武漢 430200)

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多層網(wǎng)絡(luò)和含時(shí)網(wǎng)絡(luò)的相關(guān)問(wèn)題研究

辜姣1,2，郭龍3，江健4，池麗平2，李煒2

(1.江南大學(xué)理學(xué)院，江蘇 無(wú)錫214122； 2.華中師范大學(xué)蓋爾曼復(fù)雜性科學(xué)研究所，武漢 430079；3.中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(武漢)數(shù)學(xué)與物理學(xué)院，武漢 430074；4.武漢紡織大學(xué)非線性研究所，武漢 430200)

摘要：從多層網(wǎng)絡(luò)的魯棒性、多層網(wǎng)絡(luò)的拉普拉斯譜、含時(shí)網(wǎng)絡(luò)的時(shí)間特征、社會(huì)網(wǎng)絡(luò)含時(shí)性和多層性對(duì)輿情演化動(dòng)力學(xué)的影響4個(gè)方面，就近年來(lái)的一些活躍的研究課題作了綜述。

關(guān)鍵詞：多層網(wǎng)絡(luò);含時(shí)網(wǎng)絡(luò)

0引言

在復(fù)雜系統(tǒng)研究中，一類主要的問(wèn)題就是研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)湫再|(zhì)和動(dòng)力學(xué)性質(zhì)之間的關(guān)系。近幾年來(lái)，網(wǎng)絡(luò)研究出現(xiàn)了兩類新的熱點(diǎn)問(wèn)題，其一就是關(guān)于多層網(wǎng)絡(luò)的研究，涉及到各種不同網(wǎng)絡(luò)之間的依賴與合作，比如電網(wǎng)與通信網(wǎng)絡(luò)，疾病傳播網(wǎng)絡(luò)與社交網(wǎng)絡(luò)，經(jīng)濟(jì)網(wǎng)絡(luò)與金融網(wǎng)絡(luò)等；另一類就是關(guān)于含時(shí)網(wǎng)絡(luò)的研究，系統(tǒng)中個(gè)體間的相互作用屬性是時(shí)間的函數(shù)，比如社交網(wǎng)絡(luò)，疾病傳播網(wǎng)絡(luò)等。因此，在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)引入一些新的屬性后，相應(yīng)地網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)也出現(xiàn)一些新的特征。本文從多層網(wǎng)絡(luò)的魯棒性、多層網(wǎng)絡(luò)的拉普拉斯譜、含時(shí)網(wǎng)絡(luò)的時(shí)間特征、含時(shí)網(wǎng)絡(luò)下的輿論動(dòng)力學(xué)4個(gè)方面，對(duì)近期的相關(guān)研究作了一個(gè)綜述。

1相互依賴多層網(wǎng)絡(luò)的魯棒性分析

隨著現(xiàn)代科技的迅猛發(fā)展，各種不同類型的復(fù)雜系統(tǒng)之間的聯(lián)系也越來(lái)越緊密，如通信與電力系統(tǒng)，水和食物供應(yīng)系統(tǒng)等等[1]。這些具有相互作用的復(fù)雜系統(tǒng)都可以用相互依賴網(wǎng)絡(luò)來(lái)刻畫(huà)。在相互依賴網(wǎng)絡(luò)中，一個(gè)網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)發(fā)生故障而失效會(huì)導(dǎo)致其他網(wǎng)絡(luò)中依賴節(jié)點(diǎn)也發(fā)生故障，這樣會(huì)進(jìn)一步導(dǎo)致第一個(gè)網(wǎng)絡(luò)中更多節(jié)點(diǎn)的失效，從而形成級(jí)聯(lián)失效。這樣網(wǎng)絡(luò)間的相互影響給其魯棒性分析帶來(lái)了新的挑戰(zhàn)，如何設(shè)計(jì)具有強(qiáng)魯棒性的相互依賴網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)已經(jīng)成為當(dāng)今網(wǎng)絡(luò)科學(xué)的熱點(diǎn)話題之一。

自從2010年，Buldyrev等[2]在《Nature》上發(fā)表了相互依賴網(wǎng)絡(luò)的魯棒性的重要論文之后，這方面的相關(guān)工作猶如雨后春筍，相繼涌現(xiàn)。在文獻(xiàn)[1]中，Buldyrev發(fā)現(xiàn)了一個(gè)重要的結(jié)論: 相互依賴網(wǎng)絡(luò)比單一網(wǎng)絡(luò)在隨機(jī)攻擊時(shí)更加脆弱，并且會(huì)出現(xiàn)與單一網(wǎng)絡(luò)里二階連續(xù)相變行為完全不同的一階非連續(xù)相變。Parshani等[3]發(fā)現(xiàn)相互依賴網(wǎng)絡(luò)的相變行為與網(wǎng)絡(luò)間的依賴強(qiáng)度有關(guān)，當(dāng)依賴強(qiáng)度減弱到某個(gè)臨界值時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)二階相變，魯棒性得到加強(qiáng)。Zhou D和Huang X等[4-5]分別發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)間的聚集性和異質(zhì)性會(huì)減弱系統(tǒng)的魯棒性。高建喜等[6-7]理論分析了兩個(gè)具有多重依賴關(guān)系的相互依賴網(wǎng)絡(luò)的魯棒性，還將蓄意攻擊映射到隨機(jī)攻擊上，并建立了相關(guān)理論框架分析完全相互依賴和部分相互依賴網(wǎng)絡(luò)的魯棒性。董高高等[8-9]較為系統(tǒng)的研究了4類不同相互依賴網(wǎng)絡(luò)的魯棒性問(wèn)題，它們分別是網(wǎng)絡(luò)間只存在依賴邊；網(wǎng)絡(luò)間只存在連接邊；網(wǎng)絡(luò)間存在連接邊和依賴邊；網(wǎng)絡(luò)間存在支持-依賴的有向連邊。除此之外，Li W等[10]考慮了真實(shí)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)在空間地理中的情況。Morris等[11]調(diào)研了耦合空間網(wǎng)絡(luò)中的運(yùn)輸過(guò)程。文獻(xiàn)將二重相互依賴網(wǎng)絡(luò)擴(kuò)展到多重相互依賴網(wǎng)絡(luò)即網(wǎng)絡(luò)中的網(wǎng)絡(luò)[12-16]。唐明等[17]還考慮了相互依賴網(wǎng)絡(luò)上的疾病傳播動(dòng)力學(xué)行為。更多相關(guān)研究可以參考綜述文章[18]。

與此相關(guān)的我們自己的研究中，主要著眼于相互依賴網(wǎng)絡(luò)間的依賴強(qiáng)度及依賴關(guān)系對(duì)系統(tǒng)魯棒性的影響，通過(guò)構(gòu)建二重相互依賴無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)和相互依賴隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的理論模型，解析分析擇優(yōu)依賴和隨機(jī)依賴對(duì)系統(tǒng)級(jí)聯(lián)失效行為的影響，研究發(fā)現(xiàn)相互依賴無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)表現(xiàn)出二階相變，其魯棒性隨依賴強(qiáng)度增大而加強(qiáng)，然而相應(yīng)依賴隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)則表現(xiàn)相反，并且網(wǎng)絡(luò)間的擇優(yōu)依賴關(guān)系相比隨機(jī)依賴關(guān)系更能提高系統(tǒng)的魯棒性[19]。

2多層網(wǎng)絡(luò)的拉普拉斯譜性質(zhì)

考慮一個(gè)包含M層，每層N個(gè)節(jié)點(diǎn)的簡(jiǎn)單(無(wú)向、全連通、不存在自循環(huán))多層網(wǎng)絡(luò)，假設(shè)多層網(wǎng)絡(luò)的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)是可以標(biāo)記的，其中第α層的鄰接矩陣或強(qiáng)度矩陣可以表示為W(α)∈RN×N，對(duì)應(yīng)的拉普拉斯矩陣為L(zhǎng)(α)=S(α)-W(α)，其中S(α)為對(duì)角元素為這一層網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度的對(duì)角矩陣。依次寫(xiě)出每一層網(wǎng)絡(luò)的拉普拉斯矩陣，并使其為對(duì)角元素構(gòu)成對(duì)角矩陣，則為只考慮層內(nèi)聯(lián)系，整個(gè)多層網(wǎng)絡(luò)的拉普拉斯矩陣。定義WI∈RM×M為多層網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)層間的聯(lián)系矩陣，其對(duì)應(yīng)的拉普拉斯矩陣為L(zhǎng)I=SI-WI。整個(gè)多層網(wǎng)絡(luò)的拉普拉斯算子為L(zhǎng)=LL+LI，其中，LL描述多層網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)層內(nèi)聯(lián)系的拉普拉斯算子(其對(duì)應(yīng)矩陣為L(zhǎng)(α)，α=1,…,M的對(duì)角矩陣)，LI描述多層網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)層間聯(lián)系的拉普拉斯算子。

多層網(wǎng)絡(luò)的拉普拉斯譜與其網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)湫再|(zhì)相關(guān)。在多層網(wǎng)絡(luò)中，L算子的譜包含LI算子的譜。當(dāng)M較小時(shí)，LI的本征值可以由層間聯(lián)系強(qiáng)度決定[23]，例如，當(dāng)M=2時(shí)，LI的本征值為{0,2D}，其中，D為層間關(guān)聯(lián)的強(qiáng)度。當(dāng)多層網(wǎng)絡(luò)中層間為完全連接并具有相同的權(quán)重D時(shí)，LI的本征值可寫(xiě)為{0,MD{M-1}}，M-1為本征值MD的重?cái)?shù)。

在多層網(wǎng)絡(luò)中，通過(guò)對(duì)每一層網(wǎng)絡(luò)的拉普拉斯譜與層間不存在聯(lián)系時(shí)的拉普拉斯譜進(jìn)行比較時(shí)，可以看出此多層網(wǎng)絡(luò)的層間關(guān)聯(lián)是否緊密。例如，設(shè)Dx為多層網(wǎng)絡(luò)中層間關(guān)聯(lián)強(qiáng)度最大值和層內(nèi)關(guān)聯(lián)強(qiáng)度最大值的比值，若兩者本征值近差別一個(gè)小量(約為γiDx，γi為節(jié)點(diǎn)i的層間聯(lián)系強(qiáng)度)，即Dx?1，即多層網(wǎng)絡(luò)層間關(guān)聯(lián)較弱。當(dāng)然，不論Dx如何設(shè)置，多層網(wǎng)絡(luò)的拉普拉斯算子譜始終包含一個(gè)0的特征值，并且存在M-1個(gè)與Dx相關(guān)的特征值。

3含時(shí)網(wǎng)絡(luò)的時(shí)間特征

含時(shí)網(wǎng)絡(luò)主要用來(lái)刻畫(huà)復(fù)雜系統(tǒng)中微觀相互作用斷續(xù)存在的情形[24]。例如，在手機(jī)通訊網(wǎng)絡(luò)中，A和B之間的連邊僅當(dāng)A和B發(fā)生通話時(shí)才存在。通話結(jié)束后，A和B之間的連邊也隨之消失。按傳統(tǒng)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)方法，僅在A、B之間產(chǎn)生一條連邊已經(jīng)不足以描述微觀相互作用時(shí)刻變化的特點(diǎn)。于是，“時(shí)間”作為一個(gè)獨(dú)立自由度引入到復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中，稱之為含時(shí)網(wǎng)絡(luò)，用G(V,E,t)表示，其中t代表連邊發(fā)生的時(shí)刻，如圖1所示。相應(yīng)地，含時(shí)網(wǎng)絡(luò)的鄰接矩陣為A：a(i,j,t)=1代表節(jié)點(diǎn)i和j在t時(shí)刻有聯(lián)系；否則a(i,j,t)=0。因此，在含時(shí)網(wǎng)絡(luò)中，每一條連邊都帶有時(shí)間，每一條路徑都要考慮時(shí)間的先后順序。含時(shí)網(wǎng)絡(luò)的研究目的就在于揭示時(shí)間的引入對(duì)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及傳播過(guò)程的影響。

圖1　含時(shí)網(wǎng)絡(luò)示意圖，代表節(jié)點(diǎn)

本文將著重從時(shí)間的角度簡(jiǎn)要介紹含時(shí)網(wǎng)絡(luò)的研究現(xiàn)狀：一是時(shí)間累計(jì)(time-aggregation)方法，側(cè)重于探討含時(shí)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。另一類是時(shí)序(time-ordering)的影響，側(cè)重于分析時(shí)間先后順序如何影響含時(shí)網(wǎng)絡(luò)上的動(dòng)力學(xué)過(guò)程。詳細(xì)內(nèi)容可參考Holme等的綜述文獻(xiàn)。

3.1時(shí)間累計(jì)方法

在時(shí)間累加的框架下，時(shí)間間隔Δt對(duì)描述含時(shí)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)性質(zhì)起著重要作用。時(shí)間間隔太小，每一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)包含的節(jié)點(diǎn)和連邊也少，無(wú)法觀察到一些重要子圖的形成或消失。時(shí)間間隔太大，每一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)幾乎包含了所有的節(jié)點(diǎn)和連邊，無(wú)法觀察到關(guān)鍵連邊的出現(xiàn)等現(xiàn)象。目前大家主要選取自然時(shí)間單位作為時(shí)間間隔來(lái)研究。Krings等[25]以小時(shí)、天、星期等為時(shí)間間隔研究了手機(jī)通訊網(wǎng)絡(luò)。池麗平等[26]以天、年為時(shí)間間隔分別研究了AutonomousSystems網(wǎng)絡(luò)、科學(xué)家合作網(wǎng)的演化特征。Trajanovski等[27]則探討了一定時(shí)間間隔下含時(shí)網(wǎng)絡(luò)在隨機(jī)刪除與蓄意攻擊下的魯棒性；Ribeiro等[28]研究了時(shí)間間隔對(duì)隨機(jī)行走過(guò)程的影響。

圖2　將含時(shí)網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)化為靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)的3種方法[29]

除了利用時(shí)間分段法將含時(shí)網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)化為靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)之外，Holme還提出了另外兩種方法，分別為重復(fù)出現(xiàn)法和指數(shù)閾值法[29]，如圖2所示。重復(fù)出現(xiàn)法是指，如果兩個(gè)節(jié)點(diǎn)在tstart之前或tstop之后均有聯(lián)系，則這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間產(chǎn)生一條連邊。tstart與tstop的選擇對(duì)靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建非常重要。指數(shù)閾值法是指，每一條連邊按e-t/τ賦予權(quán)重，其中t為連邊發(fā)生的時(shí)刻，τ為調(diào)節(jié)參數(shù)。如果該權(quán)重大于閾值Ω，則這條連邊可以出現(xiàn)在靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)中。

忽略連邊的時(shí)間先后順序，將含時(shí)網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)化為靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)，有助于運(yùn)用靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)中一些成熟的方法來(lái)研究含時(shí)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)，從而簡(jiǎn)化時(shí)間維度的分析。然而，如何選擇合適的時(shí)間間隔來(lái)轉(zhuǎn)化含時(shí)網(wǎng)絡(luò)、并且最大程度地保留其時(shí)序特征，到目前為止仍是一個(gè)開(kāi)放問(wèn)題。

3.2時(shí)序的影響

連邊存在時(shí)間先后順序，使含時(shí)網(wǎng)絡(luò)呈現(xiàn)一些特有的性質(zhì)，并對(duì)含時(shí)網(wǎng)絡(luò)上的傳播過(guò)程產(chǎn)生重要影響。例如，可到達(dá)性是指某個(gè)時(shí)間以后，從任一節(jié)點(diǎn)按時(shí)間先后順序所能到達(dá)其它節(jié)點(diǎn)的數(shù)目；最短時(shí)間路徑定義為從節(jié)點(diǎn)按時(shí)間先后順序到達(dá)節(jié)點(diǎn)所需的最短時(shí)間；等等。這其中最引人關(guān)注的時(shí)序特征就是陣發(fā)性。陣發(fā)性是指相繼兩個(gè)事件(連邊)的時(shí)間間隔是不均勻的，而且多數(shù)服從冪律分布。

時(shí)序?qū)鞑ミ^(guò)程的影響目前仍具有爭(zhēng)議。一方面，有研究發(fā)現(xiàn)時(shí)間先后順序的引入會(huì)減慢傳播過(guò)程。Karsai等[30]在手機(jī)通訊數(shù)據(jù)上研究謠言傳播時(shí)，發(fā)現(xiàn)時(shí)間序列會(huì)減慢傳播速度。Starnini等[31]在研究含時(shí)網(wǎng)絡(luò)上的隨機(jī)行走時(shí)發(fā)現(xiàn)，時(shí)間序列同樣導(dǎo)致傳播過(guò)程減慢。另一方面，也有研究發(fā)現(xiàn)考慮時(shí)間序列之后會(huì)加速傳播過(guò)程。Jo等[32]通過(guò)SI 模型，發(fā)現(xiàn)具有冪律分布的陣發(fā)性會(huì)加速傳播過(guò)程。Rocha等[33]研究發(fā)現(xiàn)，不穩(wěn)定的陣發(fā)性過(guò)程會(huì)使得SI、SIR模型的傳播速度加快。與此同時(shí)，還有研究指出，時(shí)間先后順序?qū)鞑ミ^(guò)程的影響需要綜合多種因素。Lambiotte等[34]發(fā)現(xiàn)陣發(fā)性冪律分布的首、尾位置對(duì)傳播過(guò)程的影響不同；Holme等[35]認(rèn)為傳播過(guò)程與起始時(shí)間有關(guān)；Miritello[36]認(rèn)為等待時(shí)間會(huì)阻礙傳播，而組群對(duì)話則加速傳播。

含時(shí)網(wǎng)絡(luò)研究雖然在結(jié)構(gòu)、動(dòng)力學(xué)等方面取得了一定進(jìn)展，然而還有很多問(wèn)題亟待解決。首先，缺乏統(tǒng)一的理論框架來(lái)描述含時(shí)網(wǎng)絡(luò)。比如Erd?s-Rényi隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)用參數(shù)連接概率p表示；Watts-Strogatz小世界網(wǎng)絡(luò)由重繞概率pr決定；Barabási-Albert 無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)通過(guò)優(yōu)先連接概率π(k)生成。然而，對(duì)于含時(shí)網(wǎng)絡(luò)，目前還沒(méi)有某個(gè)特定參量，它可以概括含時(shí)網(wǎng)絡(luò)的時(shí)序、陣發(fā)性等特征。其次，時(shí)間間隔的影響程度還需進(jìn)一步明確。怎樣選擇時(shí)間間隔來(lái)轉(zhuǎn)化含時(shí)網(wǎng)絡(luò)是最優(yōu)的？如何衡量和評(píng)價(jià)其最優(yōu)性？時(shí)間間隔內(nèi)忽略了連邊的時(shí)間先后順序，必然會(huì)導(dǎo)致信息丟失，如何測(cè)量這些丟失的信息？最后，時(shí)間序列的重要作用還需深入探討。時(shí)間序列為什么會(huì)影響以及怎樣影響含時(shí)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和傳播過(guò)程？怎樣的時(shí)序斑圖在網(wǎng)絡(luò)的演化和傳播中起主導(dǎo)作用？這些都是擺在我們面前尚未解決的問(wèn)題。時(shí)間的引入使含時(shí)網(wǎng)絡(luò)研究充滿了機(jī)遇和挑戰(zhàn)，也將有助于我們更好地認(rèn)識(shí)微觀相互作用時(shí)刻變化的復(fù)雜系統(tǒng)。

4社會(huì)網(wǎng)絡(luò)含時(shí)性和多層性對(duì)輿情演化動(dòng)力學(xué)的影響

近年來(lái)，隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)和存儲(chǔ)技術(shù)的發(fā)展，大數(shù)據(jù)時(shí)代已拉開(kāi)帷幕。人類行為痕跡被詳盡記錄下來(lái)，為研究人類行為動(dòng)力學(xué)和社會(huì)現(xiàn)象的涌現(xiàn)機(jī)制理論研究提供了實(shí)證分析和理論驗(yàn)證之前期準(zhǔn)備。這也吸引了許多物理學(xué)家對(duì)其理論量化研究的廣泛關(guān)注，促進(jìn)了社會(huì)物理學(xué)這一交叉領(lǐng)域的進(jìn)一步發(fā)展[37-39]。許多物理學(xué)家利用統(tǒng)計(jì)物理和圖論的方法和思想量化研究社會(huì)現(xiàn)象和社會(huì)動(dòng)力學(xué)。例如：社會(huì)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及其演化、語(yǔ)言演化、人口動(dòng)力學(xué)、疾病傳播動(dòng)力學(xué)、輿情演化動(dòng)力學(xué)等等。

輿情演化動(dòng)力學(xué)是人類社會(huì)中集群動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象之一。輿情被認(rèn)為是個(gè)體對(duì)某一感興趣話題的判斷、觀點(diǎn)、情感和態(tài)度的表達(dá)。這種表達(dá)往往依賴于個(gè)體的主觀性和客觀性判斷。相互影響的個(gè)體(或團(tuán)體)之間輿情的趨同和分化是非常重要的社會(huì)過(guò)程[40]，類似于統(tǒng)計(jì)物理中Ising模型中有序-無(wú)序相變。物理學(xué)中有序相對(duì)應(yīng)于社會(huì)系統(tǒng)中個(gè)體(或團(tuán)體)中輿情的一致態(tài)；而無(wú)序相對(duì)應(yīng)于個(gè)體(或團(tuán)體)因輿情不同而形成的群體分化現(xiàn)象[38]。顯而易見(jiàn)的問(wèn)題是：如何從數(shù)學(xué)或物理的角度量化分析有限尺寸大小的社會(huì)系統(tǒng)中的輿情演化動(dòng)力學(xué)？為此，D.Stauffer和S.Solomon綜述了基本的物理模型和概念，例如元胞自動(dòng)機(jī)、含溫度的Ising范例、逾滲理論、主方程方法[38]和平均場(chǎng)近似[41]。他們也展示了這些模型和概念在社會(huì)動(dòng)力學(xué)中的應(yīng)用，例如選舉過(guò)程、金融市場(chǎng)和語(yǔ)言演化等。另外，R.Toral和C.J.Tessone概述了系統(tǒng)有限尺寸效應(yīng)對(duì)社會(huì)動(dòng)力學(xué)演化的影響，例如輿情演化的Galam模型和文化分化形成的Axelrod模型[42]。

在社會(huì)過(guò)程中，由非凡的群聚效應(yīng)而導(dǎo)致的宏觀現(xiàn)象多來(lái)自于社會(huì)系統(tǒng)中大量微觀個(gè)體之間的相互作用。大量實(shí)證分析表明，社會(huì)復(fù)雜系統(tǒng)可抽象為社會(huì)網(wǎng)絡(luò)，其中社會(huì)系統(tǒng)中的個(gè)體映射為社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)，個(gè)體之間潛在的相互作用映射為節(jié)點(diǎn)之間的連邊。社會(huì)網(wǎng)絡(luò)在描述節(jié)點(diǎn)之間的相互作用以及作用的頻度和強(qiáng)度等方面都表現(xiàn)出其特有的優(yōu)越性。顯而易見(jiàn)，社會(huì)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對(duì)輿情的演化形成起著重要的作用。前人工作中分析了一些真實(shí)社會(huì)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對(duì)輿情演化的影響，例如小世界特性、無(wú)標(biāo)度特性和社團(tuán)特性等[43-45]。近年來(lái)，社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中個(gè)體及其相互作用的多樣性和含時(shí)性對(duì)輿情演化動(dòng)力學(xué)的影響受到廣泛關(guān)注。

社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中個(gè)體及其相互作用的含時(shí)性體現(xiàn)了社會(huì)系統(tǒng)中個(gè)人類行為動(dòng)力學(xué)的非平庸性，例如人類活動(dòng)的間歇性和爆發(fā)性，以及人類之間相互作用(例如書(shū)信往來(lái)和訊息往來(lái))的時(shí)間間隔分布的非泊松性[55]。這對(duì)社會(huì)系統(tǒng)(社會(huì)網(wǎng)絡(luò))上的動(dòng)力學(xué)行為，例如輿情的演化和形成起著重要的作用。個(gè)體之間相互作用的含時(shí)性分為兩個(gè)方面，一個(gè)方面是個(gè)體間相互作用的含時(shí)性與輿情演化動(dòng)力學(xué)相互耦合關(guān)聯(lián)，即為諸多學(xué)者研究的自適應(yīng)網(wǎng)絡(luò)下的輿情演化動(dòng)力學(xué)。自適應(yīng)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)間的相互作用的含時(shí)性多體現(xiàn)在隨著節(jié)點(diǎn)輿情的時(shí)間演化促使節(jié)點(diǎn)間的連邊的重繞[56]。我們?cè)治隽艘蕾囕浨檠莼瘎?dòng)力學(xué)下自適應(yīng)社會(huì)網(wǎng)絡(luò)上社團(tuán)結(jié)構(gòu)的涌現(xiàn)機(jī)制[57]。另一方面是個(gè)體間相互作用的含時(shí)性與輿情演化動(dòng)力學(xué)無(wú)關(guān)，是社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中個(gè)體行為的含時(shí)性的單獨(dú)體現(xiàn)，稱為含時(shí)社會(huì)網(wǎng)絡(luò)[58]。我們嘗試分析了二維空間格子上由于人類空間行走所造成的節(jié)點(diǎn)間相互作用的時(shí)間特性對(duì)輿情演化動(dòng)力學(xué)的影響，發(fā)現(xiàn)人類遷移促使輿情的傳播和輿情社團(tuán)的形成[59]。(注，含時(shí)網(wǎng)絡(luò)上的輿情演化仍是一個(gè)開(kāi)放問(wèn)題。)

5結(jié)論

我們注意到，在多層網(wǎng)絡(luò)和含時(shí)網(wǎng)絡(luò)的研究中都出現(xiàn)了一些新的描述方法和描述手段，盡管目前并不清楚這些新的變化會(huì)不會(huì)像復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)最開(kāi)始出現(xiàn)的時(shí)候帶來(lái)的沖擊一樣迅猛。另外，對(duì)這些新的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的描述目前還缺乏統(tǒng)一的理論和模型框架，但是這些挑戰(zhàn)對(duì)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)甚至復(fù)雜系統(tǒng)的進(jìn)一步發(fā)展都極為關(guān)鍵，解決這些問(wèn)題對(duì)于理解復(fù)雜系統(tǒng)的多樣性來(lái)說(shuō)或許又是重要的一步。

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(責(zé)任編輯耿金花)

Recent Progress on Multiplayer and Temporal Networks

GU Jiao1,2, GUO Long3, JIANG Jian4, CHI Liping2, LI Wei2

(1.School of Science, Jiangnan University, Wuxi 214122, China;2.College of Physical Science and Technology, Huazhong Normal University, Wuhan 430079, China;3.School of Mathematics and Physics, China University of Geosciences (Wuhan), Wuhan 430074, China;4.Research Center of Nonlinear Science and College of Mathematics and Computer Science,Wuhan Textile University, Wuhan 430200, China)

Abstract:In this article, a review on recent progress of related fields is given, based on the robustness of multilayer networks, the Laplacian spectra of multilayer networks, the time pattern of temporal networks, the opinion dynamics on multilayer networks and temporal networks.

Key words:multilayer networks; temporal networks

文章編號(hào)：16723813(2016)01005807;

DOI:10.13306/j.1672-3813.2016.01.004

收稿日期：2015-07-09

基金項(xiàng)目：高等學(xué)校學(xué)科創(chuàng)新引智計(jì)劃(B08033)，國(guó)家自然科學(xué)基金青年項(xiàng)目(11405118)

作者簡(jiǎn)介：辜姣(1983-)，女，湖北黃石人，博士，主要研究方向?yàn)閺?fù)雜網(wǎng)絡(luò)譜圖分析。通訊作者：郭龍(1982-)，男，河南開(kāi)封人，博士，副教授，主要研究方向?yàn)榻y(tǒng)計(jì)物理及復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)。

中圖分類號(hào)：O41； O23

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A